第03章+刚体力学基础

1、3-1 3-1 刚体的运动刚体的运动3-2 3-2 刚体定轴刚体定轴转动定律转动定律 3-4 3-4 刚体定轴转动的功和能刚体定轴转动的功和能 3-3 3-3 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律和角动量守恒定律1.1.刚体刚体在力的作用下不发生形变的物体。在力的作用下不发生形变的物体。 刚体是实际物体的一种理想的模型刚体是实际物体的一种理想的模型 刚体可视为由无限多个刚体可视为由无限多个彼此间距离保持不变的质彼此间距离保持不变的质元元组成的质点系。组成的质点系。3-1 3-1 刚体的运动刚体的运动 在运动过程中内部任意两点之间的距离始终在运动过程中内部任意两点之

2、间的距离始终保持不变的物体。保持不变的物体。完全描述运动所需的独立坐标数完全描述运动所需的独立坐标数自由度自由度 （确定物体的位置）（确定物体的位置）如：（如：（1）质点的一般运动，需三个坐标描述。）质点的一般运动，需三个坐标描述。自由度自由度=3（2）质点的直线运动，只需一个变数。）质点的直线运动，只需一个变数。自由度自由度=1（4）对刚体，只需确定其三个点，即可确定）对刚体，只需确定其三个点，即可确定其位置。需其位置。需9个变量。个变量。但三个点的间距确定，实际上只需但三个点的间距确定，实际上只需6个变量。个变量。（3）质点系？）质点系？2.2.刚体的运动刚体的运动 刚体的任意运动都可视为

3、某一点的平动和绕通刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点的轴线的转动过该点的轴线的转动2.1 2.1 平动：平动： 特点：特点：平动时，刚体内所有质元具有相同平动时，刚体内所有质元具有相同的位移、速度的位移、速度和加速度。和加速度。 运动过程中，如果连接刚体内任意两点的直运动过程中，如果连接刚体内任意两点的直线都彼此平行，则这样的运动称为线都彼此平行，则这样的运动称为刚体的平动刚体的平动。可用可用质心质心或其或其上任何一点的上任何一点的运动来代表整运动来代表整体的运动。体的运动。自由度：自由度：),(3maxCCCzyx；i2.2 2.2 转动：转动：可分为两种基本形式：定轴转动、定点

4、转动可分为两种基本形式：定轴转动、定点转动运动中各质元均做圆周运动，运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。直线（转轴）上。定轴转动定轴转动xOP rv如：门窗、电机转子等的转动如：门窗、电机转子等的转动i（本章重点讨论定轴转动）（本章重点讨论定轴转动）)(1；定点转动定点转动运动中刚体上只有一点运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕固定不动，整个刚体绕过该固定点的某一瞬时过该固定点的某一瞬时轴线转动。轴线转动。（如陀螺的转动等）（如陀螺的转动等）3i（转轴方向（转轴方向（2 2），绕轴转角（），绕轴转角（1 1）自由度：自由度：刚体不受任何

5、限制的任意运动，称为刚体不受任何限制的任意运动，称为刚体的刚体的一般运动一般运动。2.3 2.3 一般运动：一般运动：它可视为以下两种刚体的基本运动的叠加：它可视为以下两种刚体的基本运动的叠加： 随基点随基点 O O （可任选）的平动（可任选）的平动 绕通过基点绕通过基点 O O 的瞬时轴的定点转动的瞬时轴的定点转动33i如图示的两种运动分解：如图示的两种运动分解：基点基点( (O O 和和O O ) )的选取不的选取不同，平动不同，转动也同，平动不同，转动也可以不同，与基点的选可以不同，与基点的选取有关。自由度？取有关。自由度？3.3.刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述 定轴转动定轴转动刚

6、体上任意点都绕同一刚体上任意点都绕同一轴在各自的平面内作圆周运动。轴在各自的平面内作圆周运动。很显然，刚体各个部分在很显然，刚体各个部分在相同时间内绕转轴转过的相同时间内绕转轴转过的角度（角度（角位移角位移）都相同。）都相同。引入引入角量描述角量描述将非常方便。将非常方便。如：角坐标如：角坐标 ()、角位移角位移 () 等等。刚体绕刚体绕 Oz 轴转动，为了反映刚体转动的方向和快轴转动，为了反映刚体转动的方向和快慢，引入慢，引入角速度矢量角速度矢量和和角加速度矢量角加速度矢量。xOP rvzdtddtd 角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴

7、的方向并满足右手螺旋定则。沿转轴的方向并满足右手螺旋定则。xOP rvz定轴转动刚体上任意点的定轴转动刚体上任意点的 都相同。都相同。、P 点的线速度点的线速度rv P 点的加速度点的加速度22rrvanrdtrddtdvat)(矢量形式：矢量形式：rvran2rat线量和角量关系：线量和角量关系：1.1.外力矩及对转轴的力矩外力矩及对转轴的力矩设第设第 i 个质元受外力个质元受外力 对对 O 点力矩：点力矩： iFiiiFRM)()(/iiiFFrOOiFiiiiiFrFrFOO/OzFOOi垂直OzFrii垂直/都不可能引起刚体的定轴转动都不可能引起刚体的定轴转动只考虑平行只考虑平行Oz（

8、z方向）的分量：方向）的分量：iiizFrMsiniiFriFdzdmiOriFiFi|FiORiiiizFrMsiniiFriFd 力对参考点力对参考点 O 的的力矩在力矩在 Oz 轴的分量轴的分量等于力垂直等于力垂直 Oz 轴的轴的分量对分量对 z 轴垂足（轴垂足（转转心心）的力矩，即称为）的力矩，即称为力对转轴的力矩力对转轴的力矩。zdmiOriFiFi|FiORi相对于相对于z z轴的合外力矩轴的合外力矩为：为：iizzMM即作用在各质元的外力矩的即作用在各质元的外力矩的z z分量之和。分量之和。对转轴力矩方向的判断：转心；力的垂直分量对转轴力矩方向的判断：转心；力的垂直分量2 2刚体

9、对转轴的角动量刚体对转轴的角动量第第i个质元对转轴的角动量：个质元对转轴的角动量： zmiOriviO RiiiiivmRLiiivmrOO)(iiiiivmrvmOOOzvmOOii垂直我们只对我们只对z z方向上的分方向上的分量感兴趣：量感兴趣：iiizivmrLiiirm2:ir第第 i 个质元到转轴的距离个质元到转轴的距离 组成刚体的所有质元对转轴的角动量之和组成刚体的所有质元对转轴的角动量之和: :iiiiiizzrmLL2iiirm)(2iiizrmJ2令：令：称为刚体对转轴称为刚体对转轴z z的的转动惯量转动惯量则则刚体对转轴的角动量刚体对转轴的角动量: :JLziiizivmr

10、Liiirm2:ir第第 i 个质元到转轴的距离个质元到转轴的距离 3 3刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律dtLdM若若 Jz = 常量，则常量，则刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 由于刚体只能绕由于刚体只能绕 z 轴转动，引起转动的力矩只轴转动，引起转动的力矩只有有 , ,因此转动力学方程因此转动力学方程zMdtdLMzz)(zJdtddtdJMzzzJ定轴转动，可以不写角标定轴转动，可以不写角标z z，JM 与牛顿第二定律作比较：与牛顿第二定律作比较：amJFM J 反映了刚体反映了刚体转动的惯性转动的惯性上式简写为：上式简写为：刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 J

11、M 刚体转动惯量及其计算刚体转动惯量及其计算 刚体定轴转动定理的应用刚体定轴转动定理的应用 很明显：转动惯量与刚体的质量及其分布有关，很明显：转动惯量与刚体的质量及其分布有关，与转轴的位置有关。与转轴的位置有关。 4 4转动惯量转动惯量4.1 4.1 刚体的转动惯量及计算刚体的转动惯量及计算iiirmJ2定义式：定义式：:ir第第 i 个质元到转轴的距离个质元到转轴的距离 刚体为分立结构刚体为分立结构iiirmJ2刚体为连续体刚体为连续体dmrJ2式中式中;dVdm;dSdmdLdm或几个常用转动惯量计算举例：几个常用转动惯量计算举例：（1 1）均匀圆环：）均匀圆环：dmrJ2（2 2）均匀圆

12、盘：）均匀圆盘：dmrJ2)(2dSrRrdrr02)2(Rdrr032424RJ221mRzROdmzROROdrrdmR22mR（3 3）均匀杆：）均匀杆：dmx2)(222dxxll)(222dxlmxll2121ml如果将轴移到棒的一端：如果将轴移到棒的一端：dxlmxJl02231mlzlxOdxdmxdmrJ24.2 4.2 平行轴定理平行轴定理iiirmJ2iiiirrm)(iiiirdrdm) () (COzzrimi222iiiiiiiirmrmddm22iiirmmd2mdJJC 刚体对任一转轴的转动惯量刚体对任一转轴的转动惯量 J 等于对等于对通过通过质心的平行转轴的转动

13、惯量质心的平行转轴的转动惯量 JC C 加上刚体质量加上刚体质量 m 乘以两平行转轴间距离乘以两平行转轴间距离 d 的平方。的平方。dri平行轴定理平行轴定理应用举例：挂钟摆锤的转动惯量应用举例：挂钟摆锤的转动惯量Olm ,1Rm ,2RlJJJ2131lmJl2222)(21RlmRmJR4.3 4.3 对薄平板刚体的垂直轴定理对薄平板刚体的垂直轴定理iiizrmJ2iiiiyxm)(22Ozxyri yixiiiiiiiymxm22yxzJJJ例：已知圆盘例：已知圆盘Ozxy221mRJz求对圆盘的一条直径的求对圆盘的一条直径的 Jx( (或或 Jy) )yxyxzJJJJJ由由241mR

14、JJyx* * 薄平板刚体成立薄平板刚体成立 5. 5.转动定律的应用转动定律的应用 解题要点解题要点:mA mbABgmAAATAaBTBagmBBNf解：解：AAAAamTgmA:BBBBamfT0gmNB附加方程附加方程NfraaTTTTBABBAA滑轮：滑轮：JrTrTBAgrJmmmmraBABAA2/BTAT细杆：细杆：m、l，轴，轴O，在竖直位置静止，若在某时，在竖直位置静止，若在某时刻有力作用在刻有力作用在 A 处，求轴对杆的作用力。处，求轴对杆的作用力。质心加速度：通过转动定律求细杆的质心加速度：通过转动定律求细杆的转动，再求质心加速度转动，再求质心加速度解：解：如图示，除力

15、如图示，除力F外，系统还受重力、外，系统还受重力、轴的支反力等。但这两个力对轴轴的支反力等。但这两个力对轴的力矩的力矩=0。只有。只有F对细杆的运动有对细杆的运动有影响，对转轴影响，对转轴O的力矩为：的力矩为：OCgmAFxFyF0lFlM0JM 2003mlFlJFlJMcyxamjFiFgmF)(利用质心运动定理求支承反作用力。利用质心运动定理求支承反作用力。OCgmAFxFyF0lJM 2003mlFlJFlJMcyxamjFiFgmF)(质心运动定律分量式：质心运动定律分量式：cnynctxtmamgFFmaFFF)2(lmFll230)2(2lmFllFmmgFxy) 123(202

16、mg质心运动定律分量式：质心运动定律分量式：cnynctxtmamgFFmaFFF)2(lmFll230)2(2lm0llFllFllFxxx32, 0)3(32, 0)2(32, 0) 1 (000讨论讨论 由于由于“冲击冲击”过过程程 中的冲击力在短中的冲击力在短时间内有相当大的数值，时间内有相当大的数值，Fx将很大！但将很大！但l0=2l/3时，时，Fx为零！为零！ “打击中心打击中心”3/20ll 只要只要FllFmmgFxy) 123(202mgOCOmg解：解：dddtddddtdlg2cos3231cos2mllMgdlgdd2cos3sin3gllvsin32/cos32gla

17、glantlglsin3002cos3dlgd(1)角速度和角加速度角速度和角加速度(2) 末端末端A的速度和角加速度的速度和角加速度作业：作业：3-6、3-7、3-111.1.刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 由转动定律由转动定律dtJdJMz)()(JddtMz在在 t1t2 时间内：时间内：2121)(ttttzJddtM12LL 21ttzdtM称为称为 t1t2 时间内作用在刚体上的冲量矩。时间内作用在刚体上的冲量矩。1221LLdtMttz 刚体定轴转动的刚体定轴转动的角动量定理角动量定理当合外力矩当合外力矩 时时,0zMconstJ

18、Lz 角动量守恒定律角动量守恒定律即：即：0, 0) 1 (zziiizMFrM0, 0)2(iizzziiizMMFrM即：即：0, 0) 1 (zziiizMFrM0, 0)2(iizzziiizMMFrMF) 1 (2F1F)2(角动量守恒角动量守恒可分以下几种情况：可分以下几种情况：（1） J 、 都不变，所以都不变，所以constJLz（2） J 、 都变化都变化，但是，但是constJLz如：花样滑冰、芭蕾舞、体操、跳水如：花样滑冰、芭蕾舞、体操、跳水等运动中的动作。等运动中的动作。（3） 刚体组角动量守恒刚体组角动量守恒！若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动constJLiiiii z这时角动量可在刚体组内部传递。这时角动量可在刚体组内部传递。 角动量守恒现象举例角动量守恒现象举例mAmbABCmcgmAAAT解：解：BTATCTgmCCN fBTgmBBNfCT a为加速度为加速度（上题求得）（上题求得）aSv/20oAAAAAvmVmtTtgmA:利用质点动量定理和刚体的角动量定利用质点动量定理和刚体的角动量定理（设碰撞时间为理（