正余弦定理应用举例

1、 正弦定理、余弦定理应用举例正弦定理、余弦定理应用举例要点梳理要点梳理1.1.解斜三角形的常见类型及解法解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的在三角形的6 6个元素中要已知三个（除三角外）个元素中要已知三个（除三角外） 才能求解，常见类型及其解法如表所示才能求解，常见类型及其解法如表所示. . 已知条件已知条件应用定理应用定理 一般解法一般解法一边和两角一边和两角( (如如a a, ,B B, ,C C) )正弦定理正弦定理由由A A+ +B B+ +C C=180=180, ,求求角角A A；由正弦定理求；由正弦定理求出出b b与与c c. .在有解时只有一解在有解时只有一解 两边和夹角两边

2、和夹角( (如如a a, ,b b, ,C C) )余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理 由余弦定理求第三边由余弦定理求第三边c c; ;由正弦定理求出小由正弦定理求出小边所对的角；再由边所对的角；再由A A+ +B B+ +C C=180=180求出另一角求出另一角. .在有解时只有一解在有解时只有一解 三边三边 ( (a a, ,b b, ,c c) ) 余弦定理余弦定理 由余弦定理求出角由余弦定理求出角A A、B B；再利用；再利用A A+ +B B+ +C C=180=180, ,求出角求出角C C. .在有解时只有一解在有解时只有一解 两边和其中两边和其中一边的对角一边的对角（如（如a

3、a, ,b b, ,A A) ) 正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理 由正弦定理求出角由正弦定理求出角B B；由由A A+ +B B+ +C C=180=180，求出，求出角角C C；再利用正弦定理；再利用正弦定理或余弦定理求或余弦定理求c c. .可有两解，一解或无解可有两解，一解或无解 2.2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面 积问题、航海问题、物理问题等积问题、航海问题、物理问题等. .3.3.实际问题中的常用角实际问题中的常用角 （1 1）仰角和俯角）仰角和俯角

4、与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角视线的夹角, ,目标视线在水平视线目标视线在水平视线 叫仰角叫仰角, , 目标视线在水平视线目标视线在水平视线 叫俯角（如图叫俯角（如图）. . 上方上方下方下方(2)(2)方位角方位角指从指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角，方向顺时针转到目标方向线的水平角，如如B B点的方位角为点的方位角为（如图（如图）. .（3 3）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数. .正北正北基础自测基础自测1.1.在某次测量中，在在某次测量中，在A A处测得同一半平面方向的处测得同

5、一半平面方向的B B 点的仰角是点的仰角是6060, ,C C点的俯角是点的俯角是7070，则，则BACBAC 等于（等于（ ） A.10A.10 B.50 B.50 C.120 C.120 D.130 D.130 解析解析 由已知由已知BADBAD=60=60,CADCAD=70=70, , BACBAC=60=60+70+70=130=130. .D2.2.两座灯塔两座灯塔A A和和B B与海岸观察站与海岸观察站C C的距离相等的距离相等, ,灯塔灯塔 A A在观察站北偏东在观察站北偏东4040, ,灯塔灯塔B B在观察站南偏在观察站南偏 东东6060，则灯塔，则灯塔A A在灯塔在灯塔B

6、B的（的（ ） A.A.北偏东北偏东1010 B. B.北偏西北偏西1010 C. C.南偏东南偏东1010 D. D.南偏西南偏西1010 解析解析 灯塔灯塔A A、B B的相对位置如图所示，的相对位置如图所示， 由已知得由已知得ACBACB=80=80， CABCAB=CBACBA=50=50， 则则=60=60-50-50=10=10. .B3.3.在在ABCABC中，中，ABAB=3=3，BCBC= = ，ACAC=4=4，则边，则边ACAC 上的高为（上的高为（ ） A. B. C. D.A. B. C. D. 解析解析 由余弦定理可得：由余弦定理可得：132233232333. 3

7、23233sin,23sin.21432)13(342cos222222AABhACAABACBCABACA边上的高则B4.4.ABCABC中中, ,若若A A=60=60, ,b b=16,=16,此三角形面积此三角形面积 则则a a的值为（的值为（ ） A.20 B.25 C.55 D.49A.20 B.25 C.55 D.49 解析解析 由由S S= = bcbcsinsin A A=220 ,=220 ,得得c c=55.=55. 由余弦定理得由余弦定理得 a a2 2=16=162 2+55+552 2-2-216165555cos 60cos 60=2 401,=2 401, a

8、a=49.=49., 3220S213D6题型一题型一 与距离有关的问题与距离有关的问题 要测量对岸要测量对岸A A、B B两点之间的距离，选取两点之间的距离，选取 相距相距 kmkm的的C C、D D两点两点, ,并测得并测得ACBACB=75=75, , BCDBCD=45=45,ADCADC=30=30,ADBADB=45=45, ,求求 A A、B B之间的距离之间的距离. . 分析题意，作出草图，综合运用正、分析题意，作出草图，综合运用正、 余弦定理求解余弦定理求解. .3题型分类题型分类 深度剖析深度剖析解解 如图所示在如图所示在ACDACD中，中，ACDACD=120=120，C

9、ADCAD=ADCADC=30=30，ACAC= =CDCD= km.= km.在在BCDBCD中，中，BCDBCD=45=45，BDCBDC=75=75，CBDCBD=60=60. .在在ABCABC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得.22660sin75sin3BC.km5(km).5, 5332375cos22632)226()3(222之间的距离为A、ABAB3B 求距离问题要注意：求距离问题要注意：（1 1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把

10、未知量放在另一确定三角形中求有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解解. .（2 2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理用，就选择更便于计算的定理. .知能迁移知能迁移1 1为了测量两山顶为了测量两山顶MM、N N间的距离，飞机沿水平间的距离，飞机沿水平方向在方向在A A、B B两点进行测量，两点进行测量，A A、B B、MM、N N在同一个铅垂在同一个铅垂平面内（如示意图）平面内（如示意图）. .飞机能够测量的数据有俯角和飞机能够测量的数据有俯角和 A A、B B间的距离，请设计一个方案，包括：间的距离，请设计一个方案，包

11、括：指出需要测量的数据指出需要测量的数据( (用字母表示用字母表示, ,并在图中标出并在图中标出) )；用文字和公式写出计算用文字和公式写出计算MM、N N间的距离的步骤间的距离的步骤. .解解 方案一方案一：需要测量的数据有：需要测量的数据有：A A点到点到MM、N N点的俯角点的俯角1 1、1 1；B B点到点到MM、N N点的俯角点的俯角2 2、2 2；A A、B B的距离的距离d d( (如图所示如图所示).).第一步：计算第一步：计算AMAM. .由正弦定理由正弦定理第二步：计算第二步：计算ANAN. .由正弦定理由正弦定理第三步：计算第三步：计算MNMN. .由余弦定理由余弦定理;

12、)sin(sin212dAM;)sin(sin122dAN)cos(21122ANAMANAMMN方案二方案二：需要测量的数据有：需要测量的数据有：A A点到点到MM、N N点的点的俯角俯角1 1、1 1；B B点到点到MM、N N点的俯角点的俯角2 2、2 2; ;A A、B B的距离的距离d d（如图所示）（如图所示）. .第一步：计算第一步：计算BMBM. .由正弦定理由正弦定理第二步：计算第二步：计算BNBN. .由正弦定理由正弦定理第三步：计算第三步：计算MNMN. .由余弦定理由余弦定理;)sin(sin211dBM;)sin(sin121dBN. )cos(22222BNBMBN

13、BMMN题型二题型二 与高度有关的问题与高度有关的问题 某人在塔的正东沿着南偏西某人在塔的正东沿着南偏西6060的方向的方向 前进前进4040米后，望见塔在东北方向，若沿途测得米后，望见塔在东北方向，若沿途测得 塔顶的最大仰角为塔顶的最大仰角为3030，求塔高，求塔高. . 依题意画图，某人在依题意画图，某人在C C 处处, ,ABAB为塔高为塔高, ,他沿他沿CDCD前进，前进，CDCD= = 40 40米，此时米，此时DBFDBF=45=45, ,从从C C到到D D 沿途测塔的仰角，只有沿途测塔的仰角，只有B B到测试点到测试点 的距离最短时，仰角才最大，这是因为的距离最短时，仰角才最大

14、，这是因为tantanAEBAEB = = ABAB为定值，为定值，BEBE最小时，仰角最大最小时，仰角最大. .要求出要求出 塔高塔高ABAB, ,必须先求必须先求BEBE，而要求，而要求BEBE，需先求，需先求BDBD （或（或BCBC）. .,BEAB解解 如图所示，某人在如图所示，某人在C C处，处，ABAB为塔高，他沿为塔高，他沿CDCD前进，前进，CDCD=40=40，此时，此时DBFDBF=45=45，过点，过点B B作作BEBECDCD于于E E，则，则AEBAEB=30=30，在在BCDBCD中中, ,CDCD=40,=40,BCDBCD=30=30,DBCDBC=135=1

15、35, , BDEBDE=180=180-135-135-30-30=15=15. .在在RtRtBEDBED中，中，BEBE= =DBDBsin 15sin 15在在RtRtABEABE中，中，AEBAEB=30=30，ABAB= =BEBEtan 30tan 30= =故所求的塔高为故所求的塔高为,sinsin,BCDBDDBCCD得由正弦定理. 220135sin30sin40BD).13(10426220).)(33(310米.)33(310米 解斜三角形应用题的一般步骤是：解斜三角形应用题的一般步骤是：（1 1）准确理解题意，分清已知与所求；）准确理解题意，分清已知与所求；（2 2）

16、依题意画出示意图；）依题意画出示意图；（3 3）分析与问题有关的三角形；）分析与问题有关的三角形；（4 4）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形, , 逐步求解问题的答案；逐步求解问题的答案；（5 5）注意方程思想的运用；）注意方程思想的运用；（6 6）要综合运用立体几何知识与平面几何知识）要综合运用立体几何知识与平面几何知识. .知能迁移知能迁移2 2 如图所示，测量河对岸的如图所示，测量河对岸的 塔高塔高ABAB时，可以选与塔底时，可以选与塔底B B在同一水在同一水 平面内的两个测点平面内的两个测点C C与与D D，现测得，现测得 BCDBCD=

17、=，BDCBDC= =，CDCD= =s s，并，并 在点在点C C测得塔顶测得塔顶A A的仰角为的仰角为，求塔高，求塔高ABAB. . 解解 在在BCDBCD中，中，CBDCBD=-=- -.)sin(sintantan,Rt)sin(sinsinsin,sinsinsACBBCABABCsCBDBDCCDBCCBDCDBDCBC中在所以由正弦定理得题型三题型三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用正、余弦定理在平面几何中的综合应用 如图所示如图所示, ,在梯形在梯形 ABCDABCD中，中， ADADBCBC，ABAB=5=5， ACAC=9=9，BCABCA=30=30,ADBADB=45

18、=45， 求求BDBD的长的长. . 由于由于ABAB=5=5，ADBADB=45=45，因此要，因此要 求求BDBD，可在，可在ABDABD中，由正弦定理求解中，由正弦定理求解, ,关键关键 是确定是确定BADBAD的正弦值的正弦值. .在在ABCABC中中, ,ABAB=5,=5, ACAC=9=9，ACBACB=30=30, ,因此可用正弦定理求因此可用正弦定理求 出出sinsinABCABC, ,再依据再依据ABCABC与与BADBAD互补确定互补确定 sinsinBADBAD即可即可. .解解 在在ABCABC中，中，ABAB=5=5，ACAC=9=9，BCABCA=30=30. .

19、 ADADBCBC，BADBAD=180=180-ABCABC, ,于是于是sinsinBADBAD=sin=sinABCABC= . 8= . 8分分同理，在同理，在ABDABD中，中，ABAB=5=5，sinsinBADBAD= = ，ADBADB=45=45，解得解得BDBD= .= .故故BDBD的长为的长为 . . 要利用正、余弦定理解决问题要利用正、余弦定理解决问题, ,需将需将 多边形分割成若干个三角形多边形分割成若干个三角形. .在分割时，要注意在分割时，要注意 有利于应用正、余弦定理有利于应用正、余弦定理. .109530sin9sinsin,sinsin,ABBCAACAB

20、CABCACBCAAB得由正弦定理1096 6分分 1092292291212分分.sinsin:BADBDBDAAB由正弦定理例例4 4如图所示如图所示, ,扇形扇形AOBAOB, ,圆心角圆心角AOBAOB等等 于于6060, ,半径为半径为2,2,在弧在弧ABAB上有一动上有一动 点点P P，过，过P P引平行于引平行于OBOB的直线和的直线和OAOA交交 于点于点C C，设，设AOPAOP= =，求，求POCPOC 面积的最大值及此时面积的最大值及此时的值的值. . 解解 CPCPOBOB，CPOCPO=POBPOB=60=60- -， OCPOCP=120=120. . 在在POCP

21、OC中，由正弦定理得中，由正弦定理得,sinsinCPPCOOP).60sin(34,120sin2)60sin(.sin34,sin120sin2OCOCCPCP又.33)(,633)62sin(332332cos332sinsin32cossin2)sin21cos23(sin34)60sin(sin3423)60sin(34sin3421120sin21)(2取得最大值为时的面积为因此SOCCPSPOC知能迁移知能迁移3 3 如图所示，已知半圆的直径如图所示，已知半圆的直径ABAB=2=2， 点点C C在在ABAB的延长线上，的延长线上，BCBC=1=1，点，点P P为半圆上的为半圆上的

22、 一个动点，以一个动点，以PCPC为边作等边为边作等边PCDPCD，且点，且点D D与与 圆心圆心O O分别在分别在PCPC的两侧，求四边形的两侧，求四边形OPDCOPDC面积的面积的 最大值最大值. .解解 设设POBPOB= =，四边形面积为，四边形面积为y y，则在则在POCPOC中，由余弦定理得中，由余弦定理得PCPC2 2= =OPOP2 2+ +OCOC2 2-2-2OPOPOCOCcos cos =5-4cos =5-4cos . .4352.4352,65,23.435)3sin(2)cos45(43sin2121max面积的最大值为所以四边形时即当OPDCySSyPCDOPC

23、方法与技巧方法与技巧1.1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念 建立三角函数模型建立三角函数模型. .2.2.把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个 平面上利用三角函数求值平面上利用三角函数求值. .3.3.合理运用换元法、代入法解决实际问题合理运用换元法、代入法解决实际问题. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提高失误与防范失误与防范在解实际问题时，应正确理解如下角的含义在解实际问题时，应正确理解如下角的含义. .1.1.方向角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角从指定方向线到目标方向线的水平角. .2.

24、2.方位角方位角从正北方向线顺时针到目标方向线从正北方向线顺时针到目标方向线 的水平角的水平角. .3.3.坡度坡度坡面与水平面的二面角的度数坡面与水平面的二面角的度数. .4.4.仰角与俯角仰角与俯角与目标视线在同一铅直平面内与目标视线在同一铅直平面内 的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水 平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线 下方时称为俯角下方时称为俯角. .一、选择题一、选择题1.1.在在200 m200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分 别是别是30

25、30，6060, ,则塔高为则塔高为 （ ） 解析解析 作出示意图如图，作出示意图如图， 由已知：在由已知：在RtRtOACOAC中，中， OAOA=200=200，OACOAC=30=30， 则则OCOC= =OAOAtantanOACOAC =200tan 30 =200tan 30= = 在在RtRtABDABD中，中，ADAD= = ，BADBAD=30=30， 则则BDBD= =ADADtantanBADBAD= =m3200.Dm33200.Cm33400.Bm3400.A.332003320033200,320030tan.34003200200BDCDBCA检测题检测题2.2.

26、一船向正北航行，看见正西方向有相距一船向正北航行，看见正西方向有相距1010海里的两海里的两 个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时 后，看见一灯塔在船的南偏西后，看见一灯塔在船的南偏西6060，另一灯塔在船，另一灯塔在船 的南偏西的南偏西7575，则这艘船的速度是每小时，则这艘船的速度是每小时 （ ） A.5A.5海里海里 B.5 B.5 海里海里 C.10C.10海里海里 D.10 D.10 海里海里 解析解析 如图所示，依题意有如图所示，依题意有BACBAC=60=60， BADBAD=75=75， 所以所以CADCAD=CDACDA=15=

27、15， 从而从而CDCD= =CACA=10=10， 在在RtRtABCABC中，得中，得ABAB=5=5， 于是这艘船的速度是于是这艘船的速度是 （海里（海里/ /小时）小时）. .105 . 05C333.3.如图所示，已知两座灯塔如图所示，已知两座灯塔A A和和B B与海洋与海洋 观察站观察站C C的距离都等于的距离都等于a a km, km,灯塔灯塔A A在在 观察站观察站C C的北偏东的北偏东2020，灯塔，灯塔B B 在观察在观察 站站C C的南偏东的南偏东4040，则灯塔，则灯塔A A与灯塔与灯塔B B 的距离为的距离为 （ ） A.A.a a km B. km B. a a k

28、m km C. C. a a km D.2 km D.2a a km km 解析解析 利用余弦定理解利用余弦定理解ABCABC. .易知易知ACBACB=120=120, , 在在ABCABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得ABAB2 2= =ACAC2 2+ +BCBC2 2-2-2ACAC BCBCcoscos 120 120=2=2a a2 2-2-2a a2 232.3,3)21(2aABaB4.4.一船自西向东匀速航行，上午一船自西向东匀速航行，上午1010时到达一座灯塔时到达一座灯塔 P P的南偏西的南偏西7575距塔距塔6868海里的海里的MM处处, ,下午下午2 2时到达这时到

29、达这 座灯塔的东南方向的座灯塔的东南方向的N N处，则这只船的航行速度为处，则这只船的航行速度为 （ ） A. A. 海里海里/ /小时小时 B. B. 海里海里/ /小时小时 C. C. 海里海里/ /小时小时 D. D. 海里海里/ /小时小时26176342217234解析解析 如图所示，在如图所示，在PMNPMN中，中，,120sin45sinMNPM)./(26174, 6342368小时海里MNvMN答案答案 A5.5.如图，一货轮航行到如图，一货轮航行到MM处处, ,测得灯塔测得灯塔S S 在货轮的北偏东在货轮的北偏东1515, ,与灯塔与灯塔S S相距相距2020 海里海里,

30、,随后货轮按北偏西随后货轮按北偏西3030的方向的方向 航行航行3030分钟后分钟后, ,又测得灯塔在货轮的东北方向又测得灯塔在货轮的东北方向, ,则则 货轮的速度为货轮的速度为 （ ） A.20 A.20 海里海里/ /小时小时 B.20 B.20 海里海里/ /小时小时 C.20 C.20 海里海里/ /小时小时 D.20 D.20 海里海里/ /小时小时)62()26()36()36(解析解析 由题意知由题意知SMSM=20,=20,SNMSNM=105=105, ,NMSNMS=45=45, ,答案答案 B B./)26(2021)26(10).26(10105sin10.105sin

31、2030sin,30小时海里货轮航行的速度vMNMNMSN6.6.线段线段ABAB外有一点外有一点C C,ABCABC=60=60, , AB AB=200 km,=200 km,汽车以汽车以 80 km/h80 km/h的速度由的速度由A A向向B B行驶，同时摩托车以行驶，同时摩托车以50 km/h50 km/h的的 速度由速度由B B向向C C行驶行驶, ,则运动开始则运动开始 h h后，两车的距离最后，两车的距离最 小小. . A. B.1 C. D.2 A. B.1 C. D.2 43694370 解析解析 如图所示，设如图所示，设t t h h后后, ,汽汽 车由车由A A行驶到行

32、驶到D D，摩托车由，摩托车由B B行行 驶到驶到E E，则，则ADAD=80=80t t，BEBE=50=50t t. . 因为因为ABAB=200=200，所以，所以BDBD=200-80=200-80t t， 问题就是求问题就是求DEDE最小时最小时t t的值的值. . 由余弦定理：由余弦定理：DEDE2 2= =BDBD2 2+ +BEBE2 2-2-2BDBDBEBEcos 60cos 60 =(200-80 =(200-80t t) )2 2+2 500+2 500t t2 2-(200-80-(200-80t t)50)50t t =12 900 =12 900t t2 2-42

33、 000-42 000t t+40 000.+40 000.,4370最小时当DEt 答案答案 C7.7.在在ABCABC中中, ,BCBC=1,=1,B B= = ，当，当ABCABC的面积等于的面积等于 时，时，tan tan C C= = . . 解析解析 S SABCABC= = acacsinsin B B= ,= ,c c=4.=4. 由余弦定理由余弦定理：b b2 2= =a a2 2+ +c c2 2-2-2acaccos cos B B=13,=13,3213. 3212tan,1312sin,1312cos222CCabcbaC323二、填空题二、填空题8.8.在在ABCA

34、BC中中, ,ACAC= = ，BCBC=2=2，B B=60=60, ,则则A A的大的大 小是小是 ，ABAB= = . . 解析解析6.22sin,60sin6sin2AA由正弦定理. 13,45sin275sin.75.45., 62ABABCAAACBC为锐角4545 139.9.甲船在甲船在A A处观察乙船处观察乙船, ,乙船在它的北偏东乙船在它的北偏东6060的方向的方向, ,两船两船 相距相距a a海里海里, ,乙船正向北行驶乙船正向北行驶, , 若甲船是乙船速度的若甲船是乙船速度的 倍，则甲船应取方向倍，则甲船应取方向 才能追上乙船；追上时甲才能追上乙船；追上时甲 船行驶了船

35、行驶了 海里海里. . 解析解析 如图所示，设到如图所示，设到C C点甲船追上乙船，点甲船追上乙船， 乙到乙到C C地用的时间为地用的时间为t t，乙船的速度为，乙船的速度为v, v, 则则BCBC= =tv tv，ACAC= = tv tv，B B=120=120， BCBC= =ABAB= =a a， ACAC2 2= =ABAB2 2+ +BCBC2 2-2-2ABABBCBCcos 120cos 1203,30,30,21sin,120sin3sin1,sinsinACBCABCABCABBACCABBC由正弦定理知.3,3)21(22222aACaaaa北偏东北偏东3030 a33三

36、、解答题三、解答题10.10.如图所示如图所示, ,扇形扇形AOBAOB, ,圆心角圆心角AOBAOB等等 于于6060, ,半径为半径为2,2,在弧在弧ABAB上有一动上有一动 点点P P，过，过P P引平行于引平行于OBOB的直线和的直线和OAOA交交 于点于点C C，设，设AOPAOP= =，求，求POCPOC 面积的最大值及此时面积的最大值及此时的值的值. . 解解 CPCPOBOB，CPOCPO=POBPOB=60=60- -， OCPOCP=120=120. . 在在POCPOC中，由正弦定理得中，由正弦定理得,sinsinCPPCOOP).60sin(34,120sin2)60sin(.sin34,sin120sin2OCOCCPCP又.33)(,633)62sin(332332