九年级数学图形的相似与全等

1、九、图形的相似与全等张建良 常熟市实验中学【课标要求】1、图形的相似（1）了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例的线段，会判断已知线段是否成比例.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割. （2）通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方. （3）了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件及其主要性质. （4）了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小. （5）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）.（6）能建立适当的坐标系，描述物体变换的位置.能

2、灵活运用不同的方式确定物体的位置.（7）在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化.2、图形的全等（1）了解图形全等的概念，知道根据图形全等的概念识别全等图形；知道全等图形的对应边、对应角相等，会利用图形的全等解决一些简单的问题.（2）经历三角形全等的识别方法（若两个三角形的三边分别对应相等，则两个三角形全等；若两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，则两个三角形全等；若两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，则两个三角形全等）的探索过程，在与三角形相似的比较中加深认识，并运用这些方法识别三角形的全等.（3）经历直角三角形全等的特殊识别方法（如果两个三角形的斜边及其一条直角边分别对应相等，那

3、么这两个直角三角形全等）的探索过程，并会运用各种方法识别三角形的全等.3、命题与证明（1）了解命题、定义、公理的含义，会区分命题的题设（条件）和结论.（2）结合具体的例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立逆命题不一定成立.（3）通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的.（4）掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据.4、尺规作图（1）掌握下列基本作图：画一条线段等与已知线段、画一个角等于已知角、画角的平分线、画线段的垂直平分线、画一条线段的垂线.（2）会利用基本作图画三角形：已知三边画三角形；已知两边及其夹角画三角形；已知两角及其夹边画三

4、角形；已知底边及其底边上的高画等腰三角形.（3）探索如何过一点、两点和不在同一直线上三点作圆.（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法.（不要求证明）【课时分布】图形的相似及其全等在第一轮复习时大约需要7个课时，其中包括单元测试.下表为内容及课时安排（仅供参考）.课时数内容比例线段、相似三角形的判定2相似三角形的性质及其应用全等三角形的判定1图形相似和全等的综合训练图形相似和全等单元测试与评析【知识回顾】 相似比k=1命题证明定义、命题、公理、定理证 明三角形全等三角形全等的识别直角三角形全等的识别图形的全等基本作图图形的相似对应边成比例，对应角相等的两个多边形是相似多边

5、形相似三角形的识别方法和性质相似三角形相似多边形坐标与图形的运动坐标表示物体的位置1、知识脉络2、基础知识比例线段，若（或ab=cd），则四条线段a、b、c、d叫做比例线段.比例基本性质：若，则ad=bc. 在比例中运用设k法.相似多边形，对应边成比例，对应角相等.（识别方法）相似三角形的相似比（当k=1时,得特殊的相似三角形，称为全等三角形）.相似三角形的判定定理：(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么两个三角形相似；(2)如果一个三角形的两边分别与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角对应相等，那么两个三角形相似；(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边

6、对应成比例，那么两个三角形相似；(4)如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似相似三角形的性质定理：(1)若两个三角形相似，则这两个三角形的对应边成比例，对应角相等.(2)若两个三角形相似，它们对应中线的比，角平分线的比，高的比都等于相似比.(3)若两个三角形相似，它们周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.直角三角形中的射影定理.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.画相似图形，利用位似方法，把一个多边形放大和缩小.全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.命题、定理、公理.五种基本作图及简单的作图题.3、能力要求例1 已知ABC中，ACB

7、=90，CDAB于D， ADBD=23且CD=6.ABCD求（1）AB；（2）AC. 【分析】设AD=2k，BD=3k.根据直角三角形和它斜边上的高，可知ABCACDCBD.通过相似三角形对应边成比例求出其中k的大小；但是如果根据用射影定理，那么就可以直接计算出k的大小.解：设AD=2k，BD=3k（k 0）.ACB=90， CDAB.CD2=ADBD，62=2k3k，k=.AB=.又AC2=ADAB，AC =.【说明】解题的方法可以不止一种，本题采用了补充的射影定理来解，其中通过设k法将两线段的比转化成两线段的长2k和3k，建立关于k的等式.在含有比例的解题中设k法是常用的解题方法之一.例2

8、 已知ABC中，ACB=90，CHAB，HEBC，HFAC.ABCFEH求证：（1）HEF EHC；（2）HEFHBC.【分析】从已知条件中可以获得四边形CEHF是矩形，要证明三角形全等要收集到三个条件，有公共边EH,根据矩形的性质可知EF=CH,HF=EC.要证明三角形相似，从条件中得FHE=CHB=90,由全等三角形可知，HEF=HCB,这样就可以证明两个三角形相似.【证明】HEBC，HFAC，CEH =CFH=90.又ACB=90，四边形CEHF是矩形.EF=CH,HF=EC，FHE=90.又HE=EH，HFE EHC.HEF=HCB.FHE=CHB=90，HEFHBC.【说明】在这一题

9、的分析过程中，走“两头凑”比较快捷，从已知出发，发现有用的信息，从结论出发，寻找解决问题需要的条件.解题中还要注意上下两小题的“台阶”关系.培养学生良好的思维习惯.CEADMB例3 两个全等的含30，60角的三角板ADE和ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连结ME，MC.试判断EMC的形状，并说明理由.【分析】判断一个三角形的形状，可以结合所给出的图形作出假设，或许是等腰三角形.这样就可以转化为另一个问题：尝试去证明EM= MC，要证线段相等可以寻找全等三角形来解决，然而图中没有形状大小一样的两个三角形.这时思考的问题就可以转化为这样一个新问题：如何构造

10、一对全等三角形？根据已知点M是直角三角形斜边的中点，产生联想：直角三角形斜边上的中点是斜边的一半，得：MD= MB= MA.连结M A后，可以证明MDEMAC.【答】：EMC的形状是等腰直角三角形.【证明】连接AM,有题意得,DE = AC，AD=AB，DAE+BAC=90. DAB=90. DAB为等腰直角三角形. 又MD= MB，M A= MD= MB，AMDB，MAD=M AB=45. MDE=MAC=105， DMA=90.MDEMAC. DME=AMC，ME=MC.又DME+EMA=90，AMC+EMA=90.MCEM.EMC的形状是等腰直角三角形.【说明】构造全等三角形是解决这个问

11、题的关键，那么构造全等又如何进行的呢？对条件的充分认识和对知识点的联想可以找到添加辅助线的途径.构造过程中要不断地转化问题或转化思维的角度.会转化，善于转化，更能体现思维的灵活性.在问题中创设三角板为情境也是考题的一个热点.例4 如图，已知MON=90，等边三角形ABC的一个顶点A是射线OM上的一定点，顶点B与点O重合，顶点C在MON内部.（1）当顶点B在射线ON上移动到B1时，连结AB1为一边的等边三角形AB1C1（保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）设AB1与OC交于点Q，AC的延长线与B1C1交于点D.求证：；（3）连结CC1，试猜想ACC1为多少度？并证明你的猜想.【分析】用尺规作

12、图画出符合题意的等边三角形AB1C1是对问题（2）研究的关键.分别以A、B1两点为圆心，AB1长为半径作弧，两弧的交点即为点C1.然后把等积式改写比例式，找出所需的两个相似三角形.【解】 （1）如图所示；NOACQB1MC1D（B）【证明】（2）AOC与AB1C1等边三角形，ACB=AB1D=60.又CAQ=B1AD, ACQAB1D；(3) 猜想ACC1=90.证明:AOC和AB1C1为正三角形,AO=AC，AB1=AC1，OAC=C1AB1，OAC-CAQ=C1AB1-CAQ，OAB1=CAC1 .AO B1 AC C1.ACC1=AOB1=90.【说明】问题中要求学生画出正AB1C1，是

13、对学生理解能力和动手能力的考验,教材中安排的五种基本作图，教学中应当给予一定的重视.同时通过比例线段确认要证的相似三角形是常用方法之一. 问题(3) 是一道结论开放的问题，根据对已知条件的分析，对图形的观察，猜想直角，再根据所推断出的目标，去证明猜想是正确的.这样既培养学生的合情推理能力，也给了学生一个探索的平台.例5 (1)已知如图，在AOB和COD中，OA=OB，OC=OD，AOB=COD=60.求证：AC=BD,APB=60.(2) 如图，在AOB和COD中，OA=OB,OC=OD, AOB=COD=,则AC与BD间的等量关系式为_；APB的大小为_.(3) 如图，在AOB和COD中，O

14、A=kOB,OC=kOD(k1), AOB=COD=,则AC与BD间的等量关系式为_；APB的大小为_.BACDOPACBOPDACBPOD【分析】要证AC=BD，在图可以找AC 与BD所在的两个三角形全等。即证明AOCBOD可以解决.求APB的度数可以通过三角形内角和转化成AOB的度数. (2)、 (3)题的答案，可以“复制”（1）题中的解题思路来完成.【证明】AOB和COD为正三角形, OA=OB， OD=OC，AOB=60，COD=60.AOB+BOC=COD+BOC，AOC=BOD.AOCBOD ，AC=BD.OAC=OBD，APB=AOB= 60.(2)AC与BD间的等量关系式为AC

15、=BD；APB的大小为.(3)AC与BD间的等量关系式为AC=kBD；APB的大小为180-.【说明】三个问题的设计是一个逐步深入的过程,有特殊到一般的过程,图形的展示是一个动态过程,但在变化中却蕴含着不变的事项,例如解决问题时都用到了AOC和BOD，都用到了三角形内角和定理来决定APB与的大小关系. (2) 、(3)小题的解决思路可从题(1)中吸取.这也是这样一类变式题常用的思维方法.例6 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2,工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形，请两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图(1),乙设计的方案如图(2) . 你认为那位同学设计

16、的方案较好？试说明理由.（加工损耗忽略，计算结果可保留分数）【分析】方案(1),设正方形的边长为x m，通过相似三角形对应边成比例建立方程,求出边长. CA(1)BDEF(2)CBADEGFHP方案(2), 设正方形的边长为xm,通过相似三角形对应高的比等于相似比建立方程, 求出边长.【解】方案(1)：有题意可知, DEBA，得CDECBA.；方案(2):作BHAC于H. DEAC，得BDEBAC.如图(1)加工出的正方形面积大.综上所得，甲同学设计的方案较好. 【说明】利用相似三角形的性质解决实际问题，让学生感受生活中的数学.在解决几何中相关的一些计算问题时往往可以转化方程来讨论.当然在教学中可将问题改成：请你给出设计方案，并加于说明.” 这样更突出了问题的探究性，让学生自主探究也是新课标所倡导的.【复习建议】1、在复习中注重分析方法的培养，既能对已知条件能够展开丰富的联想，又能反推解决目标问题所需的条件.多注重与学生思维分析上交流的，抓住问题的“思考点” . 学好图形相似和全等是掌握平行四边形、圆知识的关键.2、在复习相似这一单元的计算题方面，要善于利用相似三角形的相关知识建立方程. 通过方程将某些几何问题转化为代数问题来解答.3、在复习相似与全等这一单元的证明题方面