反例在数学教学中的作用研究1

1、题目：反例在数学教学中的作用研究目 录摘要：IAbstract.II1 引言12 反例的来源与构造13 反例在数学教学中的作用13.1 帮助正确全面地理解数学概念23.2 增强发现问题、纠正错误的观念33.3 理解并掌握数学中的定理、性质43.4 加深对公式、法则的正确理解并灵活运用43.5 提高否定错误的命题的能力44 反例教学对学生思维的培养54.1 培养思维的灵活性54.1.1反例用于强调条件54.1.2反例用于畅通思路64.2 培养思维的深刻性74.3 培养思维的发散性84.3.1反例用于否定谬误84.3.2反例用于拓展思维94.4 培养思维的创新性95 运用反例注意问题115.1 注

2、意主次115.2 注意适当11结论11致谢语12参考文献12反例在数学教学中的作用研究摘要：数学是一门严密的科学,它有自己独特的思维方式和逻辑推理体系。在数学发展史中，反例与证明有着同等重要的地位。尤其是在判断事物的真假时，起着十分重要的作用。所谓反例,通常是用来说明一个命题不成立的例子,即符合命题的条件但与命题的结论相矛盾的例子。在数学学习中要证明一个命题成立,就要严格地证明其在符合题设的各种可能的情况下结论都成立,而要推翻一个命题,却只要指出在符合题设的某个特殊情况下结论不成立就可以了,也就是说只要举出一个反例就行了。 关键词：反例；来源；构造；辨证；作用；思维Counter Exampl

3、e Role Study In Mathematics TeachingWU Ya-lin(Grade 2009, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and Statistics, Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404000 )Abstract: Mathematics is an exact science, it has its own unique way of thinking and logical reasoning s

4、ystem. In the history of mathematics, counter example and prove equally important position. Especially in the judgment of true and false things, plays a very important role. So-called, is usually used to illustrate an example of a proposition is not set up, which can meet the requirements of proposi

5、tion but inconsistent with the conclusion that the proposition of example. In learning mathematics was set up to prove that a propositional, will prove its strictly in accord with the topic of a variety of possible conclusions are valid, and to overthrow a proposition, but as long as pointed out in

6、accord with the topic of a particular situation to conclusion was not ok, that is to say just give a counter example.Keywords: Counter example; Source; Structure; Syndrome differentiation; Role;thought1 引言数学中的反例通常是要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。比如说，对一个命题：所有的天鹅都是白色的。为了说明这个命题不是真的，

7、只需要举出一个例子，使之具备命题的条件（天鹅），而不具备命题的结论（白色的）。这样的例子称为反例：“一只不是白色的天鹅”就是这个命题的反例。在数学的发展史中,反例和证明有着同等重要的地位.反例与证明是相反相成的两种逻辑方法。证明是用已知为真的判断，来确定另一个判断的真实性；而反例是用已知为真的事实去确定另一判断的真假。但它们都是在确定事物的本质和内在联系。美国数学家B.R.盖尔鲍姆说：“冒着过于简单的风险，我们可以说（撇开定义、陈述以及艰苦的工作不谈）数学由两大类证明和反例组成，而数学也是朝着两个主要的目标提出证明和构造反例”发展。那该怎样学好数学呢?首先最主要的问题就是帮助和促使我们掌握好基

8、本概念和基本性质.解决这个问题的有效方式之一,就是重视和恰当的使用反例. 所以说在数学的学习中,反例有着十分重要的意义,举反例的方法在数学学习中应经常为同学们所用,它帮助学生对概念、定理、公式的理解更加全面、更加透彻, 它在帮助我们发现和认识数学真理,强化对数学基础的理解和掌握,以及帮助培养学生的思维能力和创造能力等方面都具有不可抹灭的作用和意义.下面我将从反例的来源与构造，反例在数学教学中的作用，反例教学对思维能力的培养，运用反例应该注意的问题这四个方面来论述。2 反例的来源与构造证明一个猜想是真实可靠的,必须经过严格的推理证明才能得出结论;而要证明一个猜想是假的,就只需要找到这个猜想命题的

9、反例.在数学学习中,有这样一种现象：教师为了说明一个命题是假命题, 就举出一个例子, 说出这个例子虽然满足命题的条件, 但是不能满足命题的结论,这就是常用的反例证明。但是反例是怎样获得的呢?与获得证明的方法一样,反例的获得也需要经过一系列深层次的思维活动,其方法包括:观察与实验,归纳,分析与综合,概括与抽象等,反例决不是凭空得到的。从概念的定义入手分析获得反例是最常用的一种方法，概念是反映事物本质属性的思维形式。在数学问题中,若首先给出一个概念的定义,然后判断一个猜想是否正确,则反例的获得就常常需要从定义入手分析。数学中的反例作为简明而又有力的否定方法,它不仅在培养逆向思维能力中占有重要地位，

10、而且在纠正错误结论、澄清概念、开拓数学新领域中也起到了非常重要的作用，正如美国数学家盖尔鲍姆所说：“数学是由两大类证明和反例组成，而数学的发展也是朝着这两个目标的即提出证明和构造反例。”3 反例在数学教学中的作用反例的寻找为新兴学科的发展提供了源泉，被誉为大自然的几何学的分形理论,是现代数学的一个新分支,但其本质却是一种新的世界观和方法论。虽然分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特1975年首先提出的, 但最早的工作可追朔到1875 年,德国数学家维尔斯特拉斯构造了处处连续但处处不可微的函数,集合论创始人康托德国数学家)构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年,意大利数学家皮亚诺构造了

11、 填充空间的曲线。1904年,瑞典数学家科赫设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年,波兰数学家谢尔宾斯基设计了象地毯和海绵一 样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例,但它们正是分形几何思想的源泉。以后,这一领域的研究工作没有引起更多人的注意,先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。3.1 帮助正确全面地理解数学概念 在对数学的概念进行学习时，不仅要运用正面的例子对概念进行深刻的理解，而且还要运用适当的反例，从另一个反面对概念的本质进行分析，使对所学概念有进一步理解，从而更深刻地理解和掌握概念。 例1 关于函数的概念时，可能就是简单地认为就是：一个

12、变量随着另一个变量的变化而变化，它们之间的关系就是函数关系，为了纠正这一错误的认识，可以提出这样的两个问题： (1) 人的身高与年龄成函数关系吗？ (2) 若,则y是x的函数吗？ 不少同学肯定认为(1)人的身高与年龄有关系，因而人的身高与年龄构成函数关系。而(2)中由于，因变量y不随x的变化(y1)，故y不是x的函数。此时教师可以和学生一起参与讨论。发现问题(1)里，尽管人的身高与年龄有关系，但年龄并不能确定人的身高，即当自变量(人的年龄)发生变化时，因变量(身高)没有完全确定的值和它对应，因此不符合函数的定义。而在问题(2)里，对每一个给定的x值(在x的定义域内)，y随x总有唯一确定的值(y

13、1)和它对应，只不过当x变化时，y的值始终不变罢了。由此认识到y是x的函数，并非一定要求y随x的变化而变化。 通过所举两个反例的学习，他们就容易地体会到：对变量x的每一个确定的值，变量y有唯一确定的值和它对应，这才是构成函数关系的本质。教学中，概念、定理、公式一般采用正面阐述的形式，往往容易让学生对一些关键的词语认识不够，对所给的条件理解不透彻，就不能够抓住它的本质，而只是机械地记忆概念、定理的名称和公式的结构。如果遇到概念、定理、公式的名称相近或结构类似，就容易造成理解上的混淆。例2 对于定理：“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”与定理：“对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形”的内容很

14、相近，这就容易让他们搞不清楚。因此在教学中，诸如此类的问题，讲述时应多举反例，也可以鼓励他们举反例，以便达到强化理解概念的作用。例3 我们在学习等腰直角三角形时，等腰直角三角形的性质较多，内容丰富，由“等腰”、“直角”、“三角形”三方面组成。学生在学习了概念之后，就容易出现：要不是忘了等腰，就是忘了直角，有的可能甚至连三角形的两边之和大于第三边都忘记了。此时就要举出反例，如“直角”常为学生忽视，错把等腰三角形判定为等腰直角三角形，这时老师应出示等腰直角三角形的正确图形，引导学生在比较中再次认识“直角”，否定错误的认识。同理“等腰”、“三角形”等性质也如法炮制。因此，当学生对内容丰富的知识进行学

15、习时可通过反例教学，来突出所学知识中容易被学生忽略的性质，从而帮助他们对所学知识的全面认识和深刻理解。例4 在对正三棱锥的概念进行学习时，我们很容易就忽略掉“顶点在底面的射影是底面的中心”这一条件，误认为“底面是正三角形，各侧面均为等腰三角形的三棱锥就是正三棱锥”。对此，可以举如下反例：如图1所示，三棱锥中，。显然底面为正三角形，侧面均为等腰三角形，但三棱锥却不是正三棱锥。3.2 增强发现问题、纠正错误的观念在解题过程中我们容易出现差错并且不容易被发现和纠正。对此，可以引入适当的反例，通过让学生进行讨论，帮助他们发现问题，分析错误原因，找出正确的解题方法。（1）同学在判断两个相关联的量是否成反

16、比例的量时，往往不是很清楚。例5 小美总共要做10道数学题，已经做了的题和没有做的题是否是成反比例的。错解：已经做了的题和没有做的题是成反比例的。相信大多数的学生都会认为这是对的，这是由于没有充分理解到成反比例的三个条件，这个题只满足了前面的两个而没有满足第三个：两个量的乘积一定。这个题是两个量的和一定，这样就能让学生清楚地意识到以上解法是错误的原因，从而让他们更加深刻的理解到成反比例的三个条件。（2）同学在解有关分式方程去分母时，往往会出现漏乘现象。例6 解方程：错解:方程两边同乘以，得： , 即x0 经检验知x0是原方程的解。 我们在看完以上的解答后都会认为这个解答是正确的，理由如下：就是

17、把x0代入方程两边相等。在教学时，教师就可以再举一个简单的分式方程如何去分母？此刻同学们就能清楚地意识到上面错解的原因是去分母时漏乘(方程右边未乘以，从而使他们迅速地得出正确解法。（3）我们在学习了等比数列前项和公式后，在求等比数列前项和时往往直接应用公式，而不考虑公比是否等于1。例7 求和：.我们一看见这个题，都会很自然地套用公式，但是我们可能都会忽略掉和这两种情况应另类考虑，因此，在实际教学时教师可以通过提醒学生认识到时，不是等比数列；当时，虽是等比数列，但=1，因此求和时也不能套用上面的公式。这也是一个反例的运用，这一反例可以让学生注意到对等比数列分类条件的重视，让我们知道了对待每一个数

18、学问题，都必须仔细观察，然后培养自己观察力和想象力，提高自身数学思维的严密性。3.3 理解并掌握数学中的定理、性质 我们在学习一个新的定理、性质时，容易忽略定理、性质中的关键词语，从而容易造成解题的错误。所以在实际教学中为了克服这一现象，教师要善于构造反例，来帮助同学们牢记住定理、性质中的关键词语，以达到正确理解并掌握定理、性质。 例8 垂径定理的推论1“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦”，我们常会忽略括号中的限制条件，误记为“平分弦的直径垂直于弦”。而在教学时可以构造反例：圆中任意两条直径，虽然它们互相平分，但不一定互相垂直，用来来纠正这一错误，从而加深对限制条件的理解。3.4 加深对公式、

19、法则的正确理解并灵活运用 我们在学习有关公式、法则时，会容易忽略掉这些公式、法则的运用范围，从而在使用时不注意分析具体条件而生搬硬套，造成错误。因此，在教学教师中不仅要向同学们讲清、交代公式、法则的适用条件，而且还要适当引用一些反例，加深他们对这些公式、法则的理解以便达到有效的掌握。例9 先化简，当a=2时，再求解。甲：原式:=0乙：原式=2你认为谁正确，为什么？此例是有绝对值的化简公式的应用，导致两种截然相反结果的原因是绝对值中a-3的值是大于0还是小于0，由题意知a=2时，因此乙的解法是正确的。通过甲、乙两位同学计算过程的对比，让我们明显体会到今后在化简有绝对值式子时，一定要注意绝对值内a

20、的符号，否则会出现两种完全不同的结果。3.5 提高否定错误的命题的能力 判断一句话（或一种理论）的真假，首选的方法就是构造反例。这是由反例自身的特点决定的。它具有直观、简明、清晰、说服力强等特点，因而在澄清是非，揭示错误，否定命题时显示出它特殊的震撼力。数学中有些问题，若从正面角度讲，同学们可能就会感到模糊、理解不透，甚至还会产生错误的判断，为了能够让他们正确的判断问题的真假，所以在实际教学时应突出反例，以借助反例来提高同学否定错误的能力。 例10 负数就是在一个数的前面加一个负号。许多学生都认为是正确的，其实，它是一个假命题，只要构建一个反例即能说明。如果这个数本来就是一个负数，在它的前面再

21、加一个负号那么这个数就变成了一个正数了。再如果这个数是0，在0的前面加个负号还是0。所以这句话是错误的。反例的功能是显而易见的，通过上面简单探讨，不难看出它是理解数学概念的有力工具，也是纠正错误的有效方法，还是强调条件的得力措施，更是否定谬论的锐利武器。4 反例教学对学生思维的培养4.1 培养思维的灵活性 因为反例在辨析错误中具有直观、说服力强等突出特点，所以注重反例教学不但能使同学们发现错误和漏洞，而且还可以修补相关知识，学会用多个角度去考虑问题，提高思维的灵活性。4.1.1反例用于强调条件我们在学习公式、法则、定理时，往往侧重于记忆其结论，不注意它们的使用范围，以致使用时生搬硬套、错误百出

22、的现象极为严重。因此，教师在讲授时，就应该注意反复强调公式、法则、定理中的限制条件，指出它们的应用范围，并且可以根据同学们的知识水平，适当地举出一些反例， 以突出“限制条件”的重要性。例11 已知且，求的最大值。错解： （4.1.1）当且仅当时，即时时，的最大值是.但若，时，=，很明显，因而并不是的最大值。其错误的原因就在于(4.1.1)右边不是常数。正解：当且仅当时，即，时取等号，的最大值是.例12 ，的最小值。错解： (4.1.2) 的最小值为6.显然，此解法是错误的，因为(4.1.2)式取等号的条件是，而满足此等式的是不存在的。故(4.1.2)式不能取等号，只能得出.正解：当且仅当即时取

23、等号，的最小值为.4.1.2反例用于畅通思路当我们遇到难题时，思维非常容易受阻，迫使我们不得不寻求新的解法，从而提高思维的灵活性。例13 设正多面体的每个面都是正边形，以每个顶点为端点的棱有条，棱数为，面数为，则它们之间的关系一定正确的是（）。A)、B)、C)、D)、通常情况下我们一遇到题目中只有字母，无数字时，就不知从何处下手。实际上，做这类题时，最好的方法就是举例子验证。分析：由欧拉公式知是正确的，且在四个答案中都有。那么还有哪些是正确的呢？由于正多面体只有5种，可举几个正多面体为例验证一下。可能我们首选的就是正四面体，发现=3，=3，=4，=6，=4，则、也都正确，认为全部正确，选(D)

24、.其实在正六面体中，=4，=3，=6，=12，=8，此时中的=18， =24, ，所以该题的正确答案选(C).例14 图2所示，有一长方体，其长，宽，高，求由顶点沿着表面到对角顶点的最短路线的长。开始时，我们可能会误认为长、宽和高之和为所求路线之长。而在实际教学时，如果这个时候教师举出自沿棱和右侧面对角线和所得路线长为时，那我们应该就会意识到原来的解答有误，并且积极的探求新的解题思路。类似地出现：及 由图3可知，沿着表面到的最短路线的长为。4.2 培养思维的深刻性反例往往是伴随着数学教学中命题的推广，正面证明失败之后产生的，所以运用反例时不能就事论事，而要把问题的产生过程，如何举出反例的思维过

25、程充分展现出来，使反例的提出与整个推理过程有机地结合起来，从而培养思维的深刻性。例15 若，成等差数列，问，是否也成等差数列。这时，同学们可能会立刻用自己学过的等差数列知识来求证。比如有位同学是这样解：，成等差数列-=-整理得： (+)(-)=(+)(-)即: 再在两边同时除以(+)得:把上式拆成: ，也成等差数列。初看此解的过程好像是正确的，但只要仔细想一下就会发现问题的所在。若=-时，虽然，还是成等差数列，但(+)，(+)都等于零，分母是不能为零的，所以结论是不成立的。例16我们在学习三垂线定理及逆定理时，往往忽视“平面内的一条直线”中“内” 的特定条件。在实际教学中可以用如下反例来启发同

26、学们，如图4所示，在正方体中，因为，所以，又是在平面内的射影，故。事实上，因为，所以与所成的角为45º，并不垂直。造成上述错误的原因是忽视了“不在平面内”，用这个反例来说明定理中“内”字的重要性。4.3 培养思维的发散性教师在进行实际教学时，应该适当地使用反例，这实际上是创设了一种探索情景，但是在通常情况下，许多反例的构造并不是惟一的，这就需要同学们对所学知识有深刻、透彻的理解，并且调动他们全部的数学功底，充分展开想象，因此，构造反例的过程也是发散思维的充分发挥和训练过程。4.3.1反例用于否定谬误在立体几何学习中，我们往往通过类比、推广等方法得出一些错误的命题，要否定这些谬误，反例

27、往往是最强有力的武器。例17我们可能会把“圆柱过两条母线的截面中，以轴截面的面积为最大”的结论移植到圆锥中，误认为“圆锥过两条母线的截面中，亦以轴截面的面积为最大”。此时就可以构造反例：一个圆锥顶角为120º，母线长为2，作一个过圆锥两条母线的截面，其顶角为90º，则圆锥轴截面面积；顶角为90º的截面面积；显然。可见，当圆锥顶角大于90º时，并非以轴截面面积为最大。4.3.2反例用于拓展思维教师在实际教学中，可以选择一些发散性强的典型数学知识或问题，通过创设问题情景，引导同学们构造反例，引导他们敢于和善于发现问题或提出问题，爱护、支持和鼓励一切含有创造因

28、素的思想和活动，从而提高思维的发散性。4.4 培养思维的创新性反例构造是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性、创造性活动，培养创新精神、诱发创造力的一种很好的载体。例18 设，已知当|1时，|1恒成立，证明当|2时，|7恒成立。分析：要证得结论，只须证在区间-2，2上的最值在区间-7，7内，二次函数在某区间的最值必在区间的端点或抛物线的顶点处（若顶点在区间内）取得，故只须证：7 (4.4.1)7 (4.4.2) 7(2) (4.4.3)而这又须从已知条件中推得，的取值范围再加以证明，很快从已知得到：111 进一步又可推得|1和|2，由这些条件能否推出所需的三个结果呢？先试（4.4.1）式，若

29、简单地放大4|+2|+|11是无法推出(4.4.2)式。这时如果有同学发现若能从已知条件推出|1就能证明了。那么这个发现有价值吗？猜想|1是否正确？其实存在=2的函数符合已知条件，通过反例把这个猜想否定了，这种批判性的思维非常宝贵，教师在加以肯定的同时又指出：现在必须对4+2+进行重新组合变形，是否有更有力的条件加以利用？我们能发现|+|1比|2更有用，用它能解决|2无法解决的矛盾，于是有：=|4(+)-2-3|4|+|+2|+3|9虽有进步，但仍无法证得（4.4.1）式，这种变形虽解决了主要矛盾，但和的系数变得太大，次要矛盾上升为主要矛盾，两方面兼顾得：=|2(+)+2-|2|+|+2|+|

30、7这样就圆满地完成了（4.4.1）式，同理可证得（4.4.2）式；对（4.4.3）式因为有2，所以|+例19 判断下述命题是否成立：“已知、分别是、的最小正周期，则、的最小公倍数是+的最小正周期”。这命题是不成立的。为了举出反例，可设法作出在周期内的图象(如图5)，以及在周期内的图象(如图6)，容易看出+的最小正周期并不是，而是(如图7)。在上述反例的探索过程中，我们在新的问题情景中，能享受到创造的乐趣，从而能激发起学习数学的兴趣和刻苦钻研数学问题的热情和毅力，培养思维的创新性。5 运用反例注意问题反例的功能和作用虽然很大，但在实际学习中,运用反例时必须注意一些问题:5.1 注意主次学习中主要学习概念,定理和方法,对于基本的命题和结论应予以严格的 证明和推导.但举反例重在说明结构,辩清是非,故我们对反例掌握要求不能太高,它应是围绕主要内容而进行的有效的辅助学习手段。 5.2 注意适当反例应是经过挑选的