北京交通大学(最优控制理论与算法研究生课程)第一章 最优控制

1、最优控制理论与应用最优控制理论与应用授课教师：授课教师：柳向斌柳向斌单位：单位：先进控制系统研究所先进控制系统研究所本本 章章 简简 介介(1/1)(1/1)考核方式考核方式:q 期末考试：期末考试：70%q 大作业：大作业：30%参考书目：参考书目：张洪钺，王青张洪钺，王青. 最优控制理论与应用最优控制理论与应用, 高等教育出版社；高等教育出版社；解学书解学书. 最优控制理论与应用最优控制理论与应用，清华大学出版社；，清华大学出版社；1. 王朝珠，秦化淑王朝珠，秦化淑.最优控制理论最优控制理论, 科学出版社科学出版社. 简简 介介(1/1)(1/1)本课程的主要内容本课程的主要内容q 讲解最

2、优控制问题初步，目的是掌握求解最优控制问题的主要理论和方法，能对一些常见的最优控制问题进行有效的分析，控制器设计和求解。 主要内容包括 泛函基础 变分法、极大值原理及其在最优控制中的应用 线性二次型最优控制问题 离散系统的最优控制问题 动态规划及其在最优控制中的应用 微分对策控制 最优鲁棒控制p 最后介绍基于 Matlab 的线性系统的线性二次型最优控制系统的设计计算与运动仿真问题的程序设计与仿真计算。最优控制概述最优控制概述(1/1)1/1)第第 1 章章 最优控制概述最优控制概述 q 在20世纪50年代末开始迅速发展起来的现代控制理论中，最优控制是其一个主要内容，目前仍是非常活跃的一个分支

3、。 最优控制问题是从大量的实际问题中提炼出来的， 它的发展与航空、航天和航海的制导、导航和控制技术密不可分； 化工过程中有着广泛的应用；等等。 下面先通过几个应用实例来引出最优控制问题，然后讨论最优控制问题的描述及数学表达。 内容包括：v最优控制的问题提出最优控制的问题提出v最优控制的问题描述最优控制的问题描述v最优控制的发展简史最优控制的发展简史 最优控制问题的提出(1/1)(1/1)1.1 最优控制问题的提出最优控制问题的提出q 考虑下面几个实际最优控制问题的例子， 飞船的月球软着陆问题飞船的月球软着陆问题 拦截问题拦截问题 连续搅拌槽的温度控制问题连续搅拌槽的温度控制问题飞船的月球软着陆

4、问题飞船的月球软着陆问题(1/3)(1/3)1) 飞船的月球软着陆问题飞船的月球软着陆问题q 飞船靠其发动机产生一个与月球的重力方向相反的推力, 以控制飞船实现软着陆, 即达到降落到月球表面时的速度为零。 问题要求设计发动机推力u(t)=f(t)程序,使飞船携带的燃料最少或着陆时间最短(最速升降问题)。q 设飞船的质量为m，高度和垂直速度分别为 h 和 v，月球的重力加速度 g可视为常数，飞船的自身质量及所携带的燃料分别为 M 和 F。 若飞船于某一初始时刻起开始进入着陆过程, 由牛顿第二定理和物料(燃料)平衡关系可知,飞船的运动方程为, 0mkhvffvgmk 飞船的月球软着陆问题飞船的月球

5、软着陆问题(2/3)(2/3) 要求控制飞船从初始状态h(0)=h0, v(0)=v0, m(0)=M+F出发，在某一末态时刻 tf 实现软着陆，即h(tf)=0, v(tf)=0 控制过程中，推力 f(t) 不能超过发动机所能提供的最大推力 fmax，即-fmax f(t) fmax 满足上述约束条件, 使飞船实现软着陆的推力程序并非一种，其中消耗燃料最少的称为燃料最优控制问题, 着陆时间最短的称为最速升降问题或时间最优控制问题。飞船的月球软着陆问题飞船的月球软着陆问题(3/3)(3/3) 这两个问题可归结为分别求 J1= J1(tf) - 燃料消耗最少，或者 J2= J2(tf) - 着陆

6、时间最短为最小的数学问题。 拦截问题拦截问题(1/2)(1/2)2) 拦截问题拦截问题在某一惯性坐标系内，设质量为在某一惯性坐标系内，设质量为m(t)拦截器拦截器L质心的位置矢量和质心的位置矢量和速度矢量为：速度矢量为：, LLxx 目标目标M质心的位置矢量和速度矢量为：质心的位置矢量和速度矢量为：拦截器的推力为：拦截器的推力为：F(t) ，即控制输入。，即控制输入。 , MMxx MLMLxxvxxx 拦截器与目标的相对运动拦截器与目标的相对运动方程为：方程为： ,( ) ( ),( )( ),xvF tva tm tF tmc 其中其中a(t)是除控制加速度外的固有相对加速度，是已知的。是

7、除控制加速度外的固有相对加速度，是已知的。拦截器和目标的相对位置和速度为：拦截器和目标的相对位置和速度为：拦截问题拦截问题(2/2)(2/2)从工程实际考虑，约束条件为：从工程实际考虑，约束条件为： 0( )max( )F tF t如果我们既要求拦截过程的时间尽量短，又要求燃料消耗尽量少，则可取性如果我们既要求拦截过程的时间尽量短，又要求燃料消耗尽量少，则可取性能指标：能指标： fttdttFcJ0)(1为最小为最小. . 综上所述，所谓最优拦截问题，即选择满足约束条件的控制综上所述，所谓最优拦截问题，即选择满足约束条件的控制F F( (t t) ), ,驱使系统驱使系统从初始状态出发的解，在

8、某个时刻满足终端条件，且使其性能指标为极值从初始状态出发的解，在某个时刻满足终端条件，且使其性能指标为极值（极小值）。（极小值）。初始条件为：初始条件为：000000)()()(mtmvtvxtx终端条件为：终端条件为： ()0(),ffx tv t任意(), fendm tmendm为燃料燃尽后拦截器的质量为燃料燃尽后拦截器的质量. 连续搅拌槽的温度控制问题连续搅拌槽的温度控制问题(1/2)1/2)3) 连续搅拌槽的温度控制问题连续搅拌槽的温度控制问题 q 设有一盛液体的连续搅拌槽, 如图1所示。槽内开始装有0oC 的液体, 现需将其温度经1小时后升高到40oC。图图 1 连续搅拌槽示意图连

9、续搅拌槽示意图 为此在入口处以常速流入液体，温度为 u(t), 经槽内不停转动的搅拌器使槽内液体温度均衡上升。 设流出的液体保持槽内液面恒定,在出口处温度与槽内液体一致。 试寻找 u(t) 的变化规律, 使槽中液体的温度经1小时后上升到40oC, 并要求所散失的热量最少。连续搅拌槽的温度控制问题连续搅拌槽的温度控制问题(2/2)2/2)q 因假定槽内液体温度均衡,设为x(t)。 由题设条件可知, x(t) 的边界条件为x(0)=0oC, x(1)=40oC 由热力学知识可知, 槽内的液体温度的变化率与温差u(t)-x(t)成正比,即式中, k1为比例系数。 我们的目标是确定流入的液体的温度u(

10、t)如何变化, 使得散失的热量最少, 即归结为在上述状态方程和边界条件下, 求函数 最小的数学问题。 1( ) ( )( ),( )0, (1)40 x tk u tx tx txC102322d)()(ttuktxkJ最优控制问题的描述最优控制问题的描述(1/1)(1/1)1.2 最优控制问题的描述最优控制问题的描述q 从前面的应用实例可以看出，最优控制问题可以抽象成共同的数学问题描述，为最优控制理论研究带来方便。 所谓最优控制问题的描述, 就是将通常的最优控制问题抽象成一个统一描述的数学问题, 并用数学语言严格地表述出来。 最优控制问题的要素包括: 被控系统（对象）的数学模型被控系统（对象

11、）的数学模型 目标集目标集 容许控制容许控制 性能指标性能指标 最优控制问题的描述最优控制问题的描述 被控系统的数学模型被控系统的数学模型(1/2)(1/2)1. 被控系统的数学模型被控系统的数学模型q 前面讨论的飞船控制系统和搅拌槽温度系统都是非线性系统,所建立的描述该最优控制问题的数学模型都为状态空间表达式。 因此, 对一般被控系统的最优控制问题, 其数学模型可以用如下非线性时变系统的状态空间表达式来描述:式中 x 为 n 维状态向量; u 为 r 维输入向量; y为m维输出向量; f(x,u,t) 和 g(x,u,t) 分别为关于n维状态向量 x和m维输入向量 u 以及时间 t 的非线性

12、函数向量。),(),(ttuxgyuxfx 被控系统的数学模型被控系统的数学模型(2/2)(2/2)q 对许多实际被控系统, 在一定精度范围内, 其最优控制问题中的数学模型多为 线性定常系统 线性时变系统 非线性定常系统 的状态空间表达式来描述。目标集目标集(1/3)(1/3)2. 目标集目标集q 动态系统在控制 u(t) 的作用下从一个状态迁移另一个状态的转移, 这种转移可以理解为状态空间的一个点或系统状态的运动。 在最优控制问题中, 系统运动的初始状态(称初态)通常已知, 即 x(t0) = x0 为已知, 而所要达到的最终状态(称末态)是控制所要求达到的目标。目标集目标集(2/3)(2/

13、3) 末态因不同问题,可以是状态空间的一个点, 更为一般的情况是末态要落在事先给定的范围内, 如要求末态满足如下约束条件g1(x(tf),tf)=0 g2(x(tf),tf) 0 式中, g1(x(tf),tf) 和 g2(x(tf),tf) 为关于末态时刻 tf 和末态状态 x(tf) 的非线性向量函数。 上述末态约束条件概括了对末态的一般要求。 实际上, 该末态约束条件规定了状态空间中的一个时变的或时不变的集合, 此种满足末态约束的状态集合称为目标集, 记为M，并可表示为M =x(tf): x(tf)Rn, g1(x(tf),tf) = 0, g2(x(tf),tf)0 目标集目标集(3/

14、3)(3/3) 需要指出：有些最优控制问题并没有对末态加以约束，则该问题的目标集为整个状态空间Rn， 但此时并不意味着对末态没有要求，系统还可以通过下面要介绍的性能性能指标等以约束末态指标等以约束末态。 至于末态时刻 tf , 它可以事先规定, 也可以由对末态的约束条件和性能指标等约束。容许控制容许控制(1/1)(1/1)3. 容许控制容许控制q 输入向量 u(t) 的各个分量 ui (t) 往往是具有不同的物理性质和意义的控制量, 在实际系统中, 大多数控制量受客观条件的限制, 只能在一定范围内取值。 如飞船控制系统中控制量有大小范围的限制; 又如在控制量为开关量的控制系统中, 输入仅能取有

15、限的几个值,如 -1, +1。 由控制量约束条件所规定的点集称为控制域, 并记为U。 凡在闭区间t0, tf上有定义, 且在控制域U内取值的每一个控制函数 u(t) 称为容许控制, 并记为 u(t)U。 通常假定容许控制 u(t) 是一个有界连续函数或者是分段连续函数。性能指标性能指标(1/3)(1/3)4. 性能指标性能指标q 从前面的应用实例可以看出, 最优控制问题最后归结到从所有容许控制中容许控制中找出一种效果最好的控制律, 这就需要一个能衡量控制效果好坏或评价控制品质优劣的性能指标函数性能指标函数。 例如, 飞船控制系统要求所携带的燃料最少燃料最少或到达末态的时间最短, 而连续搅拌槽系

16、统的性能指标为一个带函带函数积分的指标数积分的指标, 要求其为最小； 由于各种最优控制问题所要解决的主要矛盾（问题）不同, 设计者的着眼点不同，因此归结出的性能指标是不同的。性能指标性能指标(2/3)(2/3)q 一般形式的性能指标为 式中, 右边第1项称为末态性能指标末态性能指标, 体现了对末态的要求; 第2项称为积分性能指标积分性能指标, 体现了对系统状态变化过程中对的状态 x(t) 和控制u(t) 的要求; 在通常情况下, 可将各种不同的性能指标视为一般形式的性能指标的一种特例。 如飞船控制系统的性能指标可以视为当S(x(tf),tf) = m(tf), L(x,u,t)=0时上述一般形

17、式性能指标的一个特例。0( ( )(,( ), )d),)fffttStLtt tttJ xux性能指标性能指标(3/3)(3/3)q 性能指标函数又称为指标泛函、目标函数、成本函数和评价指标泛函、目标函数、成本函数和评价函数等函数等。最优控制问题的描述最优控制问题的描述(1/2)1/2)5. 最优控制问题的描述最优控制问题的描述 q 总结上述最优控制问题的数学模型、目标集、容许控制以及性能指标, 则最优控制问题的描述可叙述为: 已知被控系统的状态方程及给定的初态如下： 规定的末态目标集为:M=x(tf): x(tf)Rn, g1(x(tf),tf)=0, g2(x(tf),tf)0 求一容许

18、控制u(t)U, tt0,tf, 使被控系统由给定的初态x0 出发, 在 tf t0 时刻转移到目标集 M, 并使如下性能指标为最小 00( )( ( ), ( ), ),( )ttt tt xf xuxxfttffttttLttSJ0d),(),(),(uxx最优控制问题的描述最优控制问题的描述(2/2)2/2)q 值得注意的是, 所谓的“最优性”, 是指被控系统相对于性能指标函数意义下的最优性。 不同的性能指标函数, 最优控制结果是不相同的。最优控制发展简史最优控制发展简史(1/5)(1/5)1.3 最优控制发展简史最优控制发展简史q 20世纪50年代, 随着现代化生产的发展, 特别是空间

19、技术空间技术的发展, 被控系统日趋复杂, 对自动控制提出的要求愈来愈高。 建立在传递函数、频率特性基础上的经典控制理论, 存在诸多局限性。主要表现在主要表现在: 首先, 它只适用于集总参数的SISO线性定常系统, 且只适应于以解决伺服系统稳定性为主要目标的设计问题, 难以适应综合性能指标的系统控制设计综合性能指标的系统控制设计。其次, 在应用经典控制理论设计时, 需要凭经验试凑及大量手工计算, 难以用来解决复杂问题，如PID控制。最优控制发展简史最优控制发展简史(2/5)(2/5)现代化生产的发展使系统所要求的品质指标, 如时间、成本或综合性能指标, 取极值直至最优的控制方法成为控制理论与工程的关键问题。q 现代控制理论能处理的问题的范围很广泛 它可以用来处理时变时变系统、非线性非线性系统、MIMO系统以及分布参数系统的问题；用它来处理随机系统和离散系统问题同样是很方便的。 最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分， 同样能处理的控制问题的范围也非常广泛。最优控制发展简史最优控制发展简史(3/5)(3/5)q 早在20世纪50年代初期, 就发表了用工程观点研究最短时间控制问题的文章, 为最优控制理论发展提供了最早的实际模型。 由于最优控制问题的严