多维随机变量的独立性

1、1多维随机变量的独立性多维随机变量的独立性2两事件两事件A, B独立的定义是：独立的定义是：若若P (AB) = P (A) P(B)则称事件则称事件 A, B相互独立相互独立 . 两随机变量独立概念的引出两随机变量独立概念的引出 问：问： 若若 X, Y 是两个随机变量，若对任意的是两个随机变量，若对任意的x, y,有有)()(),(yYPxXPyYxXP则能否得出则能否得出 X, Y 相互独立相互独立 ？3一一. 随机变量相互独立的定义随机变量相互独立的定义设设 (X,Y) 的的 联合分布函数及边缘分布函数联合分布函数及边缘分布函数为为F(x,y) ( ),( ).及及XYFx Fy若对任

2、意的若对任意的 x, y都有都有:(,)()()P Xx YyP XxP Yy ( , )( )( )XYF x yFxFy 即即则则 称称 随机变量随机变量X和和Y是是相互独立的相互独立的.二二. 当当 (X,Y) 为离散型随机变量为离散型随机变量X和和Y相互独立相互独立)()(),(jijiyYPxXPyYxXP (,)ijxy(,)X Y是是的所有可能的取值的所有可能的取值4例例1. 设设 X,Y 相互独立，它们的分布律分别为相互独立，它们的分布律分别为:10X3132P321Y414241P求求: (X,Y) 的联合分布律的联合分布律.解解:(,)i jijPP Xx Yy 21234

3、12 ()()ijP XxP Yy 01(0,1)PP XY ,X Y相互独立相互独立(0)(1)P XP Y 从而：从而：5依次可得依次可得 (X,Y) 的联合分布律为的联合分布律为:XY32112212412201211221211从此例可得出：对离散型随机变量而言，已知联合分布律从此例可得出：对离散型随机变量而言，已知联合分布律可求出其相应的边缘分布律，但反之则不然。而一旦已知可求出其相应的边缘分布律，但反之则不然。而一旦已知 X,Y 相互独立条件后，则可由边缘分布律直接求得其联合分相互独立条件后，则可由边缘分布律直接求得其联合分布律。布律。11(1,1)PP XY (1)(1)P XP

4、 Y1113412 6在一只口袋中装有在一只口袋中装有3个黑球，两个白球，从该口袋中个黑球，两个白球，从该口袋中取球两次，每次任取一球。令取球两次，每次任取一球。令问问: 1. 每次取后不放回，每次取后不放回，X,Y是否相互独立？是否相互独立？ 2. 每次取后放回，每次取后放回，X,Y是否相互独立？是否相互独立？例例2.0,1X 第第一一次次取取出出白白球球， 第第一一次次取取出出黑黑球球0,1Y 第第二二次次取取出出白白球球， 第第二二次次取取出出黑黑球球7求求: 1. 二维随机变量二维随机变量(X,Y)的概率分布的概率分布 2. (X,Y)关于关于X和和Y的边缘概率分布的边缘概率分布 3.

5、 判断判断X与与Y是否相互独立是否相互独立例例3.11,(),(|),431(|)20,0,11A BP AP B AP A BABXYAB 不不发发生生不不发发生生，发发生生 设设是是两两个个随随机机，发发生生 ，令令 事事件件, ,8 三三. 当当 (X,Y) 为连续型随机变量为连续型随机变量相相互互独独立立和和YX)()(),(yfxfyxfYX 设设 (X,Y) 服从正态分布，其边缘分布密度为：服从正态分布，其边缘分布密度为：例例4.2121()211( ),2xXfxe 2222()221( )2yYfye x y 问问: X 和和 Y 相互独立的充分必要条件是什么相互独立的充分必要

6、条件是什么?9解解:22112212()()2212( )( )11() ()22XYxyfxfyee )()(21212222212121 yxe( )( )( , )XYfxfyf x y 要要 则比较可知其充分必要条件是：则比较可知其充分必要条件是：0 10(1) 联合概率密度及边缘概率密度联合概率密度及边缘概率密度(2) 检验检验 X 和和 Y 是否相互独立是否相互独立(3) (X,Y) 的联合分布函数的联合分布函数(4)2,(dcYbXP 例例5.求求:解解: (1). 设随机变量设随机变量 (X,Y) 在矩形域在矩形域: 内服从均匀分布内服从均匀分布dycbxa ,(X,Y) 服从

7、均匀分布服从均匀分布由题意在由题意在区域内区域内dycbxa ,111,()()( , )0axb cydba dcf x y 其其它它在矩形在矩形 上上:dycbxa ,( )( , )Xfxf x y dy ( )( , )Yfyf x y dx 所以，其联合概率密度为：所以，其联合概率密度为：1()()dcdyba dcba 1()()badxba dcdc 12在其它域上在其它域上:0)(,0)( yfxfYX1( )0Xaxbfxba 其其它它1( )0Ycydfydc 其其它它(2).11,( )( )0XYaxb cydfxfyba dc 其其它它),(yxf 所以得其边缘概率密

8、度分别为：所以得其边缘概率密度分别为：与与XY和和相互独立相互独立13(3).:时时或或当当cyax ( , )( , )xyF x yf x y dxdy 0 视它为不视它为不可能事件可能事件( , )( , )xyF x yf x y dxdy 1()()xyacdxdyba dc )()(cdabcyax abcd oxyabcd oyxxyo dxdy :时时且且当当dycbxa 14:,时时当当dycbx ( , )( , )xyF x yf x y dxdy 1()()byacdxdyba dc ()()ycdc :,时时当当bxady ( , )( , )xyF x yf x y

9、 dxdy 1()()dxcadxdyba dc )()(abax abcd oxyabcd oyx15:,时时当当dybx xydxdyyxfyxF),(),(dxdycdabbadc )(11 0()(),()()( , ),1xaxaycaxb cydba dcycF x yxb cyddcxayd axbbaxbyd 或或ycyc且且abcd xyo故故(X,Y)的联合分的联合分布函数为布函数为16(4).(,)2cdP Xb Y ()()2()()cdbacba dc 甲乙两人约定中午甲乙两人约定中午12时时30分在某地会面。分在某地会面。设甲在时间设甲在时间12:15到到12:45

10、之间到达某地之间到达某地是均匀分布；乙独立地到达，而且到达是均匀分布；乙独立地到达，而且到达时间在时间在12:00到到13:00之间也是均匀分布之间也是均匀分布. 试求：试求：(1) 先到的人等待另一人到达的先到的人等待另一人到达的 时间不超过时间不超过5分钟的概率分钟的概率. (2) 甲先到的概率甲先到的概率( ,)2cdF b 12 例例6.17设设 X：甲到达时刻，甲到达时刻， Y：乙到达时刻：乙到达时刻若以若以12时为起点，以分为单位，依题意：时为起点，以分为单位，依题意：X U ( 15, 45 ), Y U ( 0, 60 )1,1545( )300,Xxfx 其其它它1,060(

11、 )600,Yxfy 其其它它1,1545,060( , )18000,xyf x y 其其它它先到的人等待另一人先到的人等待另一人到达的时间不超过到达的时间不超过5分钟分钟的概率的概率甲先到甲先到的概率的概率解解:且有：且有： 所求为所求为 ：P( |X - Y | 5 ) 及及 P( X Y ) 1845515511800 xxdy dx P(| X-Y| 5) 1040 xy01545605xy 5xy =1/6=1/2x1545xy y0106040 P ( X Y )45601511800 xdy dx 解一解一:= P( -5 X -Y 5 ) 19解二：解二：| 511800 x

12、 ydxdyP(X Y)P(| X-Y| 5) 20 随机变量独立性的概念不难推广到随机变量独立性的概念不难推广到两个以上两个以上r.v的情形的情形. 一般地，一般地，n个随机变量个随机变量X1, ，Xn称称为独立的，如果对一切为独立的，如果对一切x1, ,xn，有，有P(X1x1, ，Xnxn)= 1()niiiP Xx类似二维变量，不难写出其它几个关于类似二维变量，不难写出其它几个关于独立性的等价定义。独立性的等价定义。21 四四. 个随机变量相互独立的概念个随机变量相互独立的概念n定义定义1.121212(,)()()()nnXXXnF xxxFxFxFx 12,nXXX则称则称是相互独

13、立的。是相互独立的。定义定义2.1212,;,mnxxxyyy若对所有的若对所有的有：有：若对所有的若对所有的有：有：12,nxxx1212112212(,;,)(,)(,)mnmnF xxxyyyF xxxFyyy12,F F F1212(, ,), ( , , , )mnX XXY YY其中其中依次为随机变量依次为随机变量1212(,;,)mnXXXY YY和和的分布函数。则称的分布函数。则称12( , ,)mX XX12( , , , )nY YY和和是相互独立的。是相互独立的。关于关于 的边缘的边缘分布函数分布函数 iX22若连续型随机向量（若连续型随机向量（X1, ,Xn）的概率密度）的概率密度函数函数 f (x1, , xn)可表示为可表示为 n 个函数个函数 g1, ,gn 之积，其中之积，其中gi 只依赖于只依赖于 xi，即，即 f (x1, ,xn) = g1(x1) gn(xn) 则则 X1, , Xn 相互独立，且相互独立，且 Xi 的边缘密度的边缘密度fi ( xi ) 与与 gi ( xi ) 只相差一个常数因子只相差一个常数因子.关于独立性的三个结果：关于独立性的三个结果：定理定理123 若若 X1, , Xn 相互独立，而：相互独