数学建模文档

1、雨中行走淋雨量问题摘要：在给定的降雨条件下，计算被雨水所淋湿的程度，可以用其间被淋在身上的雨水量的大小来刻划，而与此有关的主要因素有：降雨的大小、风（降雨）的方向、路程的远近和行走的速度。关键词：淋雨量 跑步速度 雨向 降雨量问题重述：工作下班时你发现外面下雨了，随身没有雨具附近也没有。现在需要考虑的是如何使自己所受的雨量最小，快跑是否合理呢？现在我们建立数学模型来讨论这个问题。问题分析在不同条件下设计一个在雨中行走的策略（调整行走速度），使得你被雨水淋湿的程度最低。所谓被雨水淋湿的程度，可以用其间被淋在身上的雨水量的大小来刻划，而与此有关的主要因素有：降雨的大小、风（降雨）的方向、路程的远近

2、和行走的速度等。模型假设1风速及风向始终保持不变； 2行走速度恒定； 3降雨的速度和降雨强度保持不变； 4把人的身体看成是一个呈长方体形状的物体（理想化）。 5淋在身上的雨水被完全吸收（极端化）。 6不考虑降雨的角度的影响，也就是说在行走的过程中身体的上方及前后左右都将淋到雨水。 7设定变量和参数  雨中行走的距离（单位：米）：D； 雨中行走的速度（单位：米/秒）：v； 人体的高度、宽度、厚度（单位：米）：h，w, d 被淋雨水总量（单位：升）：C； 降雨强度（单位：厘米/小时）：I； 身体被雨淋的面积（单位：米2）：S； 雨中行走时间（单位：秒）：t=D/v. 其中，降雨

3、强度是单位时间内平面上降雨的厚度，用以刻划降雨的大小。 在本问题中，D，d,w,h从而S是问题的参数；v,t,I是问题中的变量。C是因变量，而v是决策变量。模型中的参数可以通过观测和日常的调查资料得到。模型的建立与求解  按上面的分析与假设，容易知道：在雨中行走时被淋雨水总量等于被雨淋时间、被雨淋面积和降雨强度三者的乘积。考虑到量纲一致性，并注意到I、v、D为常数，我们有   C（v）=t S（米 ） = （米 ） = 模型表明，被淋在身上的雨水总量与在雨中行走的速度成反比，因此在雨中最优行走策略是尽可能的快跑。模型检验  假设：D=

4、1000米，h=1.5米，w=0.50米，d=0.20米，I=2厘米/小时，最大行走速度为v=6米/秒，由此可得，你身上被淋的雨水的总量为C=2.041（升）（一立方米=1000升）。仔细分析，这是一个荒谬的结果。在2厘米/小时强度的降雨中只跑了167秒，身上却被淋了2升的雨水，这是不可思议的。因此，用上述模型描述雨中行走的人被雨水淋湿的状况是不符合实际情况的。按照建模的程序，我们需回到对问题所作的假设，进一步考察这些假设的合理性。不难发现“不考虑降雨的角度的影响”的假设6把问题过于简单化了。为此，我们来考虑降雨角度的影响（即取消假设6）。模型修改 假设雨滴下落的反方向与你前进的方向之间的夹角

5、为。这时仅仅用降雨强度已经不能确切地描述降雨的情况了。降雨强度受降雨速度的影响，但并不完全决定于降雨的速度，还决定于雨滴下落的密度，显然降雨速度越大、降雨密度越大，降雨强度也越大。降雨速度设为r（米/秒），降雨密度用降雨强度系数（在一定时刻，在单位空间内由雨滴所占据的空间的比例数）来表示，记为p。于是我们有I=pr，显然应有p1，当p=1时意味着倾盆大雨。 情形1   ：即迎着降雨方向行走，由经验可以知道，这时被淋湿的部分仅仅是人的顶部和前方。淋在身上的雨水将由这两部分组成。模型的建立与求解 首先考虑顶部被淋的雨水。顶部的面积是wd，雨滴下落速度的垂直分量为 。不难得到，在

6、时间 内顶部被淋的雨水总量是： 再考虑前面被淋的雨水。前方被淋的面积是wh，雨滴下落速度的水平分量（相对于你而言）为 。因此，前方被淋的雨水的总量为： 。 由上述分析，被淋的雨水总量为 显然，在降雨方向给定情况下，此时的最优行走策略是在雨中尽可能的快跑。模型检验 仍使用模型I中所使用的参数值，并假设降雨速度为r=4米/秒，容易计算得降雨强度系数为p=1.39×10-6。因此， 。 显然有 情形2   ：在这种情形下，雨滴将从后面向你身上落下。令 ，则 。 首先考虑 的情形，即行走的速度慢于雨滴下落的水平速度，此时雨将淋在你的背上。与情形I类似可以得到身体顶部被淋的

7、雨水总量为 ， 淋在背上的雨水总量为 于是，淋在全身的雨水的总量为 显然，被淋雨水总量仍是速度v的单调减少函数，而此时 ，故当 时，被淋雨水总量最少，即 。这意味着你刚好跟着雨滴向前走，所以只有身体顶部淋到雨；如果行走速度小于 ，则雨水将落在背上，从而使被淋的雨水总量增加。被淋雨总量决定于降雨的密度、身体的宽度和厚度及降雨角度。如果雨以 的角度落下，你应该以 的速度在雨中行走，被淋的雨水总量为C=0.24升。当 时，在雨中的行走速度快于雨滴下落的水平速度，这时你将不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。此时，全身被淋的雨水总量为 。综合上面的分析，得到的结论是： 1如果雨是迎着你前进的方向落下，这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑。 2如果雨是从你的背后落下，这时你应该控制在雨中行的。走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量。模型的评价：优点：1、在正确、清楚地分析了题意地基础上，建立了合理、科学的淋雨量计算型，2、建立的规划模型能与实际紧密联系，结合实际情况对问题进行求解，使得模型具有很好的通用性和推广性；3、对模型中涉及到的众多影响因素进行了量化分析，使得论文有说服力缺点：1、规划模型的约束条件有点简单；2、没有考虑3、没有很好地把握论文的重心，让人感觉论文有点散