必修5数列知识点总结及题型归纳上课讲义

1、数列16 / 11一、数列的概念(1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列;(2)通项公式的定义：如果数列 an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：1 , 2 , 3 , 4,S (n 1)Sn Sm(n>2)例：已知数列an的前n项和Sn2n2 3,求数列an的通项公式(3)数列的函数特征与图象表示:序号：1 2 3 4 5 6(4)数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？(1)

2、 1, 2, 3, 4, 5, 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0,(4)a, a, a, a, a,(5)数列 an的前n项和Sn与通项an的关系：an二、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,d表示。用递推公式表示为那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母an an 1 d(n 2)或 an 1 an d(n 1)。例：等差数列an 2n1 , anan 1题型二、等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d ；等差数列(通常可称为 AP数列)的单调

3、性：d 0为递增数列，d 0为常数列，d 0为递减数列。例：1.已知等差数列 an中，a7 a9 16, a4 1,则a12等于()A. 15 B . 30 C . 31 D . 642. an是首项a11,公差d 3的等差数列，如果an 2005,则序号n等于(A) 667(B) 668(C) 669(D) 670题型三、等差中项的概念:定义：如果a, A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中 Aa ba, A, b成等差数列A - 即：2an 12an 2(2anan m a n m)例：1.设an是公差为正数的等差数列，若aa2a315 , a1a2a3a11a2a13A.

4、120. 105C.90. 752.设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是（）A. 1B.2C.4D.8题型四、等差数列的性质:(1)在等差数列an中,从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项;(2)在等差数列an中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列；(3)在等差数列an中,对任意 m , n N , an am (n m)d , dan am /(m n);n m(4)在等差数列an中,an a paq ；题型五、等差数列的前n和的求和公式：Snn(a an)na1n(n 1)d(a1d) no2(Sn An2 Bn(A,B为常数)an是等差数列递

5、推公式：Sn(a an)n(am an (m 1) ) n2例：1.如果等差数列an中,a3 a4 a512,那么a1a2a7(A) 14(B) 21(C) 28(D)352.设Sn是等差数列a的前n项和，已知a23,a611 ,则S7等于（A. 13 B633.设等差数列an的前n项和为Sn,若S9 72,则a2a4a9 二4.若一个等差数列前 3项的和为34,最后3项的和为A.13 项B.12 项146,且所有项的和为C.11 项390,则这个数列有（）D.10 项S5.设等差数列 an的前n项和为Sn,若a5 5a3则津S56.已知an数列是等差数列,a10其前10项的和Sio 70,则

6、其公差d等于（）2A. 一3C.2D. 37.设 an为等差数歹U,&为数列 an的前n项和，已知 S = 7, S5=75, Tn为数列S的前nn项和，求Tn。题型六.对与一个等差数列，Sn ,S2n Sn, S3nS2n仍成等差数列。例：1.等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.2602 . 一个等差数列前 n项的和为48,前2 n项的和为60 ,则前3 n项的和为3 .设Sn为等差数列an的前n项和，S414, Si0 S730,则S9 =“ S S -,， 一 4 S34. （06全国II ）设&是等差

7、数列 an的前n项和，若 S6S6S12310D.题型七.判断或证明一个数列是等差数列的方法:定义法:an 1 and（常数）（nN） a0是等差数列中项法:2an 1 an an 2(n N ) an是等差数列通项公式法：an kn b（k,b为常数） an是等差数列前n项和公式法:Sn An2Bn (A, B为常数) an是等差数列例：1.已知一个数列an的前n项和Sn2n2 4,则数列an为（A.等差数列B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知一个数列an的前n项和Sn22n ,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判

8、断3.数列an满足a=8, a42,且a n 2 2a n 1 a n求数列an的通项公式;题型八.数列最值Sn有最小值;(1)40, d 0时，Sn有最大值；a1 0, d 0时,（2） Sn最值的求法：若已知 Sn, Sn的最值可求二次函数Sn2an bn的最值;可用二次函数最值的求法（nN）；或者求出an中的正、负分界项，即:,an 0an右已知an,则Sn最值时n的值(n N )可如下确定或an i 0an i例：1.等差数列 an中，ai 0, S9 S12,则前 项的和最大。2 .设等差数列an的前n项和为Sn,已知a312,S120,S130求出公差d的范围，指出Si, S2,

9、, S12中哪一个值最大，并说明理由。3 .已知an是等差数列，其中a131,公差d 8。(1)数列an从哪一项开始小于0?(2)求数列an前n项和的最大值，并求出对应 n的值.题型九.利用a”S1 (n 1)求通项.nSn Sn1 (n 2)1 .已知数列 an的前n项和Sn n2 4n 1,则22 .设数列an的前n项和为Sn=2n ,求数列an的通项公式；13 .已知数列 an 中，a13,刖 n 和 Sn-(n 1)(an 1) 12求证：数列 an是等差数列求数列an的通项公式4 .设数列an的前n项和Sn n2,则a8的值为()(A) 15(B) 16(C) 49(D) 64等比数

10、列等比数列定义：一、递推关系与通项公式递推关系：an 1 anq通项公式：ana1 qn 1推广：an am qn m1 .在等比数列 an中，a1 4,q 2 ,则an 2 .在等比数列 an中，a22, a5 54,则a8=3 .在各项都为正数的等比数列an中，首项ai 3,前三项和为21,则a3 aa5A 33 B 72 C 84 D 189二、等比中项：若三个数 a,b,c成等比数列，则称 b为a与c的等比中项，且为 bJOB,注：b2 ac是成等比数列的必要而不充分条件.例：1. 2 、,3和2 、, 3的等比中项为()(A)1(B) 1(C) 1(D)2三、等比数列的基本性质，1.

11、 (1)若m n p q,则 am an ap aq (其中 m,n,p,q N )n man2(2) q ，an an m an m (n N ) am(3) an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.(4) an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列.例：1 .在等比数列 an中，a1和a10是方程2x2 5x 1 0的两个根，则a4 a7 ()5,2_11(A) -(B)(C)(D)-22222 .在等比数列 an 中，a1 a6 33, a3a4 32, an an 1求an若 Tn lg a lga2lgan,求Tn3 .等比数列an的各项为正数，且 a5a6 a

12、4a7 18,则log3al log 3 a2 L log3aw()A . 12 B . 10 C . 8 D . 2+log35na(q 1)四、等比数列的前 n项和，Sn&(1 qn) a anq(q 1)1 q 1 q例：1.已知等比数列an的首相a15,公比q 2,则其前n项和Sn 2 .设等比数列 an的前n项和为Sn ,已a2 6, 6a1 a3 30 ,求an和Sn3 .设 f(n) 2 24 27 210 L23n 10(n N),则 f(n)等于()2n2 n 12 n 32 n 4A. (8 1)B. (81) C . - (81) D . (81)五.等比数列的前

13、n项和的性质若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，k N* ,那么Sk , S2k Sk，S3k S2k成等比数列 例：1.一个等比数列前 n项的和为48,前2 n项的和为60,则前3 n项的和为()A. 83 B . 108 C . 75 D . 632.已知数列an是等比数列，且 Sm10, S2m30,则S3m 六.等比数列的判定法a(1)定乂法：q (常数)an为等比数列；an2 中项法：an 1an an 2(an 0)an为等比数列；(3)通项公式法：an k qn (k, q为常数)an为等比数列；(4)前n项和yt： Sn k(1 qn) (k,q为常数)an为等比数列。S

14、n k kqn (k,q为常数)an为等比数列。tS1(n 1)七.利用a 1求通项.Sn Sn 1 (n 2)1例：1.数列an的刖n项和为Sn,且a1=1, an 1- Sn,n=1, 2, 3,求a2,st,a4的值及数列3an的通项公式.*2.已知数列an的首项a15,前n项和为Sn,且Sn1Snn 5(n N ),证明数列a。 1是等比数列.求数列通项公式方法(1).公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列an满足：a3 7,a5 a7 26,求an；2.已知数列an满足a1 2,an an 1 1(n 1),求数列an的通项公式;3. 数列an满足a=8

15、, a42,且an 2 2an 1 an 0 (n N ),求数列an的通项公式;114 .已知数列an满足a1 2, 2,求数列 an的通项公式; an 1a n115 .设数列an满足a1 0且 1,求an的通项公式1 a n 11 an6.已知数列an满足a12 , an 3an 1(n 1),求数列an的通项公式;7 .已知数列an满足a1 2, a24且8 .已知数列an满足a1 2,且an 1 5n9 .已知数列an满足a12,且an 1 5项公式；(2)累加法1、累加法适用于：an 1 an f(n)a2 4什a3 a2右 an 1 an f (n) (n 2),则 Lan 1

16、a2n 2 an an 1( n N),求数列an的通项公式;2(an 5n) (n N),求数列an的通项公式;2n 1 2 3(an 5 2n 2) ( n N ),求数列 an 的通f(1) f(2) Lf (n)两边分别相加得an 1aif (n)k 11例：1.已知数列an满足a1,21an 1 an 2，求数列an的通项公式。4n2 12 .已知数列满足an 1an 2n 1, a1 1 ,求数列an的通项公式。3 .已知数列an满足an 1an 2 3n 1, a13 ,求数列an的通项公式。4 .设数列an满足a12n 1-.-2, an 1 an 3 2,求数列an的通项公式

17、(3)累乘法适用于： an 1f (n)an若冬f，则型f (1), ana1a2f(2),L L ,皿f(n)例：1.已知数列an满足an 12(n 1)5n an, a1 3,求数列an的通项公式。，求 an。22.已知数列 an满足a- , an 133.已知 a13, an 13n 1一，一an (n 1),求 an。3n 2(4)待定系数法适用于 an 1qanf(n)解题基本步骤：1、确定f(n)2、设等比数列an1f (n),公比为3、列出关系式 an 11f(n 1)2an2f(n)4、比较系数求i,5、解得数列 an1f (n)的通项公式6、解得数列 an的通项公式例：1.已

18、知数列an中，ai 1,an 2an 1 1(n 2),求数列 an的通项公式。2 .在数列 an中，若a1 1,烝1 2街 3(n 1),则该数列的通项 an 3 .已知数列an满足an 1 2an 3 5n, a1 6 ,求数列a。的通项公式。解：设 an 1 x 5n 1 2(an x 5n)一,51,1、n14 .已知数列an 中，a1一，an1-an(-),求 an632n 15.已知数列an满足an 1 2an 4 3 , a1 1,求数列 an的通项公式。(5)递推公式中既有 Sn又有an. 一.S1,n 1把已知关系通过an转化为数列 an或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求

19、解。Sn Sn 1，n 211 .数歹Uan的刖 n 项和为 4,且a1=1,an 1- Sn,n=1,2, 3, ,求a2,a3,a4的值及数列an3的通项公式.12 .已知数列 an 中，a1 3,刖 n 和 Sn -(n 1)(an 1) 12求证：数列 an是等差数列求数列 an的通项公式13 .已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn (an 1)(小 2),且a2,a4,a9成等比数列，6求数列an的通项公式。(6)倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项2a例：1.已知数列an满足an 1,酬1 ,求数列an的通项公式。an 2数列求和1 .直接用等差、等比数列的求和公式求和。Snn(a1an)2Snnai(q 1)a1 (1 qn) , 八 公比含字母时一定要讨论一 (q 1)1 q例：1。已知等差数列an满足a11, a23 ,求前n项和Sn2.已知等比数列an满足a1 1, a23 ,求前n项和Sn3.设 f(n) 2 24 27 210 L 23n 10(n N),则 f(n)等于()A2 n2n 12n 3.(81) B. (81) C. 一(81)7772 n 4D. (81)72.错位相减法求和：如:an等差，bn等比