新人教八年级上册数学：从一道题展开的联想

1、通过师生共同探讨得到四种答案：（90, 45, 45）、（108, 36 36）、（36,由一道题展开的联想人教版教材（下简称教材）的问题编写有一个特点，就是讲解例题与课后练习题，单元 习题，拓广探索题互相对应，互相补充， 内容联系到初中数学各年级教学。 只要比较不难发 现其自成一体.在使用过程，笔者根据对一道题的长期跟踪教学， 认识到引导学生在不同章节中观察问题，从结合新的知识点的学习中提问题，在新的知识水平范围内探讨问题，对学 习兴趣的培养，创新意识的渗透大有帮助.原问题：如图 1,在厶 ABC 中，AB = AC ,点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD,求厶 ABC 各角的

2、度数.（教材第一版八年级上册 P142例 1）变式 1 如图 2,在下列等腰三角形中，图1 中/A=360,分别求出它们的底角的度数.变式 2 如图 3, ABC 是等腰直角三角形 AD是底边 BC 上的高，标出/ B、/ C、/ BAD 图中有哪些相等的线段？（教材第一版八年级上册完成以上练习后可以这样提醒同学们：图 3观察到什么现象啦？若没有人发觉，可以进一步提醒：跟课本例 1 比较一下罢。归纳、概括后可以提出一般性的问题吗?有人说：“过等要三角形的顶点画一条直线，可以将三角形分成两个等腰三角形”。有人补充说：“过等腰三角形的任一个顶点画一条直线，可以将三角形分成两个等腰三角形”。又有人说

3、：“满足结论的等腰三角形各个角度有限制，应该是有限个并且是可求的”等。在此 基础上，师生共同探讨，形成一道比较完整的题目：（2001 年广东初中数学竞赛题）如图4,在厶 ABC 中，AB=AC 若过其中一个顶点的一条直线，将 ABC 分成两个等腰三角形，问 ABC 的各内角的度数可能是多少？A图 4通过师生共同探讨得到四种答案：（90, 45, 45）、（108, 36 36）、（36,51172, 72）、（ 25）,（ 77 ）,（ 77）777解答如下：如图 5, ABC 中，/ BAC=90 , AB=AC 过 A 作 AD 丄 BC,垂足为。，则厶ABMHAADC 均为等腰三角形。此

4、时 ABC 各内角的度数分别为 90, 45, 45如图 6, AB=AC / BAO 90,过 A 作 AD 与 BC 相交于点 D,要使 ABD 与 ADC 均为1等腰三角形，只有 AD=BD AC=CD 这时，令/ BAC=x 则/ B=ZC=90 X。 由/ CAD=211113/ ADC180 -(90 x )=45 + x,且/BAD=x-( 45+ x)=x 45,2244413由/ B=ZBAD 有 90 x= x 45，得 x=108。对应 ABC 各内角的度数为 108 ,36,2436如图 7, AB=AC / BAGc 90。过 B 作 BD 交 AC 于点 D;要使

5、ABDD BCD 为等腰三角形，可分两种情形考虑：(i)AD=BD BC=BD 令/ A=x，易求/ A=36 对应 ABC 各内角的度数为 36 , 72, 72(ii)如图 8, AD=BD BC=CD 令/ A=x，则/ BDC 玄 CBD=2x 且/ C=ZABC=3x 有 7x=180 ,51对应 ABC 各内角的度数为（25）, （ 77 ）77以上问题是在观察的基础上，提出问题，师生交流探讨得到解答的。问题，经过分析发现原题是一类题的特例。同学们再看看，是否还可以提出其它有独到见解的问题？随着今后学习内容的增加，可供思考挖掘的题材不断丰富。学习了 “四边形”后，有人由四边形内角和等于360,而 108、108、72、72之和刚好等于 360 ，联想到构造一个等腰梯形，要求梯形连同它的对角线形成尽可能多的（图 9、10、11 中各有 4 个等腰三角形）ABD=x5 x= (25 )71,(77 -)7等腰三角