高中数学：3.3《等差数列的前n项和》教案（旧人教版）

1、课 题:等差数列的前n项和一.教材依据全日制普通高级中学教科书(必修)数学第一册(上) 人民教育出版社中学数学室编著n项和 “等差数列前n项的和”是中等职业教育教材数学第二册，第十四章数列第二节的教学内容。教学设想是既要突出重点、突破难点，又要体现知识的发现过程，培养学生的创新意识和探索实践能力。本教案设计为“特殊猜想推导应用”的模式，由学生熟知的故事引入，通过特殊的等差数列求和探索一般性结论，再给予证明，暴露思维过程。由于有（1）（2）的铺垫，公式的得来和证明水到渠成，符合认知规律。根据教学大纲对知识传授、能力培养、思想教育三者统一以及数学知识分层次掌握的要求，加上对教材的分析和对学生知识能

2、力、接受能力的了解，我将本节课的教学重点确定为“等差数列前n项和公式”，难点为“等差数列前n项和公式”的推导过程。因为“等差数列前n项的和”是数列一章中的重要的基础知识，无论在知识，还是在能力上，都是进一步学习其他数列知识的基础。推导等差数前n项和的“例序相加法”是今后数列求和的一种常用的重要方法，公式又有广泛的实际应用，也是学生今后继续学习的基础知识，且能体现解决数列问题的通性通法，又可考查学生的运算能力、推理能力，培养学生的数形结合数学思想方法，因此“等差数列前n项的和”在数列一章具有极为重要的位置。公式教学就应该展现其探究过程，因为公式的探索过程往往隐含着重要的数学思想方法，蕴涵着科学发

3、现思维途径。故本节课要注重公式的探索过程，使公式的探索过程成为培养学生能力的重要契机。其次“倒序相加”的方法，学生从未接触过，怎样诱发“倒序相加”的念头成为教学的难点，如何突破这难点是本节教学中最富有智慧和艺术的地方。教学过程首先是把问题作为数学的出发点，创设有效的学习情境。在教学中不是直接以教材本身作为出发点，而是在教学的一开始，提出对整个课程起关键作用的、学生经过努力能完成的、富有挑战性的问题，这种把问题作为教学的出发点，是创设课堂有效学习情境的一种常用的方法，它增强了学生的求知欲，使学生在迫切的要求下进行学习，学生注意力集中，思维积极，参与程度高，能够有效提高教学效果，本节课把德国数学家

4、高斯小时候的数学问题作为教学的出发点，引出等差数列的求和问题，激发了学生探究的兴趣和欲望，一下子就把课堂的学习气氛推向高潮，为学生探索等差数列求和公式的学习活动创设了有效的学习情境。然后是让学生在尝试活动中获得新知识。在教学过程中，教师是活动的主导，学生是活动的主体，教师的主导要为学生主体达到学习目标服务，也就是，教师在使用灵活教法的同时，指导学生的探究、发现、应用等活动，为学生思维指路搭桥。通过学生自主的尝试活动，使他们在感知的基础上有效地揭示知识的内在联系，从而使学生获取知识，提高能力，本节课的设计正是以这个原则为主旨，在（1）、（2）两步之后引导学生联想（1）、（2）的求和特点，利用等差

5、数列的“对称性”完成公式的推导。教法上在合作学习的基础上进行探究性学习，让学生亲身经历参与知识的形成与发现过程，有助于引起学生内部的学习动机，有助于学生深刻地理解和掌握知识，有助于思维能力的培养和训练，有助于知识的迁移。同时培养了学生的团结协作精神，为学生的终生发展打下了良好的基础。学生通过对本节课知识的探究，在认知、能力及团结协作等方面得到进一步的发展和提高。 1.知识目标,理解等差数列求和公式的推导过程及方法，熟记求和公式。 2.能力目标,能运用求和公式进行五个基本量a1,an,n,d,Sn之间的运算。3.德育目标, 通过科学小故事，启示、培养学生善于观察、分析、探究能力从一些简单事物中发

6、现和寻找规律性的东西。四.教学重点: 等差数列前n项和公式五.教学难点:求和公式的推导思路六.教学准备:教学方法探究法、合作学习(学生分组学习)教学手段多媒体教学七.教学过程:一、情景设置(一)复习提问问题一：什么叫等差数列？(学生分组回答问题)如果数列an满足:从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数d,则数列an称为等差数列.常数d叫做公差.d=a2-a1=a3-a2=an+1-an= (nN*)问题二：等差数列的通项公式是什么？(学生分组回答问题)an=a1+(n-1)d问题三：等差数列的中项公式是什么？(学生分组回答问题)A=a+b/2 (二)引例通过复述高斯10岁时就

7、能神速的求出+5050的故事提问:(1)他是如何快速求和的？他抓住了问题的什么特征？(2)如果换成+(n-1)+n？我们能否快速求和？如何求？ (分组讨论、回答): （1）首项与末项的和：1+100=101, 第2项与倒数第2项的和：2+99=101, 第3项与倒数第3项的和：3+98=101,第50项与倒数第50项的和：50+51=101.于是所求的和为：1011002=5050(2)1+n=2+(n-1)=3+(n-2)=(1)和(2)求和的特点是什么？倒序求和二、新授课(一)等差数列前n项和等差数列an中，我们把a1+a2+a3+an叫做等差数列an的前n项和，记作Sn这节课我们来研究等

8、差数列的前n项和公式。(给出课题) (二)提出实例(课件演示)如图(1)(先出示右侧一半) 表示堆放的钢管共10层,自上而下各层的钢管数组成等差数列1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,求钢管的总数,如何计算呢？请大家分组讨论 。(观察，分组讨论、回答) 即求和：S10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 1. 连加求和2.通过观察发现1+10=2+9=3+8=4+7=5+6=11,所以S10=115=553.如果这堆钢管旁边堆放同样的一堆钢管,则每层的钢管数都相等,都是11于是得到(1+10)10/2=55 (三）公式推导(1)我们该如何计算等差数列前n项和 Sn =a1+a2+a

9、3+an我们用前面倒序求和的方法来推导前n项和公式。 (引导学生利用等差数列的“对称性”进行求和) 分组讨论,各抒己见Sn=a1+a2+a3+an Sn= an+a3+a2+ a1 +得:Sn+Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+(a3+an-2)+(an+a1)因为a2=a1+d,an-1=an-d所以a2+an-1=a1+an同理a3+an-2=a1+an an+a1=a1+an即:2Sn=（a1+an）+（a1+an） n个推出公式:Sn=n (a1+an)/2,再将an=a1+(n-1)d，代入公式:Sn=n(a1+an)/2中,得到: Sn=na1+n(n1)d/2 为等差数列

10、前n项和的第二个公式. （2）板书公式一: Sn=n (a1+an)/2公式二: Sn=na1+n(n1)d/2（3）引导学生总结：这些公式中出现了几个量？它们由哪几个关系联系, 这些量中有几个可自由变化？(学生讨论并回答) 出现了a1，d，n，an，Sn等五个量,关系为：an=a1+(n-1)d，Sn= n (a1+an)/2,=na1+n(n1)d/这些量中有三个可自由变化, 即“五求二”.（四）应用举例：V型架上最下面一层放着一支铅笔，每往上一层多放一支铅笔，最上一层放120支铅笔，求这堆铅笔总数.分析:由题意可知,这个v型架上共放着120层铅笔,且自上而下各层的铅笔数成等差数列,可记为

11、an,其中a1=1,a120=120,n=120.解：a1=1,a2=2, a120=120. Sn=(a1+an)n/2=(1+120) 120/2=7260答:这堆铅笔共7260根例2、等差数列10，6，2，2，.前多少项之和是54？分析:先根据等差数列所给出项求出此数列的首项,公差,然后根据数列的求和公式求解.解：设等差数列为an，前n项和是Sn,则a1=-10， d=-6-(-10)=4。设Sn54，根据等差数列前n项和公式，得:10nn（n1）4/254。整理得: n2-6n-27=0.解得：n19，, n23（舍去）。因此10，6，2，2，.前9项之和是54.（五）课堂练习(学生分组练习)课本p118练习1,2,31.根据下列各体中的条件,求相应的等差数列an的sn:(1)a1=5,an=95,n=10,(2)a1=100,d=-2,n=50, (3)a1=14.5d=0.7,an=32. 答案:(1) sn=500; (2) sn =2550;(3) s评述:要熟练掌握等差数列求和公式的两种形式,以便根据所给条件灵活选用而求解 2(1)求正整数列中前n个数的和,(2)求正整数列中前n个偶数和.答案: (1)sn =n(n+1)2;(2)sn =n(n+1)评述:首先要理解题意,然后综合