2017高考数学(全国通用)冲刺985优等生拔高系列讲义—专治各种学霸不服--第六章不等式Word版含解析

1、第六章不等式问题一：含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题1不等式恒成立问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、 函数与方程等思想方法， 在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积 极的作用.近几年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分.解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：函数性质法；主参换位法；分离参数法；数形结合法；消元转化法.下面我就以近几年高考试题为例加以剖析.1.1函数性质法一、一次函数单调性法

2、给定一次函数y = f (x )= ax +b(a #0 ),若y = f (x )在m,M内恒有f ( x)a 0 ,则根据a 0a0,函数的图像(线段)(如右下图) 可得上述结论等价于(1)或(2) 0.可合并定成f m 0,f n 0.同理，若在f m :二 0,Im,n内恒有f(x)0,则有if n 0.f(： ) 0,f() : 0.f ：0,JJ f，0.f (x) 0在x , P上恒成立ub一一 0且40; (2) f(x) 0在xw R上恒成立 u a 0 且 A 0时，f (x)0在乂包0(,同上恒成立-k b. b . ： b ：-,u 2a 或 2a 或 2aJ(Ct)A

3、060J(P)A0.f (x) 0在x w 。，P 上恒成立U(2)当a0时，f(x)A0在xWa,P上恒成立m取值范围是()2.例2.已知不等式 mx +4mx -40 (注：若f(X)的最小值不存在，则 f(X)A 0恒成立二f(X)的下界大于0)； f(X 0 恒成立二f (X)max 0 (注：若f(X)的最大值不存在, 则f (x) 0,不等式f(x)至一2c恒成立，求c的取值范围.例 5. (08天津文 21)设函数 f (x) =x4+ax3+2x2+b(xW R),其中 a,bw R .(出)若对于任意的aw -2,2,不等式f(x”1在-1,1 上恒成立，求b的取值范围.(节

4、 选)例6. (09年全国卷II文21)设函数f (x) = gx3-(1 + a)x2 + 4ax + 24a ,其中常数a 1 .(II )若当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围.(节选)1. 2分离参数法极端化原则若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围.利用分离参数法来确定不等式f (x,九)至0 (xw D,九为实参数)恒成立中参数九的取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，即化为 g(九户f (x)(或g(九)w f (x)恒成立的形式；(2)求f (x )在xw D上的最大(或最小)值；(3)解不等式g(

5、九产f(x)max(或g5Af(x)min),得人的取值范围.适用题型：(1)参数与变量能分离；(2)函数的最值易求出.一 -x2 +2x. x M 0例7. (2013新课标卷I理11)已知函数f(x)=, ，若| f(x)尸ax,则a的Jn(x +1),xa 0取值范围是A.(-二，0 B.(-二，1 C .-2,1 D .-2,0例8. (07年山东卷文15)当xw (1,2)时，不等式x2 + mx+ 4 0,且f(x)在区间(0,1上单调递增，试用 a表示出b的取值范围.例10. (2010天津高考理16)设函数f(x)=x 3主参换位反客为主法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会

6、遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变 量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主元变-1,对任意xw |2 +oc I,一3fi4m2 f(x) E f (x 1)+4f (m)恒成立，则实数 m的取值范围是 m与参数变量的“地位”交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果.例 11. ( 07 辽宁卷文科 22)已知函数 f (x) = x39x2 cosct 十48xcosP 十18sin 4数形结合一一直观求解法 若所给不等式进行合理的变形化为f(x)g

7、(x)(或f (x)x2 -x-a+1对任意aw(0,+g)都成立，求实数x的取值范围.(节选)方法更显方便、快捷.例13.(07安徽理科3)若对任意xwR,不等式|x|至ax恒成立，则实数a的取值范围是( )(A) a -1(B)|a|1(C)|a|1(D) a 之12， 1) +例14.若不等式3x2 -loga x sin 2x(a 0且a*1)对于任意x e (0工都成立，求a的取值范 ，4围.l, 5消元转化法例16.已知f(x)是定义在-1 , 1上的奇函数，且f(1)=1 ,若m, n 勺 T,1, m+n。0时 f(m) +f (n) 0 ,若 f (x) k成立，则等价于在区

8、间D上f(x)k；max若在区间D上存在实数x使不等式f (x)k成立，则等价于在区间D上的f(x). k)在区间D上恒成立D D f (x 卜ku f (x ax k ),而含参不等式f (x )k (f (x )Ak )在区间D上能成立 二 至少存在一个实数x使不等式f (x )k )成立U Dnx| f (x)k#0U f(x)in k (U Dx f(x)k0U f(xaxAk).例17.若关于x的不等式x2-ax-a W-3的解集不是空集，则实数 a的取值范围 是.例18.已知函数f (x ) = ln x1ax2 2x(a =0瘠在单调递减区间，求 a的取值范围3不等式恰好成立问题

9、的处理方法2-x 2x a例19.已知f(x)=当xu1,Z), f(x顺值域是口,收)，试求实数a的值.x1 0例 20.已知 f(x) = x2+x, g(x) = ln(x+1)-a ,2若存在x 0,2,使得f(x) = g(x),求实数a的取值范围;若存在xw0,2,使得f(x)g(x),求实数a的取值范围;若对任意xw0,2,恒有f(x)g(x),求实数a的取值范围;若对任意为，*2亡0,2,恒有f(Xi)g(X2),求实数a的取值范围;若对任意X2 e 0,2,存在Xi e 0,2,使得f(Xi)g(X2),求实数a的取值范围;若对任意X2 W 0,2,存在Xi W 0,2,使得

10、f (Xi) = g(X2),求实数a的取值范围;若存在“公可。, ,使得f (Xi) r g(X2),求实数a的取值范围；若存在Xi，X2W0,2,使得f (Xi) = g(X2),求实数a的取值范围.【迁移应用】1.120i6届山东省枣庄市三中高三12月月考】若存在正数x使2x(xa) 1成立，则a的取值范围是()A. (-0, +*) B , (2, +*). (-1，二)2.12016届浙江省余姚中学高三上学期期中】设a 0,集合 B=xx2 2ax1 E0,a0.若 A0|B 中恰含有一个整数，则实数 a的取值范围是()A.0,3 ,43 4. 43C.、一一2x,x 04.设函数f

11、(x)=4, 一，若对任意给定的yw(2,y),都存在唯一的xwR,满足log2x,x . 02 2、一，.，一f(f(x) =2a y +ay ,则正实数a的最小值是(C.5.函数 f (a) =(3m1)a+b2m,当 mw0,1时,D. 4r b2 _ a，0Ef(a)w1恒成立，则b一a-的最ab大值是()A. 3 B15 C . 4 D41946.集合S=(x,y,z)x、y、zN*,且 xyz、yzx、zx0, y0 ,若2y+8x Am2 +2m x y恒成立，则实数m的取值范围是x, y满足9.12016届浙江省富阳市二中高三上学期第二次质量检测】若正实数x+2y+4=4xy

12、,且不等式(x+2y)a2+2a+2xy 34之0恒成立，则实数 a的取值范围 是.10 .若函数 f(x)=x3+3x对任意的 mw 2,2, f(mx 2) + f (x) c0恒成立，则 x W.11 .若函数f (x) = loga(x2ax+3)(a 0且a =1),满足对任意实数 x1、x2 ,当 ax2 ax1之一时，f(x1) f(x2) 0)上的最小值.(2)对一切xC (0,+ 8),2f(x) g(x)恒成立,求实数a的取值范围 求证：对一切 x (0,+ 8),都有 xlnx -x- .ex e15已知二次函数f (x ) = ax2 + x,若对于任意Xi,用w R,

13、恒有2f/x詈f (x1 )+f (x2)成立，不等式f(x)0的解集为A.求集合A;(2)设集合B=x|x + 4 0,b 0 ,且a +b =-，若a + b E m恒成立.2(1)求实数m的最小值；(2)若2|x-1| +|x巨a+b对任意的a,b恒成立，求实数x的取值范围.17 .已知函数f(x)=x-m,函数 g(x 尸 x 年(x(m2 -7m(1)若m=1,求不等式g(x心0的解集；(2)若对任意x产(-叫4 均存在x2三3,十/),使得f(x)g(x2 )成立，求实数m的取 值范围.x,x _ 118.已知函数 f (x)=i, g(x) = af (x)_ | x_2 |,

14、awR.,0 ; x ：； 1 x(i)当a=0时，若g(x) |x-1| +b对任意xw(0,+M)恒成立，求实数 b的取值范围;(n)当a=1时，求函数y=g(x)的最小值.问题二 线性规划中的参数问题简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题.而逆向求参数问题，是线性 规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值.类型一目标函数中含参数若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域， 确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标

15、函数求得参数的值.1.目标函数中x的系数为参数lx y - 2 _ 0【例1】【湖北省武汉市2015届高三9月调研测试7】x, y满足约束条件x-2y-20 ,2x-y 2 _0若z = y -ax取得最大值的最优解不唯一，则实数 a的值为（ ）A. 1或1B . 2或1 C . 2 或 1 D . 2或122【牛刀小试】【2016届湖南省常德市一中高三上第五次月考】已知 x, y满足约束条件x -y _ 0 x+y M2 ,若z = ax+y的最大值为4,则a=().y-0(A) 3(B) 2(C) -2(D) -32 .目标函数中y的系数为参数2x 3y-11 0 ）的最大x -y 2-0

16、,值为1,则a=.3 .目标函数中X,y的系数均含参数x .2 I，【例3】设x , y满足约束条件0,b 0)的取小值 y之x为2,则ab的最大值为 .3x-y-6 0,b 0)的取大值为12,则f十士的最小值 a bA.4.目标函数为非线性函数且含有参数x y 0(r 0跖经过区域D上的点，则r的取值范围是()A. 2.22.5 1B, 2、.2,3、.2 1C. 3,2,2,5 1 D. 0,2,2 一 2、.5,二【牛刀小试】【2016届吉林省吉林大学附中高三上第四次摸底】设二元一次不等式组x+2i-190-2第一 j14 WO,所表示的平面区域为M使函数y=ax(a 0, a w 1

17、)的图象过区域 M的a的取值范围是()(A) 1,3( B) 2 , W(C) 2,9(D)9，9类型二约束条件中含参数由于约束条件中存在参数，可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值.2 0,2x - y 0x y+120 ,若z = x2+y2的最大值为13,则k的值为()x 1,在约束条件 yEmx下，目标函数z = x + my的最大值大于2,则m的 x + y E1取值范围为().A. 1,1+72)B .(1+72,+天)C . (1,3) D . (3,y),、一 一 一 x , y a

18、, 一，一【牛刀小试】【2014新课标I高考】设 x, y满足约束条件x y ,且z = x + ay的最 x-y 三-1,小值为7,则a =(A) -5(B) 3(C) -5 或 3(D) 5 或-3【迁移应用】1.12016届河南省信阳高中高三上第八次大考】设 x y -6 0x, y满足不等式组2x-y-1 0 ,若3x- y -2 _ 0z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a的取值范围为A 1,2B . -2,1C3,-2 -3,12.12016届河北省衡水二中高三上学期期中考试】已知x, y满足约束条件x .1,I4、x + yE3, 右z=2x + y的取小值为1

19、 ,则a =()y -a(x-3)A. 1 B . 1 C . 1 D . 242x03.12016届甘肃省会宁县一中高三上第四次月考】已知由不等式y 之 0确定的平面y - kx 0，若mx - y 三 0z=2x -y的最大值为2,则实数m等于A 2 B 、一 1 C 、1 DX -15.12016届广西河池高中高三上第五次月考】已知a 0 , x, y满足约束条件x+y3 , j 之 a(x2),，一，11右z = 2x+y的取大值为一,则a =A. 146.12016届湖南省东部株洲二中六校高三x - a12月联考】实数x, y满足y之x(a 1),且z = 2x+y的最大值是最小值的

20、 4倍，则a的值是（）A. 2111127.若x y -2 _0x, y满足kx y+2之0且z=yx的最小值为一y之02,则k的值为（）1 B . -1 C . 2 D . -28.若x y .1,x, y满足约束条件|x-y之1,目标函数z=ax +2y仅在点（1 , 0）处取得最小值，则实 2x -y .2,数a的取值范围是(A) (42)(B) (-4,1)（C）（一二，_叽（2,二）(D)(-二T) U(1,二)9.设点（a,b）是区域内的随机点,2函数 f(x) = ax 4bx + 1 在区间1,g)上是增函数的概率为A. 1410.设z = x + y,其中实数lx 2y -0

21、x, y满足x - y w 00 y k,若z的最大值为12 ,则z的最小值为x-ky-20,v -1 _11.若实数x,y满足0,若使得、一取得最小值的解（x,y）有xx 6y-100.无穷多个，则k等于（）A. 1 B . 2 C .1.5 D . 3y - -1 12 .变量x, y满足约束条件(x-y22 ,若使z = ax + y取得最大值的最优解有无数个，3x y _14则实数a的取值集合是()A. 3,0B. 3, -1 C . 0,1 D . 4,0,12x-y 10,13 .设关于x, y的不等式组x+m02yo=2,求得m的取值范围是()x - 014.当实数x, y满足不

22、等式(y0 时，恒有ax + yW2成立，则实数a的取值集合是 x 2yM 2( )A. (-1,1B . (1,2)C , (0,1 D . (T15三个正数a, b, c满足a b + c 2a , bWa + cW2b,则b的取值范围是()a2 323A- -,- B 匚,2 C . 1,- D . 1,23 23216.函数y = f(x)为定义在 R上的减函数，函数 y = f(x-1)的图像关于点(1, 0)对称,x,y 满足不等式 f(x2 -2x) + f (2y-y2) 0 , M (1,2),N(x, y),。为坐标原点，则当T1WxW4时，OM ON的取值范围为()A.

23、12,-He) B . b,3】C. 3,12】 D . 10,12117.已知函数f(x)=x3+(1b)x2a(b3)x+b2的图像过原点，且在原点处的切线x ay 022的斜率是-3,则不等式组x a所确定的平面区域在圆 x2+y2=4内的面积为x -by - 0A.JTJT32x-y 2 _ 0,18.已知实数x, y满足不等式组J x + y-40,若目标函数z= y _ax取得最大值时的唯2x - y -5 . 0,一最优解是(1 , 3),则实数a的取值范围为()(A)a-l (B)0al (D)a1x .0,19 .已知x, y满足不等式组y0， 当3Ws5时，目标函数z =

24、3x + 2y的最大值的变 x y _s,y 2x4.化范围是()(A) 6,15(B) 7,15(C) 6,8(D) 7,820 .已知 ABC的顶点 A (3, 0), B (0, 1), C (1, 1), P (x, y)在 ABC内部(包括边界)，若目标函数z=更弛(aw0)取得最大值时的最优解有无穷多组，则点( a, b)的轨 c迹可能是()x-0,21.若关于x, y的不等式组kx+5,表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数k的取值范I 0 -x -2是.2x - y 2 - 023 .设实数x, y满足约束条件8x y 4E0,若目标函数z = abx+y ( a 0,b0)的

25、 x - 0,y -0%之1 _4一一_ y 01 .24 .【北东市西城区2014届局二一模（理）】右不等式组表木的平面区域是一个2x + y M 6 x + y 2ab; （2）若 a,bw R,则 abwa .b （当且仅 一 2当a =b时取“二”）.2. （1）若a A0,b A0,则ab之感;（2）若a 0,b 0,则a + b之2旅（当且仅当2a =b 时取“二”）；（3）若a0,b 0,则abj叱b：（当且仅当a = b时取“=”）.1 一13.若x 0,则x+至2 （当且仅当x = 1时取“=”）；若xc0,则x+- 0 ,则a +b22 （当且仅当 b a且+222或2+9

26、2 （当且仅当a = b时取“=”）.b a b aHBL . .22.25 .若 a,be r,则 |fb a +b （当且仅当 a =b 时取“=）.物22II 拓展221. 一个重要的不等式链： 二 _ zab a-b 0,b 0)图象及性质 xb 0 )图象如右图所示:b(2)函数 f(x) = ax+- (a、b0)性质: x值域：-：，-2京 U 2 , ab, +0 );单调递增区间:注：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”；(2)求最值的条件“一正，二定，三相等”；(3)均值定理在

27、求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面 有广泛的应用.III基本不等式的应用一、利用基本不等式求最值利用基本不等式求函数最值时，应注意三个条件：“一正，二定，三相等”，这三个条件中，以定值为本.因为在一定限制条件下，某些代数式需经过一定的变式处理，才可利用基本不等式求得最值，而怎样变式，完全取决于定值的作用.主要有两种类型：一类是中条件给出定值式，一类是条件中无定值式.类型一给出定值【例1】【2016届重庆市南开中学高三 12月月考】已知a,bw R,且a +2b = 4,则J3a +3b 的最小值为（）A. 2 百 B . 6 C . 3 第 D . 1222【牛刀

28、小试】设 x, y是正实数，且x + y =1 ,则 +一的最小值是 .x 2 y 1类型二未知定值.圮、人”211 1 La2+b2【例2】已知一次不等式 ax+2x + b0的解集为 x x #且a a b ,则的a aja-b最小值为A. 1 B . 72C . 2 D , 272【牛刀小试】【2010江苏高考第14题】将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的2直线剪成两块，其中一块是梯形，记 S =（梯,勺周）,则S的最小值是 .梯形的面积技巧一：凑项【例3】已知x 2,(a+1 Xb+2) = 16 ,则 a+ b 的最小值是()A. 4 B . 5 C . 6 D .7技巧二：

29、凑系数【例4】 当0cx -1)的值域.【牛刀小试】【2016届江西省南昌市二中高三上第四次考试】已知a, b都是负实数，则a十-b-的最小值是()a 2b a bA. 5 B . 2 (、叵 T) C , 272 -1 D . 2 (Ts + 1)6技巧四：换元上述例5也可以用换元法求解.【牛刀小试】已知 a, b为正实数,12b+ ab+a=30,求y= 的取小值. ab技巧五：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错.19【例6】已知x 0, y 0 ,且一 + = 1 ,求x + y的最小值.x y【牛刀小试】【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考

30、】若圆x2 + y2-2x-4y-1=0存在两点关于直线2ax by 2 =0 (a . 0,b . 0)对称，则A. 5 B . 7 C . 272 D . 9技巧六：取平方【例7】已知x, y为正实数，3x+2y=10,求函数 W= 3x +板 的最值.【牛刀小试】求函数y =以-1 +J52xg x 0, y a 0 , x+2y+2xy =8,则x+ 2y的最小值为()A. 3 B . 4 C .- D .22【例9】【2011浙江高考题理16】设x V为实数，若/ 22_则2Y+ V的最大值x, y4x y xy -1 2x y22【牛刀小试】【2011浙江局考题又16】若实数x,y

31、满足x +y +xy = 1 ,则x + y的最大值是.【牛刀小试】若正数 a,b满足(a3)(b2)=6,则ab的最小值为 .技巧八：添加参数a2 +b2 +c2【例10若已知a,b,c0,则一b的最小值为ab 2bc【牛刀小试】设 x,y,z,w是不全为零的实数，求2xy +22yz : zw 2的最大值.x y - z w【牛刀小试】 设x,y,z是正实数，求10x2 10y2z2的最小值.xy yz zx:利用基本不等式证明不等式转化为“积式”或将“积式”转化为基本不等式a_tb Jab (a 0 ,b 0 )具有将“和式”“和式”的放缩功能，并且有很多不同的变形，如:J 22a +b

32、 2, 11一+ a ba? 2(ab 0)等，所以利用基本不2等式及其变式证明不等式既方便又具有很大的技巧.类型一轮换对称型【例11】设 a 0 ,b 0 ,c 0 ,求证:22a b十 +之 a+b+c. b c a类型二用“1”代换型【例12】已知a 0 ,b 0 ,且a+b=1,求证:111【牛刀小试】 已知a 0 ,b 0 ,c 0 ,且a + b+ c=1.求证： 一一1 l 一一1 l 一一198 . abc11 -【例 13若 a 之一一，b 之且 a+b=1,求证：V2a+1 +V2b+1 0, y 0且一十一 =1,求使不等式x + y之m恒成立白实数 m的取值范围. x

33、y【牛刀小试】若x +2，Xy b 1, P = vig a lg b,Q =1 (1g a +lg b), R = lg(-b),则 P,Q, R 的大 22小关系是.应用五：利用基本不等式处理实际问题【例16】有一边长为a,b (a2b)的长方形纸板，在四个角各裁出一个大小相同的正方形，把四边折起做成一个无盖的盒子，要使盒子的容积最大，问裁去的正方形的边长应为多少？【迁移运用】121.12016届浙江省慈溪中学高三上学期期中】已知正实数a, b满足,+4=3,则a b（a+1b+2）的最小值是（A.163499212016届河南省郑州市一中高三上学期联考】已知x0,y 0,lg2x + lg 8y =lg2,则11 一十的最小值是（）x 3yA. 4B . 3 C . 2 D . 13.12016届河南省郑州市一中高三上学期联考】22则m +的最小值为（）m 2 n 1已知实数m,n,若m 0, n之0,且m + n = 1,A.154.12016届河北省正定中学高三上学期期中】设xy的最小值为A. 4B. 4 显 C33 一x, y均为正实数，且一十一=1,则2 x 2 y9D. 165.12016届辽宁省抚顺市一中高三12月月考】若正数x, y ,满足3x+y = 5xy ,贝U 4x + 3y的最小值是（）A. 2B. 3Cr a2