高等数学最新课件高阶导数及相关变化率doc资料

1、高等数学高等数学2017年最新课件高阶年最新课件高阶导数及相关变化率导数及相关变化率即即处处可可导导在在点点的的导导数数如如果果函函数数,)()(xxfxf ,)()(lim) )(0存在存在xxfxxfxfx 定义定义记作：记作：.)()(2222dxxfddxydyxf或或或或或或 .)() )(处处的的二二阶阶导导数数在在点点为为函函数数则则称称xxfxf ,一一般般地地导导数数可可定定义义三三阶阶导导数数、四四阶阶类类似似地地:,1分分别别记记作作阶阶导导数数阶阶导导数数的的导导数数称称为为 nn nndxfddxfddxfd,4433或或)(4),nyyy )(,),(, )()(4

2、)xfxfxfn 或或nndxyddxyddxyd,4433或或 )()1()1()(nnnydxdyy1.二阶及二阶以上的导数称为二阶及二阶以上的导数称为高阶导数高阶导数。即：即：注：注： 约定约定:;的的一一阶阶导导数数称称为为函函数数yy .,)0(yyyy 即即的零阶导数的零阶导数称为函数称为函数), 2 , 1 , 0( n2.函数函数 f(x)在点在点x处具有处具有n阶导数阶导数,也常说成也常说成 f(x)在在 点点x处处n阶可导阶可导, 而且而且当当 f(x)在点在点x处处n阶可导时阶可导时,蕴涵着在蕴涵着在x的某邻域内一切低于的某邻域内一切低于n阶的导数都是存在且连续的阶的导数

3、都是存在且连续的.2 2、高阶导数的计算、高阶导数的计算1)直接法：直接法：即由高阶导数的定义逐步求高阶导数即由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例例1 . ),1ln(2yxxy 求求,112 xy) 1(212 xy23) 1(2 xy)3) 1() 1(22225xxx 解解23) 1(2 xxxx2) 1(21232 xxx2) 1()23(252 25) 1(1222 xx例例2 阶阶导导数数：计计算算下下列列函函数数的的 n xxxex)4()1ln()3(sin)2()1( 解解 )(1()(xnxee )()( nxa一般：一般：nxaa)(ln xxycos)(sin)2( )2

4、sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()(sin)()( nxxynn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得)1ln()3(xy 设设注意注意: :xy 11则则2)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy ) 1! 0, 1()1()!1() 1()1ln(1)()( nxnxynnnn 求求n n阶导数时阶导数时, ,求出求出1-31-3或或4 4阶后阶后, ,不要急于合并不要急于合并, ,分析结果分析结果的规律性的规律性, ,写出写出n n阶导数阶导数.(.(数学归纳法证明数学归纳

5、法证明) )()4(Rxy 设设1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn则则为自然数为自然数若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 注注 1)直接法求直接法求n阶导数一般适用于阶数不太高阶导数一般适用于阶数不太高,如如 n5时时. 2)我们用直接法求出了一些高阶导数的基本公我们用直接法求出了一些高阶导数的基本公 式式,应该记住：应该记住：nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1() 1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3(

6、)( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(1)(!) 1()1( nnnxnx) 1! 0, 1()1()!1() 1()1ln(1)( nxnxnnn例例3.)(1322yydyxdydydx 推推出出试试从从 ydyddydxdyddyxd1)(22dydxydxd )1(3)(yy 解解yyy 1)(2)()(12ydxdy y 12)间接法间接法所谓所谓间接法间接法,即利用已知的高阶导数公式即利用已知的高阶导数公式, 通过运算法则通过运算法则, 变量变量代换等方法代换等方法, 求出求出n阶导数阶导数. 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则则则阶

7、阶导导数数具具有有和和设设函函数数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu vunnvnuvuvunnnn )2()1()()(! 2)1()()3(莱布尼兹公式莱布尼兹公式)()(0kknnkknvuC )()()(!)1()1(nkknuvvukknnn 例例4 阶阶导导数数：计计算算下下列列函函数数的的 n212)3(cossin)2(3sin)1(2662 xxxyxxyxxy解解)(2)()3sin()1(nnxxy 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 uv2)()3(sinxxn )()3(sin2)1( xxnn)()3(sin! 2)1(2)2( xx

8、nnn2)23sin(3xnxn xnxnn2)2) 1(3sin(312)2)2(3sin(3! 2) 1(2nxnnnxxy66cossin)2( 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn212)3(2 xxxy解解2122 xxxy131235 xx11)1(31)2(35 xxnnxny 1)()2)()2)(1(53nxn 1)1)()2)(1(31注：注：计算高阶导

9、数一般比较麻烦计算高阶导数一般比较麻烦,多使用间接法多使用间接法,使用时使用时,应根应根据给出的函数先予以化简变成基本公式中的形式据给出的函数先予以化简变成基本公式中的形式(如如(2)(3),然然后再套用公式计算。后再套用公式计算。例例5.,),()tan(yyxyyyxy 求求确确定定设设方方程程解解求求导导得得：方方程程两两边边对对x)1)(sec2yyxy 整整理理得得：)(sec1)(sec22yxyxy :,求求导导继继续续对对的的函函数数仍仍视视为为将将上上式式中中的的xxy)11(22233yyyyy )(tan112yxy 211yy .)()cos1(),sin(的二阶导数的

10、二阶导数确定的函数确定的函数所所求由摆线求由摆线xyyayax 例例6解解 xydxdy )cos1(sin aa cos1sin )cos1sin(22 dxddxyddxddd )cos1sin(2)cos1(sinsin)cos1(cos )cos1(1 a2)cos1(1 a,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即一般地，一般地，注：应掌握该结论的推导思想！注：应掌握该结论的推导思想！二、相关变化率,)()(都都是是可可导导函

11、函数数及及设设tyytxx 相关变化率问题相关变化率问题: :已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?.化化率率称称为为相相关关变变化化率率这这样样两两个个相相互互依依赖赖的的变变,之之间间存存在在某某种种关关系系与与而而变变量量yx,间间也也存存在在一一定定关关系系与与从从而而它它们们的的变变化化率率dtdydtdx我们来介绍导数在相关变化率问题中的简单应用我们来介绍导数在相关变化率问题中的简单应用.10,/102速速度度时时体体积积和和表表面面积积的的增增长长求求当当半半径径为为的的速速度度增增长长着着一一个个气气球球的的半半径径以以cmscm例例

12、7 7解解),(,trrt 气气球球的的半半径径为为时时设设在在时时刻刻分分别别为为则则气气球球的的体体积积和和表表面面积积)(34V3tr )(4S2tr .的函数的函数都是都是和和显然，显然，tSV?)(?)(10 tStVcmr时时今今问问：当当,)( 未知未知因为因为tr,)(),(的的导导数数关关于于无无法法求求出出ttStV从从而而得得发发考考虑虑问问题题所所以以只只能能从从已已知知公公式式出出,dttdrtrdtdS)()(24 scmdtdStr/800101024210)( 类类似似地地，./800,/4000,1023scmscmcmr 表面积的增长速度为表面积的增长速度为体积的增长速度为体积的增长速度为时时即即 dttdrtrdtdV)()(3342 2/10)(scmdttdr 由由题题设设知知scmdtdVtr/4000101043210)( 时时cmtr10)( 例例8 8.,/,)(),(3水面上升的速度半时圆锥形容器的高度的一试求容器内水位高度为注水的速度由顶部向容器内如以容器的正圆锥高为有一个底半径为sAcmcmhcmR解解),(,txxt 容容器器内内水水面面高高度度为为时时设设在在时时刻刻?21 dtdxhx时时今今问问：当当水水注注入入水水面面升升高高是是由由于于顶顶部部有有容容器器水水量量增增加加