2020年中考数学专题培优二次函数综合应用(含答案)

1、2020年中考数学专题培优二次函数综合应用(含答案)一、解答题(共有 7道小题)1 .如图，直线y x 1与x轴教育点A,切经过点B(4, m)。点C在y轴负半轴上，满足OA=OC抛物线y ax2 bx c a 0经过A、B、C三点，且与x轴的另一交点为D(1)球抛物线的解析式。(2)在抛物线的对称轴上找一点 P,使PA+ PC的和最小。求出点P的坐标。2 .如图，已知二次函数y= ax2 + 2x+ c的图象经过点C(0 , 3),与x轴分别交于点A,点B(3, 0) .点P是直线BC上方的抛物线上一动点.(1)求二次函数y= ax2+ 2x+c的表达式；(2)连接PQ PQ并把POC& y

2、轴翻折，得到四边形POP C若四边形POP C 为菱形，请求出此时点P的坐标；(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB勺面积最大？求出此时P点的坐标和 四边形ACPB勺最大面积.3 .如图，已知二次函数y= ax2+ bx+ c的图象与x轴相交于A( 1, 0), B(3 , 0)两点，与y轴相交于点qo , 3).(1)求这个二次函数的表达式；(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx轴于点H,与BC交于点M连接PC求线段PM的最大值；当PCMg以PM为一腰的等腰三角形时，求点 P的坐标.4 .如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+6x5的图象与x轴交于A、B 两

3、点，与y轴交于点C,其顶点为P,连接PA AC, CR过点C作y轴的垂线l . 求点P, C的坐标；(2)直线l上是否存在点Q使PBQ的面积等于 PAC的面积的2倍？若存在， 求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.y P5 .如图，已知二次函数y= ax2 + 2x+ c的图象经过点q0 , 3),与x轴分别交于点A,点B(3, 0) .点P是直线BC上方的抛物线上一动点.(1)求二次函数y= ax2+ 2x+c的表达式； (2)连接PQ PG并把POO y轴翻折，得到四边形POP C若四边形POP C 为菱形，请求出此时点P的坐标；(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB勺面积最大？求出

4、此时P点的坐标和 四边形ACPB勺最大面积.6 .如图，直线y x 1与x轴教育点A,切经过点B(4, m)。点C在y轴负半轴 上，满足OA=OC抛物线y ax2 bx c a 0经过A、B、C三点，且与x轴的另一交点为D(1)球抛物线的解析式。(2)在y轴上是否存在一点G,似的|GB GD的值最大？若存在，求出点G的 左边；若不存在，请说明理由。27 .已知顶点为A抛物线y ax- 2经过点B -,2，点C勺,2 .222(1)求抛物线的解析式； 如图1,直线AB与x轴相交于点M y轴相交于点E,抛物线与y轴相交于点F,在直线AB上有一点P,若 OPM = MAF ,求 POE勺面积； 如图

5、2,点Q是折线A-B-C上一点，过点Q作QN/ y轴，过点E作EN/ x轴，直线QN与直线EN相交于点N,连接QE将QEN& QE翻折得到VQEN1,图1图2、解答题(共有 7道小题)参考答案1. (1)解：把 y=0 代入 y x 1,得 x=-1 ,所以 A(-1 , 0) 由 OA=OCH4 c(0, -1)将B(4, m)代入y x 1可得m=5所以B(4, 5)所以，将 A(-1 , 0), B(4, 5), C(0, -1)代入 yax2 bx c a 0 可得0 a b c5 16a 4b 1 ,解得c 1121 121.一 ,进而，y x - x 12 221(2) y2111

6、x 1= x222所以，函数的对称轴为直线x1 , 1 一 ，一 ，.-，点A(-1 ,0)关于直线x 2的对称点为A (2 ,1 . 、 ,一 .0) o A C与直线x -的父点即为点Po2设AC所在直线解析式为y kx b ,进而可得y2x 1所以,点P的坐标为2.解:(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式，得9a解得a c二次函数的解析是为y= x2+ 2x+ 3 ;若四边形POP C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上,如图1,连接PP ,则PEECQ垂足为E,y.qo, 3),图i . E(0 ,点p的纵坐标3 ,2当 y=3时即x2+ 2x+ 3 -, 22解得xi 八的 x2

7、 20（不合题意，舍）, 22二点P的坐标为（孑,沙 (3)如图2,图2P在抛物线上，设P(m, m2+ 2mH3), 设直线BC的解析式为y = kx+b, 将点B和点C的坐标代入函数解析式，得3k 3解得 直线BC的解析为y= x+3, 设点Q的坐标为(mi, mi+ 3),PQ= m2+ 2mH3( -mH3) = m2+ 3mi 当 y = 0 时，x2+ 2x+3=0, 解得 xi= 1, x2= 3,。”1,AB= 3(1)=4,SI边形 ABPC - SV ABC + SV PCQ + SV PBQ=-AB?OC - PQ?O斗-PQ?FB222=1 X4X3+ 1 (-m2+

8、3m) x3 22四边形ABPC勺面积最大.-m2+2mH3=15，即P点的坐标为(3,.)当点P的坐标为（3 , 15）时，四边形ACPB勺最大面积值为75 . 2483 .解：（1）将A, B, C代入函数解析式，得a b c 0 9a 3b c 0 ,c 3a 1解得b 2 , c 3这个二次函数的表达式y=x2 2x3;（2）设BC的解析式为y = kx + b,将B, C的坐标代入函数解析式，得3k解得BC的解析式为y = x3,设 M(n, n 3), P(n, n2 2n 3),PM= (n- 3) 一 (n - 2n 3) n + 3n= (n) + _ ,24当 n= 3时，

9、PMt大=9 ； 当 PM= PC时，(-n2+ 3n)2 = n2+ (n2-2n-3+3)2,解得n=n2=0(不符合题意，舍)，%=3,n 一 2n 一 3 = 0,P(3, 0).当 PMh MC寸,(-n2+3n)2=n2+(n-3+3)2,解得m = 0(不符合题意，舍)，n2= 3&,n3=3+V2(不符合题意，舍),P(3一2-472)； 综上所述：P(3 应,24隹).4 .解:(1) vy=-x2+6x-5=-(x-3)2+ 4, 顶点 P(3 , 4),令 x = 0 得至ij y= -5,C(0 . 5).x=1 或 5,(2)令 y = 0, x2 6x+5= 0,解

10、得A(1 , 0), B(5, 0),设直线PC的解析式为y = kx+b,则有b3k解得：I,直线PC的解析式为y = 3x5,设直线交x轴于D则咚),设直线PQ交x轴于E,当BE-2AD时， PBQ的面积等于 PAC的面积的2倍,2 vAD= 2 ,319，吗，0收嚼，0)则直线PE的解析式为y= 6x + 22,OxQ1 CZ PQ直线PE的解析式为y=6x+3821Q(,5)，,、,4一 ，.921综上所述，满足条件的点q,-5)(万，-5 .解：(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式，得9a 6c 3 解得ac二次函数的解析是为y= x2+ 2x+ 3 ;若四边形POP C为菱形，则

11、点P在线段CO的垂直平分线上,如图1,连接PP ,则PE,CQ垂足为E,，点P的坐标为(*02);(3)如图2,P在抛物线上，设P(m, m2+ 2mH3), 设直线BC的解析式为y = kx+b,将点B和点C的坐标代入函数解析式，得3k 3b 3解得直线BC的解析为y= x+3设点Q的坐标为(m, -rx3)3),P0= m2+ 2mH3( -mH3) = m2+ 3mi当 y = 0 时，x2+ 2x+3=0,解得 xi=-1, X2= 3,OA= 1,AB= 3(1)=4,酮边形 ABPC= Sv ABC+ Sv pcq+ SvpbQ111=1 AB?0O - PQ?O斗PQ?FB222

12、= 1X4X3+1( m2+ 3m) x322233 75mi -十,228当m= 3时，四边形ABPC勺面积最大.2当m= 3时，m2+2mH3=15,即P点的坐标为(3 , 15). 2424当点P的坐标为(3 , 15)时，四边形ACPB勺最大面积值为75 .2486 . (1)解：把 y=0 代入 y x 1,得 x=-1 ,所以 A(-1 , 0)由 OA=O彳4 c(0, -1)ax2 bx c a 0 可得将B(4, m)代入y x 1可得m=5所以B(4, 5)121 ,进而,21所以，将 A(-1 , 0), B(4, 5), C(0, -1)代入 y0 a b c5 16a

13、 4b 1 ,解得c 1(2)连接BD并延长，交y轴于点G,则点G即为所求。55。设BD所在直线解析式为y kx b,代入B(4, 5), D(2, 0)进而可得y -5 x5当x时y - x 552所以，存在这样的点G(0, -5)312,7 .解：(1)把点B3,2代入y ax22解得：a=1,21抛物线的解析式为：y x 12;t1 由对称性知；当t1一时，也潴足/ OP阱/MAF 小 “ 1由 y x -2 知 A(, -2),22设直线AB解析式为：y=kx + b,代入点A, B的坐标,12 3kb2 3kb2解得: 直线AB的解析式为：y= 2x1,易求 E(0 , 1) , F

14、 0, 7 , M1,0 ,42若/ OPMt / MAF. OP/ AF,.OPU AFA.OP_OE 14.- .FA FE 3 34OP 15 FA 4J(1 0)2 ( 2 孑)2 冬, 33 - 243设点 P(t , 2t 1),则：# ( 2t 1)2 3解得 t1t22,15322.4一,t22都满足条件,1531 _ _POE勺面积=?OE?|t | ,2一 一一一，1 ,、1.POE勺面积为或.153(3)若点Q在AB上运动,如图1,设Qa,由翻折知2a 1),则 NE= a、QN= - 2a,QN =QN= 2a、N E= NE= a,由/ QNE= / N= 90 易知 QRN s N SE,RN QNNS ES ENQR 2a 1 2a -=二2ES2a 1.QFU 2、ES= -2a-,由 N 9 ES= NS= QR# a +解得：a=夕，4q-5 3) , 4 2)若点Q在BC上运动，且Q在y轴左侧，如图设 NE= a,贝U N E= a,