概率统计：第一章 随机事件的概率(第四节续,第五节)

1、第四节 全概率公式与贝叶斯公式(续)定理 设事件组满足：（1）；（2）互不相容；（3），(如果某,则在概率计算中将其去掉)则有如下结论(I)对任意事件，恒有; (1.10)(II)对任意事件，有 , ,(1.11)注:这两个公式当 时,(条件也变为可列个事件),也有相应的公式. , .1. 理论意义,以后经常在论证推导中用到;2. 实际计算概率方法,化难为易,解决问题;3. 注意典型例题及在变化的情景中灵活运用;4. 贝叶斯公式在概率诊断,概率推断方面有用,例4 在无线电通讯中,由于随机干扰,当发出信号为“0”时,收到信号为“0”、不清和1的概率分别为0.7,0.2,0.1; 当发出信号为 1

2、时,收到信号为1、不清和0的概率分别为0.9,0.1和0.如果在发报过程中0和1出现的概率分别是0.6和0.4,当收到信号不清时,原发信号是什么？试加以推测. 解 设原发信号为“0”, 原发信号为“1”,收到信号“不清”,由贝叶斯公式得 , .由于收到信号不清时, 原发信号为“0”概率较之原发信号为“1”的概率为大,因此通常应推断原发信号为“0”.例5 甲袋中装有3只红球、2只白球,乙袋中装有红、白球各2只.从甲袋中任取2只球放入乙袋,然后再从乙袋中任意取出3只球.(1) 求从乙袋中至多取出1只红球的概率;(2) 若从乙袋中取出的红球不多于1只,求从甲袋中取出的2只全是白球的概率. 解 令 从

3、乙袋中至多取出1只红球,从甲袋中恰好取出只红球, (只白球), ;(1) 易知互不相容, ,且 ;又 ,故由全概率公式得 ;(2) 易知要求概率,由贝叶斯公式得 . 第五节 事件的独立性一般情况下,条件概率,这说明事件的发生对于事件发生的概率有影响.如果事件的发生不影响事件发生的概率,即,便得 .我们把具有这种性质的两个事件与称为是相互独立的,即有 定义8 对任意两个事件、,若成立 ,则称与相互独立,简称独立. 例 把一颗匀称的骰子连续掷两次,观察出现的点数, 第一次掷出5点,第二次掷时出5点, 则显然有 , , ,即与相互独立,(这正是实际感觉到的). 特殊事件的性质:(1) 若,则对任意事

4、件, , ,与相互独立;特别与相互独立.(2) 若,对任意事件,由且知,且,故 ,即与相互独立;特别与相互独立.(3) 设为事件,若对任意事件,都有与相互独立,则有或. 事实上, ,对任意事件,特别取,则,于是有或,再由(1)和(2)得证.事件相互独立判别法:定理三 对任意事件、,且,则与独立的充分必要条件是 . 证明 必要性 已知与独立,即 有,于是;充分性 已知,即得,从而,即得与独立.定理三 对任意事件、,且,则与独立的充分必要条件是 .(独立涵义直观理解的公式化)证明 必要性 已知与独立,即 有, 从而, 于是 充分性 已知,由,得出 ,于是 , 即得与独立.独立事件的性质定理四 若与

5、独立,则(1) 与独立;(2) 与独立;(3) 与独立.(结论的直观理解)证明 (1)因,故 , 由定义知, 与独立;(2)同理可证或由与的地位对称性,得与独立;(3)与独立，推得与独立，利用(1)，得与独立(或 ,即得与独立)有限多个事件的独立性和无穷多个事件的独立性.定义9 (1)若事件满足条件:,则称个事件是两两独立的.(2)若事件满足条件:对任意整数()和,恒有,则称个事件相互独立. (3)对于可列无穷多个事件,若其中任意有限多个事件都相互独立, 则称可列无穷多个事件相互独立. 显然,若事件相互独立,则事件是两两独立的;反之,若事件是两两独立的,事件未必相互独立. 例如 (比如正四面体

6、), ,显然,即是两两独立的;但,不相互独立.定理五 若事件相互独立,则事件也相互独立.其中为或,.事件的独立性一种是特殊简单情形,有了独立性,计算概率和理论推导就容易.判断独立性靠定义和性质.实际中,事件的独立性常常根据经验来判断或告诉是独立的.一般地,若 个事件中的每一个事件发生的概率都不受其它事件发生与否的影响,那么就可以认为这个事件是相互独立的.独立条件下一些概率计算公式设事件相互独立,则(1) ;(2) ;(3) .例1 设甲乙两人独立地射击同一目标,他们击中目标的概率分别为0.8和0.6。每人射击一次，求目标被击中的概率。解 令目标被击中， 甲击中目标， 乙击中目标，由题意知，与独

7、立，；于是 。或 。例2 三人独立地破译一个密码，他们各自能破译的概率分别为0.5,0.6,0.8,求至少有两人能将密码译出的概率.解 设至少有两人将密码译出,第个人将密码译出, 由题意知,相互独立,且 , 故由概率的有限可加性和独立的性质得 .破译密码的事，电视剧暗算、对手。例3 已知事件相互独立,且,， 求.解 由独立性及概率性质得 , 而 ,得到,化简得 ,得,或(舍去),故. 例4 袋中装有红球,个白球,从中作有放回的抽取,每次取一球,直到取得红球为止.求恰好次取得白球的概率.解 设恰好次取得白球, 第次取得白球,第次取得红球,，,根据题意知,且相互独立,从而 .例5 甲、乙两人的射击水平相当,于是约定比赛规则:双方对同一目标轮流射击,若一方失利,另一方可以继续射击,直到有人命中目标为止.命中一方为该轮比赛的优胜者. 你认为先射击者是否一定沾光？为什么？解 设甲、乙两人每次命中的概率均为, 失利