2020春浙教版八年级数学下册同步练习：专题5特殊平行四边形

1、专题 5 特殊平行四边形题型归类题型一矩形的性质和判定典例如图Z5-1,在？ABCD中，过点D作DELAB于点E,点F在CD上，CF= AE,连结 BF, AF.(1)求证：四边形BFDE是矩形;若AF平分/ BAD,且AE= 3,DE=4,求矩形BFDE的面积.图 Z5-1解：(1)证明：二四边形ABCD是平行四边形, . AB= CD, AB/ CD,DF/ BE,. CF=AE, .DF=BE,四边形BFDE是平行四边形,v DEXAB, a ZDEB = 90°,四边形BFDE是矩形；(2)AB/CD, BAF=/AFD, AF 平分/BAD, ./DAF=/BAF=/AFD

2、, . AD=DF,在 RtzXADE 中，. AE = 3, DE = 4, . AD=32+42 = 5,即 DF = 5, . S矩形 bfde = 20.【点悟】1.证明一个四边形是矩形的基本思路：(1)若四边形(或可证明)为平行四边形，则再证明一个角是直角或对角线相等；(2)若直角较多，可证明三个角是直角.2.利用矩形的性质解题的基本思路：(1)从内角上看，矩形的四个角都是直角，可将矩形问题转化为直角三角形的问题去解决；从对角线上看，对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形，可将矩形问题转化为等腰三角形问题去解决.变式跟进 1.如图 Z5- 2, RtzXABC 中，/C = 90&

3、#176;, AC = 3, BC=4, P 为 AB 上 任意一点，PF，AC于F, PEXBCT E,则EF的最小值是 2.4 .图 Z5-2变式跟进1答图【解析】如答图，连结CP, /ACB=90°, PFLAC 于 F, PE-E, ./ACB= /PFC=/PEC = 90°,四边形CEPF是矩形，. EF = CP,要使EF最小，只要CP最小即可，当CPLAB时，CP最小，在 RtzXABC 中，/ACB = 90°, AC = 3, BC = 4,由勾股定理，得AB=5,一，、11 一由三角形面积公式，得2X4X3 = 2X5CP, .CP=2.4,

4、即EF的最小值是2.4.变式跟进 2.如图Z5- 3,在?ABCD中，已知对角线AC, BD相交于点。，若E, F是AC上两动点，分别从A, C两点以相同的速度1 cm/s向点O运动.(1)当E与F不重合时，四边形DEBF是否是平行四边形？请说明理由；(2)若AC=16 cm, BD=12 cm,点E, F在运动过程中，四边形 DEBF能否为矩 形？如能，求出此时的运动时间t的值，如不能，请说明理由.解：(1)当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形.理由：二.四边形ABCD是平行四边形， .OA= OC, OB = OD.E, F两动点，分别从A, C两点以相同的速度向点 O运动，AE=

5、CF,，OE= OF, ；BD, EF互相平分， 四边形DEBF是平行四边形；(2)，四边形DEBF是平行四边形， 当BD = EF时，四边形DEBF是矩形，. BD=12 cm, .EF=12 cm, .OE= OF=6 cm,. AC=16 cm, .OA=OC=8 cm,AE= 2 cm 或 AE= 14 cm,由于动点的速度都是1 cm/s,所以 t = 2(s)或 t= 14(s);故当运动时间t = 2 s或14 s时，四边形DEBF是矩形.变式跟进 3.2018青岛已知，如图Z5 4所示，？ABCD中，对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点，连结CG, CG的延长线交BA的

6、延长线于点F, 连结FD.(1)求证：AB=AF;(2)若AG = AB, /BCD=120°,判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论.图 Z5-4解：(1)证明：.在？ABCD 中，AF/CD, AB = CD, ./ FAD= /CDG. G 为 AD 的中点，. .AG=DG.又. /AGF=/DGC, .AGFADGC(ASA), .AF=CD,又AB=CD, . AB= AF;(2)四边形ACDF为矩形.证明：=/BCD = 120°, ./BAD=120°, a Z FAG = 60° .又AG=AB, AB=AF, .AG = AF,.A

7、GF为等边三角形.；AG=FG.v AF/ CD, AF=CD,一四边形ACDF为平行四边形， .AD=2AG, CF = 2FG, .AD = CF,一四边形ACDF为矩形.题型二菱形的性质和判定典例2018平谷区一模如图Z55,在?ABCD中，BF平分/ ABC交AD于点F, AELBF于点O,交BC于点E,连结EF.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)连结 CF,若/ABC = 60°, AB = 4, AF = 2DF,求 CF 的长.典例答图解：(1)证明：:BF 平分/ABC,ABF=/CBF.四边形ABCD是平行四边形,AD/ BC.；/AFB=/CBF./ABF=

8、 /AFB.AB = AF.v AE± BF, . BAO=/FAE./FAE=/BEO, . ./BAO=/BEO. . AB= BE.； AF=BE.四边形ABEF是平行四边形.四边形ABEF是菱形；(2)AD = BC, AF = BE,.DF = CE. AF=2DF, .BE=2CE. AB=BE = 4, .CE=2.如答图，过点A作AGBC于点G./ABC=60°, AB=BE,.ABE是等边三角形.BG= GE=2.；AF = CG = 4.四边形AGCF是平行四边形.四边形AGCF是矩形.AG= CF.在4ABG 中，/ABC=60°, AB=4

9、,. AG= 2弧.CF = 2y/3.【点悟】1.证明一个四边形是菱形的基本思路：(1)若四边形(或可证)为平行四边形，则再证一组邻边相等或对角线互相垂直；(2)若相等的边数较多(或容易证出)时，可证明四条边相等.2,利用菱形的性质解题的基本思路：菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，可将菱形问题转化为直角三角形的问题去解决；(2)有一个内角为60°或120。的菱形，连结对角线可构成等边三角形，可将菱形问题转化到等边三角形中去解决.变式跟进 4.如图Z5-6,在夕|形ABCD中，E, F分别是AD, BC中点，连结AF, BE, CE, DF分别交于点M, N,则四边形EMF

10、N是(B )A.正方形B.菱形C .矩形D.无法确定图 Z5 6变式跟进4答图【解析】如答图，连结EF.V四边形ABCD为矩形，E, F为AD, BC中点一四边形ABFE,四边形EFCD为矩形， .ME=MF, NE=NF,又AE/ FC, AE= FC,四边形AECF是平行四边形，AF = EC, . ME=MF = NE=NF, 四边形 EMFN 是菱形.变式跟进 5.2018南宁如图Z5-7,在?ABCD中，AEXBC, AFXCD,垂足分另I为E, F,且BE=DF.(1)求证：平行四边形ABCD是菱形;(2)若AB = 5, AC = 6,求平行四边形 ABCD的面积.E图 Z5 7

11、变式跟进5答图解：(1)证明：二四边形ABCD是平行四边形，. B=/D.AE，BC, AFXDC,./AEB=/AFD = 90°,又BE=DF, .AEB0AFD(ASA).AB = AD,平行四边形ABCD是菱形；(2)如答图，连结BD交AC于点O,二.由(1)知四边形ABCD是菱形,AC = 6,1 _ 八 ACX BD, AO= OC =/AC=2X 6 = 3,. AB=5, AO=3,在 RtAOB 中，BO = VAB2AO2 = 5232 =4,BD=2BO = 8, . S?abcd='AC BD = 2 X 6 X 8 =24.题型三正方形的性质和判定

12、典例 如图Z5-8,分别以 ABC的两边AB和AC为边向外作正方形 ANMB和 正方形ACDE, NC, BE交于点P.(1)求证：/ANC = /ABE;(2)若BC = 6, Q是线段BC的中点，则PQ= 3图 Z5-8解：(1)证明：:四边形ANMB和ACDE是正方形, .AN=AB, AC=AE, / NAB= / CAE= 90°,NAC=/NAB+/BAC, / BAE= / BAC + / CAE, . / NAC= / BAE,AN=AB,在 AANC 和 AABE 中，/NAC=/BAE,AC=AE,.ANCAABE(SAS), . / ANC = / ABE;(2

13、):四边形NABM是正方形， ./NAB=90°, ./ANC+/AON=90°,BOP=/AON, /ANC=/ABE,丁. / BPC= / ABP+ / BOP= 90°,. Q 为 BC 中点，BC = 6,1 、- . PQ= BC = 3.【点悟】 证明一个四边形是正方形可按照以下三步进行：（1）先证明它是平行四边形；（2）再证明有一组邻边相等（或一个角是直角）；（3）最后证明它有一个角是直角（或有一组邻边相等）.变式跟进 6.下列判断错误的是（C ）A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形C.对角线相等的四边形

14、是矩形D.对角线互相平分的四边形是平行四边形变式跟进 7.2019杭州萧山区二模边长为a的正方形ABCD中，点E是BD上 一点，过点E作EFLAE交射线CB于点F,连结CE.若点F在边BC上（如图Z5-9）,求证：CE=EF;若BC = 2BF,求DE的长.若点F在CB延长线上，BC = 2BF,请直接写出DE的长.DBC图 Z5-9O1/VIF B N变式跟进7答图解：证明：二.正方形ABCD关于BD对称, .ABE0 ACBE, . / BAE= / BCE.又ABC=/AEF = 90°, ./ BAE+ /BFE=180°, ./ BAE= /EFC, ./BCE=

15、/EFC, .CE=EF;如答图，过点E作MNLBC,垂直为N,交AD于M. CE=EF, ；N是CF的中点. BC=2BF, .CN = 1. BC 4又V四边形CDMN是矩形，4DME为等腰直角三角形， .CN=DM = ME, . DE = V2DM = V2CN = %；(2)如答图，过点E作MNLBC,垂足为N,交AD于M. .正方形ABCD关于BD对称， .ABE0 ACBE, . / BAE= / BCE.又. /ABF=/AEF = 90°, ./BAE=/EFC, ./BCE=/EFC, .CE=EF, .FN = CN.又. BC = 2BF,33 .FC=2a,

16、 - CN= 4a,123.2EN=BN=4a, .BE=ta,DE=-4-a.变式跟进 8.如图Z5-10,四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点,连结DE,过点E作EFLDE,交射线BC于点F,以DE, EF为邻边作矩形DEFG ,连结CG.求证：矩形DEFG是正方形;若AB = 2, CE= 求CG的长度；(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出/ EFC的度数.图 Z5-10口 。F C变式跟进8答图解：（1）证明：如答图，作 EPLCD于P, EQLBC于Q,/DCA=/BCA, . .EQ=EP,/QEF+/FEC = 45°,

17、/ PED + / FEC = 45°, ./ QEF= / PED,/QEF=/PED,在 RtAEQF 和 RtAEPD 中， EQ=EP,/EQF=/EPD,RtAEQFRtAEPD, .EF=ED,矩形DEFG是正方形;(2)AD = CD,由(1)知 ED = GD,而/ADE+/EDC = 90°, / CDG + / EDC= 90°, ./ADE=/CDG,ADEACDG, . CG= AE= AC EC=V2ABEC = g(3)当DE与AD的夹角为30°时，/EFC=120°,当DE与DC的夹角为30°时，/EFC

18、 = 30° .综上所述，/EFC=120/30°.题型四 矩形、菱形、正方形的综合典例2019绍兴柯桥区期中问题呈现：如图Z5 11，点E, F, G, H分别在矩形 ABCD 的边 AB, BC, CD, DA 上，AE=DG,求证：2s 四边形 efgh = S 矩形 abcd.(S 表小面积)实验探究：某数学实验小组发现：若图中 AHWBF,点G在CD上移动时，上 述结论会发生变化，分别过点 E, G作BC边的平行线，再分别过点F, H作AB 边的平行线，四条平行线分别相交于点 A1, B1, C1, D1,得到矩形A1B1C1D1.如图，当AH>BF时，若将

19、点G向点C靠近(DG>AE),经过探索，发现：2s 四边形EFGH = S矩形ABCD+S矩形A1B1C1D1.如图，当AH>BF时，若将点G向点D靠近(DG<AE),请探索S四边形efgh, S 矩形ABCD, S矩形A1B1C1D1之间的数量关系，并说明理由.迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：如图，点E, F, G, H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知 AH>BF, AE>DG, S 四边形 efgh = 11, HF = V29,求 EG 的长.图 Z5 11解：【问题呈现】证明：二.四边形ABCD是矩形, .AB/

20、CD, /A= 90°, v AE= DG ,四边形AEGD是矩形,. c 11c S>a HGE = ?S 矩形 AEGD, R理 Sa EGF = ?S 矩形 BEGC ,1一S 四边形 EFGH = SaHGE + SEFG= 2s 矩形 ABCD.【实验探究】结论：2s四边形EFGH = S矩形ABCDS矩形AiBiCiDi.一，,，一11一理由：如答图 ,VSAEHC1 = 2S 矩形 AEC1H, SA HGD1 = 2S 矩形 HDGD1,_ .11一，SAEFB1 = 2S矩形 EBFB1, SAFGAS矩形 CFA1G, S 四边形 efgh = SA EHC

21、1 + SA HGD1 + SA EFB1 + SA FGA1 S 矩形 A1B1C1D1, .2S 四边形 efgh = 2SAEHC1 + 2SAHGD1 + 2SAEFB1 + 2SAFGA1 - 2S 矩形AiBiCiDi,二 2s 四边形 EFGH= S 矩形 ABCDS矩形 AiBiCiDi.G/B典例答图【迁移应用】如答图，: 2s 四边形 EFGH= S 矩形 abcdS 矩形 AiBiCiDi,.S矩形 AiBiCiDi = 25 2X ii = 3 = AiBi AiDi,二.正方形的面积为25, .边长为5,. AiD2=HF2 52=29 25= 4,3.AiDi =

22、2, AiBi = 2，EG2 = AiB2 + 52 = i49，-EG=2209.【点悟】解答特殊平行四边形的结论探究型试题时，要善于根据已知条件和图 形，以及由已知条件得出的结论来加以全面分析，即可找到所要探究的结论.变式跟进 9.2019临海一模如图Z512，ZXABC中，/ACB = 90°,以 ABC三边为斜边分别作等腰直角三角形，,它们的面积分别为Si,S2, S3,则 S3 = S1+S2（用 Si, &表示）.(2)如图， ABC 中，/ACB = 90°, AC=BC = 642,点 D, E 在 AB 上运动, 且保持AD<AE, / D

23、CE=45°,将 ACD绕点C顺时针旋转90°得到 BCF.求证：ED=EF;当AD = 4时，EF的长度是_5.如图，过点D, E分别作AC, BC的垂线交于点O,垂足为Q, P.随着AD 长度的改变，矩形CPOQ的面积是否为定值？若是定值，请求出该值；若不是 定值，请说明理由.图 Z5-12解：(i)zABC 中，/ACB = 90°,得 AC2+BC2 = AB2, .4ac2+1bc2=4ab2,1 ci c 1 c.等腰直角二角形，的面积分别为4AC2, 4BC2, 4AB2, .S3=S1 + S2；证明：Z ACB=90°, /DCE =

24、45°, ./ACD+/BCE = 45°,由旋转可得 /ACD=/BCF, CD = CF, ./BCF+/BCE = 45°,即/ECF = 45° =ECD,又. CE = CE, /.ACDEACFE, .ED = EF;由勾股定理可得AB=12,由旋转可得 AD = BF = 4, /A=/CBF=45°, / EBF= 45°+45 =90°,设 DE =EF = x, WJ BE=8x, . BE2 + BF2=EF2,即(8 x)2 + 42=x2,解得 x=5, EF = 5;矩形CPOQ的面积是定值.由得

25、AD2+BE2=DE2,易知 DOE是等腰直角三角形，由 得Sadq+Sabep =SDEO,则矩形CPOQ的面积与 ABC的面积保持相等，1C由题可得4ABC的面积=X(6阪)2= 36,因此矩形CPOQ的面积是定值36.变式跟进 10.2019嘉兴期末如图Z5-13,边长为2的正方形纸片ABCD中, 点M为边CD上一点（不与C, D重合），将 ADM沿AM折叠得到 AME,延 长ME交边BC于点N,连结AN.(1)猜想/ MAN的大小是否变化，并说明理由；(2)如图，当N点恰为BC中点时，求DM的长度；(3)如图，连结BD,分别交AN, AM于点Q, H若BQ=g 求线段QH的长 度.图

26、Z5-13解：(1)/MAN的大小没有变化.理由： 将4ADM沿AM折叠得到 AAME,.ADMAAEM, 一 一一- _ 一 一 。 一 一 1 一一 .AD=AE=2, DM = EM, /D=/AEM = 90 , / DAM =/EAM =5/DAE,又AD = AB = 2, /D=/B = 90°, .AE= AB, / B=/AEM = /AEN=90°,AN=AN,在 RtA BAN 和 RtA EAN 中，; AB=AE, RtA BANRtA EAN(HL),/1 ,丁. / BAN= / EAN = / BAE,1111则 Z MAN = Z EAM

27、+ Z EAN = / DAE + / BAE=(/ DAE+ Z BAE)=/ BAD= 45°,Z MAN的大小没有变化；(2)N 点恰为 BC 中点，. .EN = BN=CN=1,设 DM = EM = x,则 MC=2 x,，MN = ME+EN=1+x,在 RtZMNC 中，由 MC2+CN2=MN2,得(2xR F =(i + r2, 22解得x=§,即DM = §(3)如答图，将aABQ绕点A逆时针旋转90 WAADG,连结GH ,则ABQ0/XADG, .DG=BQ=亍，AG = AQ, / ADG = / ABQ= / ADB= 45 ZBAQ

28、= Z DAG ,1vZ MAN = 5/ BAD= 45°, . . / BAQ+ Z DAM = Z DAG+ Z DAM = Z GAH= 45°,则/ GAH=/QAH,在4GAH 和4QAH 中，AG = AQ,/ GAH=/ QAH,AH=AH,.GAHAQAH(SAS),.GH = QH,设 GH = QH = a, BD= V2AB = 2蛆，BQ = ¥，八3 3,23 2 . DQ=BD BQ = 2", a DH=-2-a,/ADG=/ADH=45°, a Z GDH = 90°,在 RtzXDGH 中，由 DG

29、2+DH2 = GH2,得考+呼一a2=a2,解彳#a=警，即QH = 562.题型五平行四边形的动点问题典例2018春 海港区期末如图Z514,在？ABCD中，AC = 6, BD = 10,动点P从B出发以每秒1个单位的速度沿射线BD匀速运动，动点Q从D出发以相 同速度沿射线DB匀速运动，设运动时间为t秒.(1)当t = 2时，证明以A, P, C, Q为顶点的四边形是平行四边形；当以A, P, C, Q为顶点的四边形为矩形时，直接写出t的值； (3)设PQ=y,直接写出y与t的函数关系式.图 Z5-14解：(1)证明：二四边形ABCD是平行四边形， .OA= OC=3, OB=OD =

30、5,当 t= 2 时,BP = QD = 2, .OP= OQ = 3,一四边形APCQ是平行四边形；(2)t=2 或 t=8.理由如下：如答图 ，二四边形APCQ是矩形， . PQ= AC=6,1 _ .BP= '(BDPQ) = 2,则此时 t = 2;1_如答图，: 四边形 APCQ 是矩形，；PQ = AC = 6, BQ = 2(BD PQ)=2, .BP= BQ+ QP=8,则此时 t=8;即以A, P, C, Q为顶点的四边形为矩形时，t的值为2或8;典例答图(3)当 00t05 时，如答图，y=PQ=BD BPDQ = 10 t1=10 2t;当 t>5 时，如答

31、图，y= PQ= OP+OQ=BP OB+DQ OD = t 5 + t5=2t -10,10 2t (0<t<5), 即y=2t10 (t>5).变式跟进 11.2019宁波堇B州区期中如图Z5-15,在直角梯形 ABCD中，AB/CD, /BCD=90°, AB=AD=10 cm, BC = 8 cm.点 P 从点 A 出发，以每秒 3 cm的速度沿折线ABC方向运动，点Q从点D出发，以每秒2 cm的速度沿线 段DC方向向点C运动.已知动点P, Q同时出发，当点P运动到点C时，P, Q运动停止，设运动时间为t s.求CD的长；当四边形PBQD为平行四边形时，求四

32、边形 PBQD的周长；在点P, Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得4BPQ的面积为15 cm2? 若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由.C图 Z5-15解：（1）如答图，过点A作AMLCD于M,. AM，CD, /BCD = Rt/, .AM/CB, AB/CD,一四边形ABCM是平行四边形， .CM=AB= 10,在 RtADM 中，AD=10, AM = BC = 8,根据勾股定理得DM =6, .CD=DM + CM = 16;变式跟进11答图当四边形PBQD是平行四边形时， 点P在AB上，点Q在DC上，如答图,由运动知 BP=10 3t, DQ = 2t, .1

33、03t=2t, = 2,此时BP=DQ = 4, CQ=12,根据勾股定理得 BQ=4/13,四边形PBQD的周长为2(BP+BQ)=8+8g;存在t的值使4BPQ的面积为15 cm2.10 ,如答图，当点P在线段AB上时，即0&t&W时，C 1125Sabpq= 2PB BC = 2(103t)X 8= 15,=12；变式跟进11答图10如答图，当点P在线段BC上时，即tW6时,BP=3t10, CQ=16 2t, SJabpq = 2pB CQ=2（3t- 10）（16-2t）= 15,19 .；t=5 或 t=w（舍去） 325综上，满足条件的t的值为25或5 s.过关训

34、练区基础保分练1. 2018台州下列命题正确的是（C ）A.对角线相等的四边形是平行四边形B,对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2. 2018日照如图Z5-16,在四边形ABCD中，对角线AC, BD相交于点O,AO=CO, BO=DO,添加下列条件，不能判定四边形 ABCD是菱形的是（B ）A. AB=ADC. ACXBD图 Z5-16b. ac=bdD. / ABD=/ CBD【解析】A0= CO, BO= DO, 四边形ABCD是平行四边形;当AB = AD,根据邻边相等的平行四边形是菱形，能判定四边形ABCD是菱形；当A

35、C=BD,根据对角线相等的平行四边形是矩形， 不能判定四边形ABCD是菱 形；当AC，BD,根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，能判定四边形ABCD是菱形；v四边形ABCD是平行四边形，.AD/ BC. ./ADB= ZDBC./ABO=/CBO, ./ABO=/ADO.；AB= AD,.四边形ABCD是菱形.故选B.3.如图Z5-17,菱形ABCD的对角线相交于点 O,过点D作DE/AC,且DE 1 一= AC,连结 CE, OE,连结 AE 父 OD 于点 F.若 AB = 2, /ABC = 60 ,则 AE 的长为（C ）A. 3B. .5C.V7d. 2v21 一 一【解析】 在菱

36、形ABCD中，OC=AC, ACXBD,. DE=2aC, . .DE=OC,V DE/ AC, .四边形OCED是平行四边形,V ACXBD, 平行四边形OCED是矩形，v 在菱形 ABCD 中，/ ABC= 60°,.ABC为等边三角形， . AD= AB= AC= 2, OA= 2AC=1,在RtAOD中，由勾股定理得 CE = OD= 小口2-AO2=，2212 =小，在RtACE中，由勾股定理得 AE= 7aC2+CE2= 2J22+ （仙）2=巾.4. 2018天津如图Z518,在正方形ABCD中，E, F分别为AD, BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的

37、长等于AP+EP最小值的是（D ）A. ABB. DEC. BDD. AF图 Z5-18DB F C第4题答图【解析】 如答图，取CD中点E',连结AE； PE',由正方形的轴对称性质，可知 EP=EP, AF= AE', .AP+ EP = AP+ EP, .AP+ EP最小值是AE ；即AP+EP最小值是AF.故选D.5.如图Z519,在菱形ABCD中，/ BCD= 108°, CD的垂直平分线交对角线AC于点F, E为垂足，连结BF,则/ABF等于 18：.图 Z5-19第5题答图【解析】如答图，连结DF.v四边形ABCD为菱形，/BCD =108

38、76;, ./ DCA=/BCA=54°, /DCB+/CBA= 180°, ./ CBA= 72°,v EF 垂直平分 CD,FC= FD, ./ CDF = /DCF = 54°,CF = CF,在AFCD 和AFCB 中， /FCD= /FCB,CD = CB,.-.FCDAFCB, ./CBF=/CDF = 54°, ./ABF= / ABC /CBF = 72° 54 =18AE,过6. 2018聊城如图Z5 20,正方形ABCD中，E是BC上的一点,点B作BHLAE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连结AF.(1)求证：

39、AE=BF;(2)若正方形边长是5, BE = 2,求AF的长.图 Z5-20解：(1)证明：二.四边形ABCD是正方形, .AB= BC, /ABC=/C = 90°, BHXAE,垂足为点H, ./ HBE+ /HEB = 90°, / BAE+ /HEB=90°, ./ BAE= /CBF./ABC= /C,AABEffiABCF 中， AB= BC,/BAE= / CBF, .ABE0BCF(ASA),.AE=BF;(2)vAABEABCF,.CF=BE=2, .正方形的边长为5, ；AD = CD = 5,DF=CDCF = 5 2=3.在 RtADF

40、中，AF=aD2+DF2 = <52+32 =734.区技能提升练7.如图Z5-21,平行四边形 ABCD中，过A作AMLBC于M,交BD于E,过 C作CNLAD于N,交BD于F,连结AF, CE.(1)求证： ABEACDF;(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形 AECF是菱形？请证明你的结论.解：(1)证明：二四边形ABCD为平行四边形， .AB= CD, AB/ CD, /BAD=/BCD, ./ABE= / CDF,v AMXBC, CNXAD, . / BAM= / DCN ,/ABE=/CDF,在 AABE 和 ACDF 中，AB=CD,/ BAM = / DCN ,

41、 .ABE0 ACDF(ASA)；(2)四边形ABCD是菱形时，四边形AECF是菱形.证明：ABE0ACDF,.AE=CF,v AMXBC, CNXAD,.AM/CN,四边形AECF为平行四边形，,.ACXEF,V四边形ABCD是菱形，四边形AECF为菱形.8.如图Z5-22,在平行四边形 ABCD中，过点A作AELBC交BC边于点E,点F在边AD上，且DF = BE.(1)求证：四边形AECF是矩形;若BF平分/ABC,且DF=1, AF=3,求线段BF的长.图 Z5-22解：(1)证明：二四边形ABCD是平行四边形, . AD=BC, AD/ BC,. BE= DF, .AF=EC,四边形

42、AECF是平行四边形,v AE±BC, . ./AEC = 90°, 四边形AECF是矩形；(2)BF 平分/ABC, AD/BC, ./ABF= /CBF= /AFB, .AB= AF = 3, AD = BC = 4,在 RtABE 中，AE=CF = aB2BE2=2点,在 RtBCF 中，BF= <BC2 + CF2 = 吊42+ (2业 2 = 2股.9. 2018春朝阳区期末【再现】如图Z5 23，在 ABC中，点D, E分别是1AB, AC的中点，连结DE,可以得到DE/BC,且DE=BC(不需要证明).图 Z5-23【探究】如图，在四边形 ABCD中，

43、点E, F, G, H分别为AB, BC, CD, DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明；【应用】在【探究】的条件下：(1)四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是 AC =BD (只添加一个条件);(2)如图，在四边形 ABCD中，点E, F, G, H分别为AB, BC, CD, DA的 中点，对角线AC, BD相交于点。.若HELEF, HE = 5, EF = 8,则四边形ABCD 的面积为 80.解：【探究】四边形EFGH是平行四边形.证明：如答图，连结AC,第9题答图. E, F分别是AB, BC的中点, .EF/AC,且 EF = 2aC.G

44、, H分别是CD, AD的中点， .GH/ AC,且 GH = 2aC.EF/ GH,且 EF = GH.一四边形EFGH是平行四边形.【应用】(1)理由：如答图，连结BD,1 _1一 L - 一. EF=2AC, EH = BD,且 ac=bd,. EF=EH,又二四边形EFGH是平行四边形，一四边形EFGH是菱形；(2)点 E, F, G, H 分别为 AB, BC, CD, DA 的中点,1 _ 1_ _ 1 _ . HE/ BD 且 HE = 2BD, EF/AC 且 EF=/AC, v HEXEF, a ACXBD,. HE=5, EF=8, a BD = 10, AC=16,1 1四边形 ABCD 的面积为AC BD=2X 16X 10 = 80.10.已知AC是菱形ABCD的对角线，/ BAC = 60