正余弦定理的应用举例(很好)

1、应用举例应用举例正余弦定理1.1.正弦定理和余弦定理的基本公式正弦定理和余弦定理的基本公式是什么？是什么？2si nsi nsi nabcRABC=2222cosabcbcA=+-2222coscababC=+-2222cosbacacB=+-复习巩固复习巩固2.2.正弦定理和余弦定理分别适合解哪正弦定理和余弦定理分别适合解哪些类型的三角形？些类型的三角形？正弦定理：一边两角或两边与对角；正弦定理：一边两角或两边与对角； 余弦定理：两边与一角或三边余弦定理：两边与一角或三边.复习巩固复习巩固题型分类题型分类 深度剖析深度剖析题型一测量距离问题题型一测量距离问题问题问题1. A、B两点在河的两岸

2、两点在河的两岸(B点不可到达点不可到达)，要测量，要测量 这两点之间的距离。这两点之间的距离。 测量者在测量者在A的同侧，在所在的同侧，在所在的河岸边选定一点的河岸边选定一点C，测出，测出AC的距离是的距离是55m，BAC60o， ACB75o，求，求A、B两点间的两点间的距离（精确到距离（精确到0.1m).分析：所求的边分析：所求的边AB的对角是已知的的对角是已知的,又知三角形的又知三角形的一边一边AC,根据三角形内角和定理可计算出边根据三角形内角和定理可计算出边AC的的对角对角,根据正弦定理根据正弦定理,可以计算出边可以计算出边AB.解：根据正弦定理，得解：根据正弦定理，得答：答：A、B两

3、点间的距离为两点间的距离为75.1米。米。sinsinsin55sinsinsin55sin7555sin7575.1( )sin(1806075 )sin45ABACACBABCACACBACBABABCABCm75.1例例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。测量两点间的距离的方法。分析：用例分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一的方法，可以计算出河的这一岸的一点点C到对岸两点的距离，再测出到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，的大小，借助于余弦定理可以计算出借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。两点间的距

4、离。ABCABCD解：测量者可以在河岸边选定两点解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得测得CD=a,并且在并且在C、D两点分别测得两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在在 ADC和和 BDC中，应用正弦定理得中，应用正弦定理得sin()sin()sin()sin 180 ()sinsinsin()sin 180 ()aaACaaBC 计算出计算出AC和和BC后，再在后，再在 ABC中，应用余弦定理计中，应用余弦定理计算出算出AB两点间的距离两点间的距离222cosABACBCAC BC.AB45ACB60ACD30CDBADB23CDBA 两两点点的的距距离离，求求，

5、千千米米，定定的的距距离离，在在河河的的这这边边测测两两点点间间、如如图图，为为了了测测量量河河对对岸岸课课堂堂练练习习： ABCD30453060分析：分析：1. 在在ABD中求中求AB2. 在在ABC中求中求AB46AB 练习练习选定两个可到达点选定两个可到达点C C、D D； 测量测量C C、D D间的距离及间的距离及ACBACB、ACDACD、BDCBDC、ADBADB的大小；的大小；利用正弦定理求利用正弦定理求ACAC和和BCBC； 利用余弦定理求利用余弦定理求AB.AB.测量两个不可到达点之间的距离方案：测量两个不可到达点之间的距离方案：形成规律形成规律在测量上，根据测量需要适当确

6、在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做定的线段叫做基线基线, ,如例如例1 1中的中的ACAC，例例2 2中的中的CD.CD.基线的选取不唯一，基线的选取不唯一，一般基线一般基线越长越长，测量的精确度，测量的精确度越越高高. .形成结论形成结论解斜三角形应用题的一般步骤：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知， 画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地 解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际 意义，从而得出实际问题的解 实

7、际问题中的常用角实际问题中的常用角(1)仰角和俯角仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角角(如图如图)题型二测量高度问题题型二测量高度问题2)方向角：相对于某正方向的水平角，如方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东南偏东30，北偏西，北偏西45，西偏北，西偏北60等；等；(3)方位角方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如平角，如B点的方位角为点的方位角为(如

8、图如图)例例3、 AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能直角三角形的知识，只要能测出一点测出一点C到建筑物的顶部到建筑物的顶部A的距离的距离CA,并测出由点并测出由点C观察观察A的仰角，就可以计算的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出法借助解三角形的知识测出C

9、A的长的长。)sin(sinaAChahAChAEAB)sin(sinsinsin解：选择一条水平基线解：选择一条水平基线HG,使使H,G,B三点在同一条直线上。由三点在同一条直线上。由在在H,G两点用测角仪器测得两点用测角仪器测得A的的仰角分别是仰角分别是，CD=a,测角仪测角仪器的高是器的高是h.那么，在那么，在ACD中，中，根据正弦定理可得根据正弦定理可得例例3、AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为建筑为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法例例4、在山顶铁塔上、在山顶铁塔上B处测得处测得地面上一点地面上一点

10、A的俯角的俯角75，在塔底在塔底C处测得处测得A处的俯角处的俯角45。已知铁塔。已知铁塔BC部分的部分的高为高为30m，求出山高，求出山高CD.分析：根据已知条件，应该设分析：根据已知条件，应该设法计算出法计算出AB或或AC的长的长解：在解：在ABC中，中，BCA=90+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根据正弦定理，根据正弦定理，)90sin()sin(ABBC0,cossinsinsin()30cos45 sin75sin(7545 )=15+15 3(k )Rt ABDBCBDABBADm解得)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，15 15 33015 3

11、15(km)CDBDBC例例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到到A处时测得公路北侧远处一山顶处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北在西偏北30的方向上，行驶的方向上，行驶5km后到达后到达B处，测得此处，测得此山顶在西偏北山顶在西偏北75的方向上，仰角的方向上，仰角30，求此，求此山的高度山的高度CD.分析：要测出高分析：要测出高CD,只只要测出高所在的直角要测出高所在的直角三角形的另一条直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据边或斜边的长。根据已知条件，可以计算已知条件，可以计算出出BC的长。的长。例例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到

12、一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北在西偏北30的方向的方向上，行驶上，行驶5km后到达后到达B处，测得此山顶在西偏北处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角的方向上，仰角30，求此山的高度，求此山的高度CD.解：在解：在ABC中，中，A=30, C=75-30=45.根据正弦定理，根据正弦定理，CABABCsinsinsin5sin303.535().sinsin45ABABCkmCCD=BCtanDBCBCtan302041(m)答：山的高度约为答：山的高度约为2041米。米。/).AnmileCnmile hnmile

13、hmin 例例6 6、某某渔渔轮轮在在航航行行中中不不幸幸遇遇险险, ,发发出出呼呼救救信信号号, ,我我海海军军舰舰艇艇在在 处处获获悉悉, ,测测出出该该渔渔船船在在方方位位角角为为4 45 5 , ,距距离离为为1 10 0的的 处处, ,并并测测得得渔渔船船正正沿沿方方位位角角1 10 05 5 的的方方向向, ,以以9 9的的速速度度向向小小岛岛靠靠拢拢, ,我我海海军军舰舰艇艇立立即即以以2 21 1的的速速度度前前去去营营救救, ,求求舰舰艇艇的的航航向向和和靠靠近近渔渔船船所所用用的的时时间间( (精精确确到到0 0. .1 1 , ,时时间间精精确确到到1 1ABC105 45 北北北北:()21,9,45(180105 )120 .x hBABx BCxACB 解解设设 舰舰 艇艇 收收 到到 信信 号号 后后在在处处 靠靠 垅垅 渔渔 船船 , ,则则22222222cos(21 )10(9 )2 10 9cos120 .369100,2( )40(min)().3ABACBCAC