2017年重庆市巴蜀中学高三理科数学二模试卷

1、2017年重庆市巴蜀中学高三理科数学二模试卷 一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合 ，则集合 的子集个数为 A. B. C. D. 2. 已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则 A. B. C. D. 3. 若 ，则函数 在区间 内单调递增的概率是 A. B. C. D. 4. 中国古代数学名著九章算术中记载：今天有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何?其意是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎获五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少若五只鹿的鹿肉共 斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为 A. B. C.

2、 D. 5. 已知双曲线 的实轴长为 ，且它的一条渐近线方程为 ，则双曲线 的标准方程可能是 A. B. C. D. 6. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. B. C. D. 7. 点 的坐标满足约束条件 由点 向圆 作切线 ，切点为 ，则线段 的最小值为 A. B. C. D. 8. 设 ，则 ， 的大小关系是 A. B. C. D. 9. 执行如图所示的程序框图，输出的 值为 A. B. C. D. 10. 如图所示为函数 的部分图象，其中 ， 两点之间的距离为 ，则函数 图象的对称轴为 A. B. C. D. 11. 已知 外接圆的半径为 ，圆心为 ，且 ，则 的

3、值是 A. B. C. D. 1 12. 下列函数 中，满足“对任意 ，当 时，都有 ”的是 A. B. C. D. 二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知向量 ，且 ，则 等于   14. 若 （其中 ），则多项式 展开式中的常数项为   15. 已知正项等比数列 的公比 ，且满足 ，设数列 的前 项和为 ，若不等式 对一切 恒成立，则实数 的最大值为   16. 如图是两个腰长均为 的等腰直角三角形拼成的一个四边形 ，现将四边形 沿 折成直二面角 ，则三棱锥 的外接球的体积为   三、解答题（共7小题；共91分）17. 已知 的三个内角 ， 所

4、对的边分别为 ，且满足 （1）求角 的大小；（2）若动点 在 的外接圆上，且点 ， 不在 的同一侧，试求 面积的最大值 18. 如图（），在五边形 中， 是以 为斜边的等腰直角三角形现将 沿 折起，使 ，如图（），记线段 的中点为 （1）求证：；（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的大小 19. 团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高效的消费方式，不少商家同时加入多家团购网现恰有三个团购网站在A市开展了团购业务，A市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机抽取了 家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示（1）从所调查的 家商家中任选

5、两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率；（2）从所调查的 家商家中任取两家，用 表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量 的分布列和数学期望；（3）将频率视为概率，现从A市随机抽取 家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为 ，试求事件“”的概率 20. 已知点 是圆心为 的圆 上的动点，点 ， 为坐标原点，线段 的垂直平分线交 于点 （1）求动点 的轨迹 的方程；（2）过原点 作直线 交（）中的轨迹 于点 ，点 在轨迹 上，且 ，点 满足 ，试求四边形 的面积的取值范围 21. 已知函数 （ 为实数， 为自然对数的底数），曲线 在 处的切线与直线 平行

6、（1）求实数 的值，并判断函数 在区间 内的零点个数；（2）证明：当 时， 22. 已知直线 的参数方程为 （ 为参数），圆 的参数方程为 （ 为参数）（1）若直线 与圆 的相交弦长不小于 ，求实数 的取值范围；（2）若点 的坐标为 ，动点 在圆 上，试求线段 的中点 的轨迹方程 23. 已知函数 （1）画出函数 的图象；（2）若不等式 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围答案第一部分1. C【解析】，所以 ，所以 的子集个数为 2. B【解析】 满足 3. C4. B【解析】设这 个人分得鹿肉的斤数分别为 ，则这 项依次成等差数列所以 ，所以 ，所以 5. D【解析】双曲线 的实轴长为 ，

7、可知 ，它的一条渐近线方程为 ，双曲线的焦点在 轴时可得 ，双曲线的焦点在 轴时 所求双曲线方程为： 或 6. A【解析】根据几何体的三视图知，该几何体是半圆柱体与三棱柱的组合体，如图所示，则该几何体的表面积为 7. B【解析】由题意得，圆心 由题意及勾股定理知，故 取最小值时 取最小值而 的最小值即为 到直线 的距离， 故 ，如图8. D9. C【解析】因为 ，运行程序，得 时， 不成立，继续循环； ， 成立，跳出循环故输出 的值为 10. B【解析】如图，由 ， 两点之间距离为 ，根据勾股定理可得 所以 ，因为 ，所以 ，又 ，所以 所以 令 ，解得 所以函数 的图象对称轴为直线 11.

8、D【解析】由 得点 为 的中点，则 12. A第二部分13. 【解析】，因为 ，所以 ，所以 14. 【解析】所以 ，解得 或 又 ，所以 所以 ，展开式的通项为 ，令 ，得 所以 ，即常数项为 15. 【解析】正项等比数列 ，公比 ，且满足 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ， ，由 ，则 ，即 恒成立令 ，则 在 内单调递增，所以 所以 即 的最大值为 16. 【解析】四边形 中， 所以 ，；因为沿 折成直二面角 ，如图所示：所以 ，所以 ，；所以三棱锥 的外接球的直径为 ，且 所以外接球的半径为 ，它的体积为 第三部分17. （1） 在 中，因为 ，所以 由正弦定理得 又 ，所以

9、，所以 ，即 ，又 ，所以       （2） 由点 在 的外接圆上， 不在 的同侧，得 ，在 中，由余弦定理，得 即 ，当且仅当 时，取等号所以 的面积 18. （1） 因为 ， 是线段 的中点，所以 又因为 ，所以四边 为平行四边形，又 ，所以 ，又因为 是等腰直角 斜边的中点，所以 因为 ，所以 ，因为 ，所以       （2） 因为 ，且 ，所以 ，所以 所以 ， 两两垂直，以 为坐标原点，以 ， 所在直线分别为 ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系 因为 为等腰直角

10、三角形，且 ，所以 ，所以 ， .所以 ，设平面 的一个法向量为 ，则有 所以 取 ，得 因为 ，所以平面 的一个法向量为 ，设平面 与平面 所成的锐二面角为 ，则 ，所以平面 与平面 所成的锐二面角大小为 19. （1） 记所选取的两家商家加入团购网站的数量相等为事件 ，则 ，所以他们加入团购网站的数量不相等的概率为：      （2） 由题知 的可能取值分别为 ， ， ， 从而 的分布列为      （3） 所调查的 家商家中加入了两个团购网站的商家有 家，将频率视为概率

11、，则从A市中任取一家加入团购网站的商家，他同时加入了两个团购网站的概率为 所以 所以事件“”的概率为 20. （1） 由于点 在线段 的垂直平分线上，故 ，因为 ，故点 轨迹为椭圆，其中 ，因此 点的轨迹 的方程为       （2） 由 ，知四边形 为平行四边形，故 ，当 为长轴（或短轴）时，依题意，知点 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时 ，即 当直线 的斜率存在且不为 时，设其斜率为 ，则直线 的方程为 ，联立方程 消去 ，得 ，故 ，所以 ，由 ，知 为等腰三角形， 为 的中点，所以 ，所以直线 的方程为 同理，得 ， 设

12、 ，则 ，而 所以当 时，又 ，所以 ，所以 综上所述 所以四边形 的面积的取值范围为 21. （1） 由题设，可知曲线 在 处的切线的斜率 ，解得 所以 ，因为当 时，所以 在区间 内为增函数，又 ，所以 在区间 内没有零点      （2） 当 时， 等价于 设 则 ，当 时，所以 在区间 内单调递增所以 即 两边取自然对数，得 所以要证明 ，只需证明 即证当 时， 设 则 设 ，当 时，；当 时，所以 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，又 ，所以 所以存在 ，使得 所以当 时，；当 时，所以 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，在区间 内单调递增又 ，所以 ，当且仅当 时，取等号，即式成立所以 22. （1） 直线 的普通方程为 ，圆 的普通方程为 圆心 到直线 的距离 ，相交弦长为 令 ，解得 或 即实数 的取值范围为       （2）