【数学】圆锥曲线的方程单元练习卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第1页（共1页）第三章圆锥曲线的方程同步练习卷-2024-2025学年高二数学上学期人教A版2019一．选择题（共8小题）1．抛物线x＝﹣2y2的焦点坐标为（）A． B． C． D．2．椭圆的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝（）A．9 B．7 C．5 D．33．若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则△PF1F2的面积值为（）A． B． C． D．84．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点为F，M，N，P是双曲线C上的点，其中线段MN的中点恰为坐标原点O，且点M在第一象限，若，∠OFM＝∠OMF，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．5．已知双曲线C的实轴长为2，且与椭圆的焦点相同，则双曲线C的渐近线方程为（）A． B． C． D．6．希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＝1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线．现有方程表示的圆锥曲线为（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对7．已知椭圆，过点P（2，1）且斜率为﹣1的直线与C相交于A，B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到焦点F的距离的最小值为（）A．6 B． C． D．8．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，点F2到其中一条渐近线的距离为3，点P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，则|PF1||PF2|＝（）A．12 B．18 C．24 D．36二．多选题（共3小题）9．已知双曲线C：﹣x2＝1，则下列关于双曲线C的说法正确的是（）A．焦点为 B．实轴长是3 C．渐近线方程为y＝±3x D．离心率为10．设F1，F2为椭圆C：的两个焦点，P（x0，y0）为C上一点且在第一象限，I（x1，y1）为△F1PF2的内心，且△F1PF2内切圆半径为1，则（）A． B． C．x1＝2 D．11．已知抛物线Γ：x2＝8y的焦点为F，点F与点P关于原点对称，过点P的直线l与抛物线Γ交于M，N两点（点M和点P在点N的两侧），则下列命题正确的是（）A．存在直线l，使得 B．若NF为△MPF的中线，则|MF|＝2|NF| C．若NF为∠MFP的角平分线，则|MF|＝6 D．对于任意直线l，都有|MF|+|NF|＞2|PF|三．填空题（共3小题）12．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m的值为．13．如图，M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM＝60°，|FM|＝．14．已知直线y＝2x与双曲线没有公共点，那么双曲线C的离心率的一个值是．四．解答题（共5小题）15．设抛物线C：y2＝2px（p＞0），F是其焦点，已知抛物线上一点M（m，2），且MF＝2，（1）求该抛物线的方程；（2）过点F作两条互相垂直的直线l1和l2，分别交曲线C于点A，B和K，N．设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点．16．已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点．（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线x﹣y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点在圆x2+y2＝20上，求实数m的值．17．已知离心率为的椭圆C：＝1（a＞b＞0）经过点M（1，）（1）求椭圆C的方程；（2）A，B分别为椭圆的左右顶点，直线AM、BM分别交直线x＝4于P，Q两点，求△PQM的面积．18．已知椭圆左、右焦点分别为F1，F2，点在椭圆上，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，当直线BD的斜率为0时，|BD|+|AC|＝7．（1）求椭圆的方程；（2）若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；（3）求四边形ABCD的面积的最小值．19．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，渐近线方程为y＝，，直线与C的左、右支分别交于点M，N（异于点A，B）．（1）求C的方程；（2）若直线AM与直线BN的斜率之积为，求m的值．

第三章圆锥曲线的方程同步练习卷-2024-2025学年高二数学上学期人教A版2019参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．抛物线x＝﹣2y2的焦点坐标为（）A． B． C． D．【分析】确定抛物线的标准方程，即可求得答案．【解答】解：由题意可知，抛物线标准方程为，则，故焦点坐标为．故选：C．【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．2．椭圆的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝（）A．9 B．7 C．5 D．3【分析】利用椭圆的定义求解即可．【解答】解：椭圆的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，所以|PF1|+|PF2|＝2a＝10，若|PF1|＝3，可得|PF2|＝10﹣3＝7．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，属基础题．3．若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则△PF1F2的面积值为（）A． B． C． D．8【分析】设点P（m，n），根据方程组求点P的坐标和焦距，进而可得面积．【解答】解：对于椭圆可知：半长轴长为5，半短轴长为3，半焦距为4，则|F1F2|＝8，设点P（m，n），则，解得，所以△PF1F2的面积值为．故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．4．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点为F，M，N，P是双曲线C上的点，其中线段MN的中点恰为坐标原点O，且点M在第一象限，若，∠OFM＝∠OMF，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．【分析】易证得四边形MFNF′为矩形，设|NF|＝x，结合双曲线定义可表示出|PF|，|PN|，|NF′|，|PF′|，在Rt△PNF′，Rt△FNF′中，利用勾股定理即可求解．【解答】解：设双曲线C的右焦点为F′，连接PF′，MF′，NF′，∵∠OFM＝∠OMF，∴|OM|＝|OF|＝|OF′|，∴MF′⊥MF，又O为MN中点，∴四边形MFNF′为矩形，设|NF|＝x，则|PF|＝2x，|PN|＝3x，∴|NF′|＝2a+x，|PF′|＝2a+2x，∵|PN|2+|NF′|2＝|PF′|2，∴9x2+（2a+x）2＝（2a+2x）2，解得：，又|NF|2+|NF′|2＝|FF′|2，∴，得17a2＝9c2，即，∴双曲线C的离心率为．故选：B．【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．5．已知双曲线C的实轴长为2，且与椭圆的焦点相同，则双曲线C的渐近线方程为（）A． B． C． D．【分析】由椭圆的性质，结合双曲线的性质求解．【解答】解：已知椭圆的焦点坐标为（0，3），（0，﹣3），已知双曲线C的实轴长为2，则a＝1，则，即双曲线C的方程为，则双曲线C的渐近线方程为．故选：B．【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了双曲线的性质，属中档题．6．希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＝1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线．现有方程表示的圆锥曲线为（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对【分析】将方程转化为方程判断．【解答】解：方程即为方程表示：动点P（x，y）到定点O（0，0）的距离与到定直线3x+4y﹣12＝0的距离的比为5且大于1，所以其轨迹为双曲线．故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质，属于中档题．7．已知椭圆，过点P（2，1）且斜率为﹣1的直线与C相交于A，B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到焦点F的距离的最小值为（）A．6 B． C． D．【分析】先设出A，B的坐标，再分别代入椭圆，两式相减，再根据过点P这一已知条件求出b即可求出c，即可求解．【解答】解：设A（x1，y1），b（x2，y2），则，．两式相减得+＝0．又因为x1+x2＝4，y1+y2＝2，所以kAB＝＝＝＝﹣1．所以b2＝36，所以c2＝72﹣36＝36，所以c＝6，因此椭圆上一点M到焦点F的距离最小值为a﹣c＝6﹣6．故选：B．【点评】本题考查椭圆焦点弦，属于中档题．8．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，点F2到其中一条渐近线的距离为3，点P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，则|PF1||PF2|＝（）A．12 B．18 C．24 D．36【分析】利用点到直线的距离公式可得出b＝3，利用双曲线的定义、余弦定理可求得|PF1|•|PF2|的值．【解答】解：双曲线＝1（a＞0，b＞0），则双曲线的渐近线方程为，即bx±ay＝0，易知点F2（c，0），所以，焦点F2到渐近线的距离为，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可得|m﹣n|＝2a，由余弦定理可得，即4a2+mn＝4c2，所以，mn＝4（c2﹣a2）＝4b2＝36．故选：D．【点评】本题主要考查双曲线的焦点三角形，属于基础题．二．多选题（共3小题）9．已知双曲线C：﹣x2＝1，则下列关于双曲线C的说法正确的是（）A．焦点为 B．实轴长是3 C．渐近线方程为y＝±3x D．离心率为【分析】求解焦点坐标判断A；求解实轴长判断B；渐近线方程判断C；求解离心率判断D．【解答】解：双曲线C：﹣x2＝1，可得a＝3，b＝1，c＝，所以焦点坐标（0，±），所以A正确；实轴长为6，所以B不正确；渐近线方程为：y＝±3x；所以C正确；离心率为：e＝，所以D不正确．故选：AC．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．10．设F1，F2为椭圆C：的两个焦点，P（x0，y0）为C上一点且在第一象限，I（x1，y1）为△F1PF2的内心，且△F1PF2内切圆半径为1，则（）A． B． C．x1＝2 D．【分析】设切点为A，B，C，由椭圆的定义结合内心的性质可判断A；由等面积法求出代入椭圆的方程可判断B；求出可判断C；由两点的斜率公式可判断D．【解答】解：如下图所示，设切点为A，B，C，对于A，由椭圆的方程知：a＝5，b＝4，c＝3，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|＝2a＝10，易知|AF1|+|BF2|＝|F1F2|＝6，所以|PA|＝|PB|＝2，所以，故A正确；对于BCD，，又因为，解得：，又因为P（x0，y0）为C上一点且在第一象限，所以，解得：，故B正确；从而，所以，所以，而|OF1|＝3，所以，故C错误；从而，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查椭圆的性质，属于中档题．11．已知抛物线Γ：x2＝8y的焦点为F，点F与点P关于原点对称，过点P的直线l与抛物线Γ交于M，N两点（点M和点P在点N的两侧），则下列命题正确的是（）A．存在直线l，使得 B．若NF为△MPF的中线，则|MF|＝2|NF| C．若NF为∠MFP的角平分线，则|MF|＝6 D．对于任意直线l，都有|MF|+|NF|＞2|PF|【分析】设l：y＝kx﹣2，不妨令M（x1，y1），N（x2，y2）都在第一象限，P（0，﹣2），F（0，2），联立抛物线，根据韦达定理可得k2＞1，x1+x2＝8k，x1x2＝16，则，再根据各选项描述、抛物线定义判断它们的正误．【解答】解：根据题意，设直线l：y＝kx﹣2，令N（x2，y2），M（x1，y1）都在第一象限，F（0，2），P（0，﹣2），联立x2＝8y和y＝kx﹣2，那么可得x2﹣8kx+16＝0，且Δ＝64（k2﹣1）＞0，所以k2＞1，因此根据韦达定理可得x1x2＝16，x1+x2＝8k，所以．对于选项A，如果，过点M作MD垂直于准线y＝﹣2于点D，那么，所以三角形MPD为等腰直角三角形，此时|PD|＝|MD|，所以M（x1，x1﹣2），因此，因此，因此x1＝4，因此x2＝4，所以此时M，N为同一点，不符合题设，所以选项A错误；对于选项B，如果NF为△MPF的中线，那么，因此，因此y1＝4，所以，因此，那么|MF|＝2|NF|＝6，所以选项B正确；对于选项C，若NF为∠MFP的角平分线，那么，作MD，NE垂直准线y＝﹣2于D，E，那么|MF|＝|MD|且，因此，所以，则，将代入整理得，则y1＝6，所以|MF|＝y1+2＝8，所以选项C错误；对于选项D，，而2|PF|＝8，结合k2＞1，可得8k2＞8，即|MF|+|NF|＞2|PF|恒成立，所以选项D正确．故选：BD．【点评】本题考查直线与抛物线综合应用，属于中档题．三．填空题（共3小题）12．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m的值为8．【分析】由椭圆离心率的定义求出离心率和已知相等从而得出结果．【解答】解：因为焦点在x轴上，由椭圆方程可知：a2＝9＞b2＝m，所以e2＝＝1﹣＝1﹣，由题意可得1﹣＝，可得m＝8．故答案为：8．【点评】本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．13．如图，M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM＝60°，|FM|＝4．【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设M的坐标（y＞0），利用锐角三角函数求出y，再根据抛物线的定义计算可得．【解答】解：由抛物线的方程y2＝4x，可得准线方程为x＝﹣1，焦点坐标为F（1，0），设M的坐标，y＞0且，又∠xFM＝60°，∴，整理得，解得或（舍去），所以由抛物线的定义可得．故答案为：4．【点评】本题考查抛物线性质，属于中档题．14．已知直线y＝2x与双曲线没有公共点，那么双曲线C的离心率的一个值是2（答案不唯一）．【分析】利用双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的关系，即可推出结果．【解答】解：直线y＝2x与双曲线无公共点，可得≤2，所以e＝＝≤，故双曲线C的离心率可能是2．故答案为：2（答案不唯一）．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．四．解答题（共5小题）15．设抛物线C：y2＝2px（p＞0），F是其焦点，已知抛物线上一点M（m，2），且MF＝2，（1）求该抛物线的方程；（2）过点F作两条互相垂直的直线l1和l2，分别交曲线C于点A，B和K，N．设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点．【分析】（1）根据题意列方程，求出p＝2，进而求出标准方程；（2）先依据（1）的结论分别求出两条互相垂直的直线l1，l2的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点P、Q的坐标，最后借助直线PQ的方程即可确定直线PQ经过定点．【解答】解：（1）由题可得：，解得：p＝2，m＝1，所以抛物线方程为：y2＝4x；（2）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题可知，直线l1和l2，的斜率存在且不为0，设直线l1的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），联立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，则Δ＝（2k2+4）2﹣4k4＝16k2+16＞0，所以，，所以P，由题知，直线l2的斜率为，同理可得Q（1+2k2，﹣2k），当k≠±1时，有，此时直线PQ的斜率，所以，直线PQ的方程为，整理得（k2﹣1）y＝﹣k（x﹣3），显然直线PQ恒过定点（3，0），当k＝±1时，直线PQ的方程为x＝3，也过点（3，0），综上所述，直线PQ恒过定点（3，0）．【点评】本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．16．已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点．（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线x﹣y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点在圆x2+y2＝20上，求实数m的值．【分析】(1)根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点(,﹣)计算，即可得出答案．(2)联立直线与双曲线的方程，得关于x的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出AB的中点坐标，代入圆的方程，计算即可得出答案．【解答】解：（1）设双曲线C的方程为﹣＝λ,代入M(,﹣),得﹣＝λ,解得λ＝,所以双曲线的方程为x2﹣＝1．(2)由,得x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB中点坐标为(,),由韦达定理可得x1+x2＝2m,所以y1+y2＝(x1+x2)+2m＝4m,所以AB中点坐标为(m,2m),因为点(m,2m)在圆x2+y2＝20上，所以m2+(2m)2＝20,解得m＝±2．【点评】本题考查双曲线的方程，直线与双曲线相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．17．已知离心率为的椭圆C：＝1（a＞b＞0）经过点M（1，）（1）求椭圆C的方程；（2）A，B分别为椭圆的左右顶点，直线AM、BM分别交直线x＝4于P，Q两点，求△PQM的面积．【分析】（1）利用已知条件列出方程，求解椭圆的几何量，即可得到椭圆的标准方程；（2）根据已知条件表示出三角形底边两点P、Q间的距离，利用公式求面积即可．【解答】解：（1）∵离心率为，则a＝2b，椭圆C为：，代入M（1，），解得b＝1，a＝2，所以椭圆方程为：．（2）由（1）可得A（﹣2，0），B（2，0），又点M（1，），故直线AM的方程：；直线BM的方程为：；代入x＝4的：∴．【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查学生的计算能力，属于基础题．18．已知椭圆左、右焦点分别为F1，F2，点在椭圆上，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，当直线BD的斜率为0时，|BD|+|AC|＝7．（1）求椭圆的方程；（2）若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；（3）求四边形ABCD的面积的最小值．【分析】（1）根据结合椭圆的基本量关系求解即可；（2）设P（x，y），可得，结合x∈[﹣2，2]与二次函数的最值求解即可；（3）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合弦长公式与S＝|BD||AC|求得四边形面积的表达式，利用基本不等式求得其最小值．【解答】解：（1）当直线BD的斜率为0时，直线AC垂直于x轴，所以，|BD|＝2a，所以，又因为在C上，因此，解得：，a＝2，因此椭圆方程为；（2）根据第一问知