第4章电路的基本定理

1、第四章 电路的基本定理 电路定理是分析线性电路的常用工具。合理地运用电路定理，可以使电路的分析计算得到简化。4-1 叠加定理4-2 替代定理4-3 戴维宁定理和诺顿定理4-4 特勒根定理4-5 互易定理4-1 叠加定理用结点法求电路中的u1、i2S1S2N1S121211()uuuiRRRR求出2112N1S1S2S121212RRR RuuuiRRRRRR(4 1)11121S1N1S1S2S121212RRR RuuuuuiRRRRRRN1S212S1S2S212121211uuRiuuiRRRRRRR(42)uN1、 u1 、 i2分别是uS1 、uS2和iS的线性组合。1RS1u2RS

2、2uSi2i1u1011121S1N1S1S2S121212RRR RuuuuuiRRRRRRN1S212S1S2S212121211uuRiuuiRRRRRRR(42)1111uuuu将式（4-2）改写2222iiii(43)其中S2SS2S11002200uiuiuuii，S1SS1S11002200uiuiuuii，S1S2S1S211002200uuuuuuii，uS1单独作用uS2单独作用 iS 单独作用1R2RS2u2i1u1RS1u2RS2uSi2i1u101R2RSi2i1u1RS1u2R2i1u11S12S112121RuuiuRRRR，11S22S212121RuuiuRR

3、RR，1211S2S1212R RRuiiiRRRR ，由三个分电路可得上述各分量与式（4-2）和式（4-3）一致。 上述结论可推广应用于具有n个结点、b条支路、g个电压源和h个电流源的线性电路，其第 k 条支路的电压和电流响应为1 S12S2S1 S12 S2ShkgghuAuA uA uaia ia i1 S12S2S1 S12 S2ShkgghiBuB uB ubib ib i(44) 式中，所有独立源的系数均为与电路结构、元件参数有关的常数。叠加定理表述叠加定理表述 线性电路中，任一电压或电流的响应都是电路中各个独立电源单独作用时在该处产生的电压或电流响应分量的代数和。 注意注意： 叠

4、加定理只适用于线性电路。 在各分电路中，不作用的电压源置零即短路，不作用的电流源置零即开路。受控源不能单独作用，应和所有无源元件一起，保留在分电路中。 各响应分量的参考方向可以任意设定。叠加时与原电路相同时取正号，反之取负号。 功率计算不满足叠加定理。 结点电压和电位亦满足叠加定理。【例4-1】试用叠加定理求各支路电流。说明功率不能叠加。2090V3I51I2I611406.16A5 62056I 2163.36A56II3126.163.362.8AIII2909.36A20 65206I 1262.16A206II 3129.362.167.2AIII+1116.162.164AIII+2

5、223.369.366AIII +3332.87.210AIII+20140V90V3I51I2I6222233 3333333333()RRRPR IR IIR IR IPP解3R20140V3I51I2I63R3R【例4-2】试用叠加定理求i、u。210V2iui3A1210V2iui122iui3A1解10(2 1)2ii102A5i 102102 26Vui 2(3) 12iii 0.6Ai 22 ( 0.6)1.2Vui 20.61.4Aiii6 1.27.2Vuuu应用KVL应用KVL应用叠加定理，得【例4-3】试用叠加定理求i、u。解 由上例的结果知210V2iui3A1210V

6、2iui3A12A22iui12A1.4Ai 7.2Vu 1.2Ai (2 1)(2)20ii2(2)1.6Vui 1.4 1.20.2Aiii7.2 1.65.6Vuuu在电流源单独作用的分电路中，应用KVL，得【例4-4】图示N为线性含源网络。已知：当iS1=8A， iS2=12A 时，响应ux80V；当iS1=8A， iS2=4A时，响应ux0V；当 iS1 =iS2 =0A时，响应ux40V。当iS1 =iS2 =20A时，ux为多少？NS1iS2ixu解 设网络N内所有独立源作为一组，所产生的响应分量为ux(3)， iS1和 iS2产生的响应分量为AiS1与B iS2 。则(3)S1

7、S2xxuAiBu代入已知条件(3)(3)(3)808120844000 xxxABuABuABu 解出(3)01040VxABu 需要求出： 当iS1 =iS2 =20A时，ux为多少？0 20 10 2040160Vxu 结论结论： 在线性电路中，当所有激励同时增大或减小K倍（K为实常数），响应也将增大或减小K倍。此为线性电路的齐性定理。NSuiSiu 网络N只含电阻和受控源。当只有一个激励时，响应必与激励成正比。即SinSuuRii输入电阻(3)S1S2xxuAiBu(3)01040VxABu 【例4-5】已知U=68V,求各支路电流。UAB1I113I115I117I112I2U4I4

8、U6I6U8I解 设 I81A，则7861A(1 1) 12VIIU 6656745612A3A15VIUIIIUIU 4434523415A8A113VIUIIIUIU 2212312113A21A134VIUIIIUIU 68234UkUUAB1I113I115I117I112I2U4I4U6I6U8I各支路实际电流为1234567821 242A13 226A8 216A5 210A3 26A2 24A1 22AIIIIIIII 4-2 替代定理 替代定理具有广泛的应用。定理表述为 在任一集总参数电路中，若第k条支路的电压uk和电流ik已知，那么此支路就可以用一个电压等于uk的电压源us

9、,或一个电流等于ik的电流源is替代。替代后电路中全部电压和电流均保持原值。 第k条支路可以是电阻、电压源与电阻的串联或电流源与电阻的并联，也可以是非线性元件。替代定理的证明比较图（a）和图（b）的全部约束关系NkkukiNkuSuNkiSi(a)(b)(c)(a)(b)()kKif uki可以是任意值（电压源特点）KCLKVL、KCLKVL、连接相同支路VCR支路VCR第k条除外ku为已知ku为原值 原电路图（a）的所有支路电压和电流将满足图(b)的全部约束关系。若电路只有惟一解，则所有电压和电流保持原值。【例4-6】图a电路中，i14A， i26A， i310A，u180V， u230V，

10、 u360V。图b和图c中分别用电压源和电流源替代第三条支路。求图b和图c电路的各支路电压和电流。替代定理不适用： 电路在替代前后，具有多解； 被替代支路中，含有网络N中受控源的控制量，且替代将使控制量消失。20140V90V3i51i2i61u2u3u(a)20140V90V3i51i2i1u2u60V(b)20140V90V10A51i2i1u2u3u(c)解 求图b电路中各支路电压和电流111406080V4Aui22906030V6Aui 求图c电路中各支路电压和电流140V5202i1i3i90V60V1u2u(b)3N114090111060V205205uu11N1114080V

11、4A20uuui22N129030V6A5uuui电压和电流均保持原值。140V5202i1i10A90V3u1u2u(c)104-3 戴维宁定理和诺顿定理线性电阻eqR线性电阻受控源eqR线性电阻受控源独立电源?外电路含源一端口SN1111含源一端口SNOCu开路电压uOC11独立源置零0NeqR戴维宁电阻1.戴维宁定理戴维宁定理 一个含有独立电源、线性电阻和受控源的一端口网络对外电路而言，可以用一个电压源和电阻的串联组合等效替代，此电压源的电压等于一端口的开路电压，电阻等于一端口内部全部独立源置零后所形成的无源一端口网络的输入电阻。11SNNeqROCuN11戴维宁等效电路定理的证明替代定

12、理11SNNiu(a)用叠加定理求图(b)端口 u和i。(b)1SNiuSii11SN0i OCuu 1(c)NS作为一组激励1ii 0NSii1u(d)电流源激励eqReqequR iR i OCequuuuR i所示电路即为图(e)eqRSOCuuN11i(e)定理得证应用戴维宁定理应注意 NS必须为线性网络，外电路N可以是非线性网络。 NS与N之间不得有受控关系。 戴维宁等效电路对外等效，对内不等效。【例4-7】图示电路中，已知uS1140V， uS290V，R120, R25， R36，应用戴维宁定理求i3。R2R1S1uS2u3R3iS1uS2uOCuR2R1解 将R3拿掉，形成含源

13、一端口，可依次求出S1S2OCS1112100VuuuuRRR12eq124R RRRR eqRR2R1OC3eq310AuiRReqROCu3i3R【例4-8】求图示电路的戴维宁等效电路。已知 uS12V， iS2A， R13, R26。Su2Ra1R2i22iSib10解 求uoc 。 用结点法求uN1OCab2N1216VuuiuSN1S1111112VuuiRRR用外加电压法求Req2N122AiuR2R1R2i22i10ui2122()uiRR i2112()iiRRR代入上式eq2.667Ru i11212122()()uiRRRR RRReq2.667ROC16Vuab(a)1S

14、Ni1ReqROCu11iR(b)讨论讨论 uoc和Req不变。满足什么条件，R可获最大功率？22OCequpRiRRR由 求出R改变时，功率p为最大的条件：dd0pR 2eqeq2OC4eq()2()dd()RRRR RpuRRReq2OC3eq0()RRuRR即 ReqR注意注意 当uoc和R不变，只改变Req时， 其条件为 Req=0 。 其传输效率=50% 。eqROCu11iR(b)但对有源网络NS内部的独立电源而言，一般不是50% 。【例4-9】 R为多大可获多少最大功率？并求电压源的效率。22OCOCeqmaxeq22 25010050V1625W222244uuRpR 解 先求

15、uoc 和Req，再求最大功率。最后求电压源的效率。S21122237.5A12.5A25ARuRRiiiiiRRRRRRR2100VR2(a)111R2RSu2100V1i1iRi2(b)R112R1RSu内部消耗221123125Wpi Ri R效率maxmax16.667%ppp2.诺顿定理诺顿定理 一个含有独立电源、线性电阻和受控源的一端口网络，对外电路而言，可以用一个电流源和电阻的并联组合等效替代。电流源的电流等于一端口网络的短路电流isc，电阻等于一端口网络内部全部独立源置零后所形成的无源一端口网络的输入电阻Req。 NS必须为线性网络，外电路N可以是非线性网络。 NS 与N之间不

16、得有受控关系。NSNSCiNSCieqR 诺顿等效电路对外等效，对内不等效。 应用电压源和电阻串联组合与电流源和电阻并联组合之间的等效变换，即可推论得出诺顿定理。 含源一端口一般有两种等效形式：戴维宁等效电路和诺顿等效电路。其参数关系为uOCiSCReq。 特殊情况：Req=0时，只存在戴维宁等效电路，为电压源；Req=时，只存在诺顿等效电路，为电流源。(a)1SNi1RueqROCu11iR(b)ueqRSCi1iRu(c)1【例4-10】 用诺顿定理求电流i3。 已知uS1140V， uS290V， R120, R25， R36。解 顺序求解iSC 和Req，得出诺顿等效电路，求电流i3

17、。S1S2SC1225AuuiRReq124RRR 425A3i3R(d)eqRSCi6eq3SC3eq10ARiiRRR2R1S1uS2u3R3i(a)R2R1S1uS2uSCi(b)R2R1eqR(c)【例4-11】求诺顿等效电路。 已知uS2V， iS2A ， R13 R21。 SCiSu1R12u112RSi1u(a)解 求iSC2 SCS1111SSC20()R iuuuuR ii求出SC1.6Ai外加电压法求Req12111()2uRR iuuRiu1R12u112R1ui(b)求出12(3)uRR ieq1233 3 110uRRRi 101.6Aiu(c)114-4 特勒根定理

18、 特勒根定理是对集总电路普遍适用的基本定理。它只与各支路之间的连接有关，而与各支路的内容无关。特勒根定理特勒根定理1 1 对于一个具有n个结点、b条支路的集总电路，假设各支路的电流和电压取关联参考方向,并用(i1、i2 ib)、(u1、 u2 ub)分别表示b条支路的电流和电压，则对任何时间t，有 10bk kku i(46)特勒根定理1的证明1234560123特勒根定理证明1N12N1N23N2N34N3N15N26N3uuuuuuuuuuuuuuu(47)124235346000iiiiiiiii (48)61 12 23 34 45 56 61k kku iu iu iu iu iu

19、iu iN1 1N1N22N2N33N3N14N2 5N3 6()()()u iuuiuuiuuiu iu iN1124N2235N3346()()()0uiiiuiiiuiii 10bk kku i将上述结论推广即有，其实质是功率守恒。特勒根定理特勒根定理2 2 如果有两个具有n个结点、b条支路的集总电路，各支路间具有相同的连接关系，但由内容不同的支路构成。假设各支路的电流和电压都取关联参考方向，并分别用 (i1，i2 ， ib)、(u1， u2 ， ub) 和 分别表示两个电路中b条支路的电流和电压，则对任何时间t，有 12biii（ ， ， ， ）、12buuu（ ， ， ， ）10bk

20、 kku i(49)10bk kku i(4 10)1234560123特勒根定理证明124235346000iiiiiiiii 1N12N1N23N2N34N3N15N26N3uuuuuuuuuuuuuuu(4 11)61 12 23 34 45 56 61k kku iu iu iu iu iu iu iN1 1N1N22N2N33N3N14N2 5N3 6()()()u iuuiuuiuuiu iu iN1124N2235N3346()()()0uiiiuiiiuiii 10bk kku i将上述结论推广即有有时称为拟功率原理有时称为拟功率原理特勒根定理2的证明【例4-12】验证特勒根定

21、理。520140V90V610A(a)4A4A6A60V80V30V6A22V224V61A(b)5A5A4A6V10V8V4A112V解51140k kku i( -4) +80 4+60 10+30 6+90 ( -6) =0W(a)图5122k kku i( -5) +10 5+12 1+( -8) ( -4) +4 4=0W(b)图51140( 4)k kku i ( -5) +80 5+60 1+30+90 4=0W(a)(b)图与5122k kku i( -4) +10 4+12 10+( -8) 6+4 ( -6) =0W4-5 互易定理定理表述定理表述 对于一个仅含线性电阻的电

22、路，在单一激励的情况下，当激励和响应互换位置时，将不改变同一激励所产生的响应。互易定理有三种表现形式。互易定理形式之一互易定理形式之一NRSu111u1i222u2iSu111 u1i222 u2iRNRRNN与 完全相同,则22ii设该电路的支路数为b条，应用特勒根定理2，有证明证明NRSu111u1i222u2iSu111 u1i222 u2iRN1 12 230bk kku iu iu i1 12 230bk kku iu iu i由于NR、 内部的（b2）条支路均为线性电阻，故RN3kk kkk kuR iuR ikb， ， ，代入上式得1 12 230bk k kku iu iR i i1 12 230bk k kku iu iR i i1 12 21 12 2u iu iu iu i得到(4 12)因为 图中(a)1S20uuu(b)图中12S0uuuS 121S 200u iiiu i即12iiNRSi111u1i222u2i(a)Si111 u1