抛物线焦点弦的弦长公式

1、欧阳家百创编关于抛物线焦点弦的弦长公式欧阳家百（2021.03. 07）在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦 的弦长的问题，其中只介绍了开向右时的焦点弦的长度计算冋 题：已知：抛物线的方程为0）,过焦点F的弦AB 交抛物线于A B两点，且弦AB的倾斜角为求弦AB的长。解：由题意可设直线AB的方程为y = k（X2将其代入抛物线方程整理得：4加兀2一（切上2 +切）x+p2F = °,且 £ = tan&_ Pk + 2P设a,b两点的坐标为（后必）心"北）贝g：一 ，20 =-当 2时，斜率不存在，sin 1, |ABI=2p.即为通径而如

2、果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？ 这只能代表开向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相 同。现在我们来探讨这个冋题。（2）己知：抛物线的方程为弋=2代（卩0）,过焦点的弦AB交抛 物线于A,B两点，直线AB倾斜角为冬 求弦AB的长。解：设A,B的坐标为加刃儿），斜率为k伙"询，而焦点欧阳家百创编（0,）y- = kx坐标为2 ,故AB的方程为2,将其代入抛物线的方程整理得:X -叽- p = 0,从而 %, + %2 = 2pkf X2 = P弦长为:IABI= Jl + £ A|（X1+X2）2_4X1X22p（COS0）-& = 0,cos&a

3、mp; = l,IABI=2p,即为通径。而与（）的结果样，F2必与（2）的结果 样，但是（1）与（2）的两种表达式不一样，为了统一这两种不 同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈述于下：（3）已知：抛物线的方程为y；2s>0）,过焦点F的弦AB交抛物线于A, B两点，且弦AB与抛物线的对称轴的夹角为&,求弦AB的长。解：由题意可设直线AB的方程为y = k（x-） （0丰）22将其代入抛物线方程整理得：4疋兀'-（切上+切）尤+ pF"7Td < 若倾斜角2,贝严= * = kug = tan&7ta > 若彳顷斜角2，贝|J a =

4、兀 _ g & = tan a = tan（ _ &）。设a,b两点的坐标为（兀必）北）,Pk' + 2p丄.Xi+%2 =71 v r =2_2p则：k ，兀匕41431=.2sin = sin a.sin（7r -0） = siii a 故 （sin0）.欧阳家百创编0 =- 当 2时，sin& = l, |ABI=2p.即为通径。>而与（3）的结果一样同理： 已知：抛物线的方程为空=2防（卩>0）,过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点，直线AB与抛物线的对称轴的夹角为&,求弦AB的长。解：设A,B的坐标为（卅刃刃，若倾斜角为斜率为k,（0

5、,上）贝必“ana,而焦点坐标为2 ,y= kx故AB的方程为.2，将其代入抛物线的方程整理得:X2 - 2pkx_ p = 0,从而兀 + 上=2冰,X X2 = _P, lAB |= Jl + F yl（Xi+X2）24XiX2 =-一氾p 弦长为：（cosa）a < a = 8、cosa = cos（3） = sin0 当倾斜角 2,贝U22；a > , a = + &,cosa = cos£ + &） = -sin&当倾斜角2则 22AB=丸7所以（血°）恒成立。0 =-当 2时，sin1, |ABI=2p.即为通径。而兀2 = -2宀与（4）的结果一样。故只要直线AB与抛物线的对称轴的夹角为&,那么不论抛物线的开向上，向下，向左还是向右，过焦点的弦的弦长都可以AB=一卫一-用一个公式表示，即