玻尔兹曼方程

1、第四节第四节 玻尔兹曼方程玻尔兹曼方程本节主要内容：本节主要内容：6.4.1 6.4.1 玻尔兹曼方程的微分积分方程玻尔兹曼方程的微分积分方程6.4.2 6.4.2 弛豫时间近似弛豫时间近似 金属中的电子，在外场作用下会产生附加运动。如在外加金属中的电子，在外场作用下会产生附加运动。如在外加电场中，产生电流；在外加温度场中，产生热流。这种由外场电场中，产生电流；在外加温度场中，产生热流。这种由外场引起的电荷或能量从一个区域到另一个区域的迁移现象称为输引起的电荷或能量从一个区域到另一个区域的迁移现象称为输运现象。运现象。电流密度：电流密度：Ej 为金属的电导率。为金属的电导率。kkkd 中的电子

2、数：中的电子数：kVkfCd)2(2)(3取单位体积取单位体积VC= =1kd中的电子对电流密度的贡献为：中的电子对电流密度的贡献为：kkfkevd)2(2)()(3 kkfkevjd)2(2)()(36.4 玻尔兹曼方程)(kf 不同状态电子的分布函数不同，不同状态电子的分布函数不同， 是在外场下的非平衡分是在外场下的非平衡分布函数。布函数。 如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？ kkfkevjd)2(2)()(3 玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数的玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数的方程。方程。 由于玻尔兹曼方程比较复杂

3、，我们只限于讨论电子的等能由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨论电子的等能面是球面，且在各向同性的弹性散射以及弱场的情况。面是球面，且在各向同性的弹性散射以及弱场的情况。6.4.1 玻尔兹曼方程的微分积分方程)(ddBvetkF 电子分布函数电子分布函数f是波矢是波矢 、空间坐标、空间坐标 和时间和时间t的函数的函数。kr温度梯度温度梯度r变化变化f变化变化B ， k变化变化f变化变化 在外电场在外电场 和磁场和磁场 中，电子的运动规律是中，电子的运动规律是B以波矢以波矢 坐标坐标 为变量组成的空间称为相空间。为变量组成的空间称为相空间。kr在相空间中讨论非平衡条件下电子的分布函数。在相空间

4、中讨论非平衡条件下电子的分布函数。1.相空间),(tkrfr描述描述t时刻电子在晶体内时刻电子在晶体内 处波矢为处波矢为 的概率的概率。 k电子分布函数的变化表示为电子分布函数的变化表示为漂漂碰碰tftftf 碰撞引起的分布函数的变化碰撞引起的分布函数的变化2.分布函数的变化漂移作用引起的分布漂移作用引起的分布函数的变化函数的变化漂漂碰碰tftftf 漂移项漂移项= =外场作用力引起的电子波矢的漂移外场作用力引起的电子波矢的漂移+ +速度引起的电子位置的漂移速度引起的电子位置的漂移fkfrkr 漂漂tf 碰撞项：由于晶格原子的振动或杂质的存在等具体的原因，碰撞项：由于晶格原子的振动或杂质的存在

5、等具体的原因，电子不断发生从电子不断发生从 态的跃迁，电子态的这种变化常称为散态的跃迁，电子态的这种变化常称为散射。射。 kk只考虑相同自旋态之间的跃迁。只考虑相同自旋态之间的跃迁。 kkfnd22d3 33)2(d2)2(d)()(1)(kkk,kt ,kft ,kf 处单位体积中处在处单位体积中处在 间的电子数间的电子数kkkd r(1)(1)kk 态的散射概率为态的散射概率为)(k,k (2)(2) kfk 12d23k 态空状态数为态空状态数为(3)(3)单位时间内由于碰撞而进入单位时间内由于碰撞而进入 态的电子数为态的电子数为k d(4)(4)( (只考虑自旋相同的跃迁只考虑自旋相同

6、的跃迁) ) 333)2(d2)2(d2)2(d)()(1)(kakkk,kt ,kft ,kfk单位时间内由于碰撞而离开单位时间内由于碰撞而离开 态的电子数为态的电子数为kd(4)(4) 333)2(d2)2(d2)2(d)()(1)(kbkkk,kt ,kft ,kfk单位时间内由于碰撞而进入单位时间内由于碰撞而进入 态的电子数为态的电子数为kd(5)(5) kkk,kt ,kft ,kfa3)2(d)()(1)( kkk,kt ,kft ,kfb3)2(d)()(1)(如果系统处于稳定状态，则如果系统处于稳定状态，则 ，即，即0 tf0漂漂碰碰tftf abfkfrkr fkfrkr 漂

7、漂tf abtf 碰碰 它是一个微分它是一个微分-积分方程。由于难于求出此方程的解，因积分方程。由于难于求出此方程的解，因此常采用近似方法。最常用的方法为弛豫时间近似方法。此常采用近似方法。最常用的方法为弛豫时间近似方法。 332d22d2kabktftnCCabtfC 6.4.2 弛豫时间近似)(0kfftftf 碰碰 式中式中 是平衡时的费米狄拉克分布函数，是平衡时的费米狄拉克分布函数， 是一个参量，是一个参量，称为弛豫时间，是称为弛豫时间，是k的函数。的函数。0f00)( fff 电子的分布函数偏离了平衡分布，系统依赖碰撞恢复平衡电子的分布函数偏离了平衡分布，系统依赖碰撞恢复平衡分布分布0)( f 表示分布函数对平衡的偏离表示分布函数对平衡的偏离1.1.无外场，无温度梯度无外场，无温度梯度0 漂漂tf 总之有了外场和温度梯度，系统的分布才会偏离平衡，无总之有了外场和温度梯度，系统的分布才会偏离平衡，无休止的漂移；有了碰撞，就会使漂移受到遏制，被限制在一定休止的漂移；有了碰