高三数学一轮复习必备精品2：函数概念与表示【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部免费 欢迎下载】

1、第二讲 函数概念与表示备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部免费 欢迎下载】一【课标要求】1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域 和值域；了解映射的概念；2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；3通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；4通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义；5学会运用函数图象理解和研究函数的性质

2、二【命题走向】函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例。从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大预测2010年高考对本节的考察是：1题型是1个选择和一个填空；2热点是函数概念及函数的工具作用，以中等难度、题型新颖的试题

3、综合考察函数成为新的热点。三【要点精讲】1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x，xA。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x| xA 叫做函数的值域。注意：（1）“y=f(x”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x”；（2）函数符号“y=f(x”中的f(x表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必

4、须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题配方法（将函数转化为二次函数）；判别式法（将函数转化为二次方程）；不等式法（运用不等式的各种性质）；函数法（运用基本函数性质，或抓住函数

5、的单调性、函数图象等）。3两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。4区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意 一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”。函

6、数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思6常用的函数表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系7分段函

7、数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；8复合函数若y=f(u，u=g(x,x(a，b，u(m,n，那么y=fg(x称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x的值域四【典例解析】题型1：函数概念例121.（2009天津卷文）设函数则不等式的解集是（ ）A. B. C. D.答案 A解析 由已知，函数先增后减再增当，令解得。当，故 ，解得【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解（2）江苏省如皋中学20072008学年度第二学期阶段考试高三数学（理科）请设计一个同时满足下列两个条件的函数y = f （x）：图

8、象关于y轴对称；对定义域内任意不同两点, 都有答： .答案不唯一，在定义域内图象上凸的偶函数均可，如等等.首先由知f （x）为偶函数，由知f （x）在定义域内图象上凸，然后在基本初等函数中去寻找符合这两点的模型函数【总结点评】本题主要考查函数的图象与性质，问题以开放的形式出现，着重突出对考生数学素质的要求.点评：讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧（赋值、变量代换、换元等等），这都是函数学习的常用基本功变式题：（2009北京文）已知函数若，则 . .w.w.k.s.5 答案 .w 解析 5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考查.由，无解，故应填.

9、例2（2007安徽 文理15）（1）函数对于任意实数满足条件，若则_ _；解：（1）由得，所以，则。点评：通过对抽象函数的限制条件，变量换元得到函数解析式，考察学生的逻辑思维能力。题型二：判断两个函数是否相同例3试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n1（nN*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1。解：（1）由于f（x）=|x|，g（x）=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；（2）由于函数f（x）=的定义域为（，0）（0，+），而g（x）

10、=的定义域为R，所以它们不是同一函数；（3）由于当nN*时，2n±1为奇数，f（x）=x，g（x）=（）2n1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；（4）由于函数f（x）=的定义域为x|x0，而g（x）=的定义域为x|x1或x0，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数点评：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原

11、因是对函数的概念理解不透要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可视为同一函数。（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数题型三：函数定义域问题例4求下述函数的定义域：（1）；（2）解：（1），解得函数定义域为.（2） ，（先对a进行分类讨论，然后对k进行分类讨论）， 当a=0时，函数定义域为；当时，得，1）当时，函数定义域为，2）当时，函数定义域为，3）当时，函数定义域为；当时，得，1）当时，函数

12、定义域为，2）当时，函数定义域为，3）当时，函数定义域为。点评：在这里只需要根据解析式有意义，列出不等式，但第（2）小题的解析式中含有参数，要对参数的取值进行讨论，考察学生分类讨论的能力例5已知函数定义域为(0，2，求下列函数的定义域：(1 ；(2。解：（1）由0x2， 得 点评：本例不给出f(x的解析式，即由f(x的定义域求函数fg(x的定义域关键在于理解复合函数的意义，用好换元法；求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到变式题：已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）Aa B12a0 C12a0 Da解：由a=0或可得1

13、2a0，答案B。题型四：函数值域问题例5求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。解：（1）（配方法），的值域为改题：求函数，的值域。解：（利用函数的单调性）函数在上单调增，当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为函数，的值域为。（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为。又，故，的值域为（3）（法一）反函数法：的反函数为，其定义域为，原函数的值域为（法二）分离变量法：，函数的值域为。（4）换元法（代数换元法）：设，则，原函数可化为，原函数值域为注：总结型值域，变形：或（5）三角换元法：，设，则，原函数的值域为（6）数形结合法：，函数值

14、域为。（7）判别式法：恒成立，函数的定义域为。由得： 当即时，即，当即时，时方程恒有实根，且，原函数的值域为。（8），当且仅当时，即时等号成立。，原函数的值域为。（9）方程法：原函数可化为：，（其中），原函数的值域为。点评：上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，在现行的中学数学要求中，求值域要求不高，要求较高的是求函数的最大与最小值，在后面的复习中要作详尽的讨论。题型五：函数解析式例6（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函数，且满足，求；（4）已知满足，求。解：（1），（或）。（2）令（），则，。（3）设，则，。（4） ，把中的换成，得 ，得，点评：第（1）题用配凑法

15、；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法。例7上海市杨浦区2007-2008学年度第二学期高三学科测试数学试卷已知向量 （1）当时， 求的值（2）(文科考生做 求·的最大值与最小值（理科考生做）求·， 在上的最大值与最小值解 （1）（2）（文）·= （理）· 例8江苏省滨海县08届高三第三次联考数学试卷2008-5-4据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果

16、有x(x0万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均收入为3000a元（a0）。（1）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围；（2）在（I）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大。解：（I）由题意得（100-x）·3000·（1+2x%）100×3000，即x250x0，解得0x50， 又x0 0x50； （II）设这100万农民的人均年收入为y元，则y= =x25(a+12+3000+475(a+

17、12 (0<x50 （i）当0<25(a+150，即0a1，当x=25(a+1时，y最大；（ii）当25(a+150，即a 1，函数y在（0,50单调递增，当x=50时，y取最大值。答：在0a1时，安排25(a +1万人进入企业工作，在a1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大例9北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则

18、减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元（xN*）（）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y（元）与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式（并写出这个函数的定义域）；（）当每枚纪念销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y（元）最大，并求出这个最大值（）依题意 此函数的定义域为 （） 当，则当时，（元）；当，因为xN*，所以当x23或24时，（元）； 综合上可得当时，该特许专营店获得的利润最大为32400元 15. 已知函数的定义域为，且同时满足：(1对任意，总有；(2(3若且，则有.(I求的值；(II求的最大值；(III设数列的前项和为，且满足.求证：.解：（I）令，由(

19、3,则由对任意，总有 （2分）（II）任意且，则 （6分）(III (8分，即。 故即原式成立。 （14分）点评：本题贴近生活。要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决。该题典型代表高考的方向题型7：课标创新题例10若不等式对满足的所有m都成立，求x的取值范围。解：原不等式可化为构造函数，其图象是一条线段。根据题意，只须：即解得。点评：上面题目通过重新构造函数解决了实际问题，体现了函数的工具作用例11.（2009四川卷文）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：设是平面上的线性变

20、换，则 若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换； 对，则是平面上的线性变换； 设是平面上的线性变换，则对任意实数均有。其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）答案 解析 ：令，则故是真命题同理，：令，则故是真命题：，则有是线性变换，故是真命题：由，则有是单位向量，对任意实数，0，是假命题【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质五【思维总结】“函数”是数学中最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本内容与方法。由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练。1求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；