2018年中考数学坐标系压轴题解题技巧分类总结

1、2018 年中考数学坐标系压轴题解题技巧分类总结【坐标系压轴专题】坐标系中的问题，一般出在压轴题，不是压轴题也会有很大的难度，针对此便有了这个专题【 1 】坐标系问题的基本运算实用度：如果想要熟练地解坐标系中的问题，先掌握下列的几个重要点（看不清放大看）前三点、最后一点稍难，有口诀：两点间距离公式：横坐标相减的平方加纵坐标相减的平方开根号斜率 k： 竖直高度比水平宽度中点坐标公式：横坐标的平均数，纵坐标的平均数平移函数图像：左增右减，上加下减1 】 （原创）难度：答案：【 2 】等腰三角形、直角三角形存在性基础做起，实用性：关键词：等腰两圆一线，直角两线一圆这两点放在一起是为了对比，它们都需要

2、分类讨论。什么叫做两圆一线、两线一圆呢？举个例子，如图，AB 线段一条，在下面那根直线上找P 和 Q ，使得(1.) ABP 是等腰三角形(2.) ABQ 是直角三角形首先 （1.），有三种可能（AB=AP ， AB=BP ， AP=BP ） ，两圆：以A为圆心，AB 为半径画圆，与直线交于P1 ，还有一个圆是以B 为圆心，AB 为半径画圆与直线交于P2 和 P3。最后一线： AB 的垂直平分线与直线交于P4 ， P5（有时不一定5 个，视情况而定）（2.），同样三种，两线：分别以A、 B 作 AB 的垂线分别交直线于Q1 ， Q2，一圆：以AB 为直径作圆，由于直径所对圆周角是直角，所以与直

3、线交点为Q3 Q4 （个数视情况而定）已经找到了，怎么求呢？等腰的话最暴力的算法就是设出未知点坐标，把三角形三段长都用两点间距离公式表达出来， 最后一个一个等起来解方程即可。当然这是无可奈何、形状实在不好找的时候的迫不得已办法，一般他会给你已知两点，在抛物线对称轴上或x 轴上或 y 轴上找，这样就有一些几何特征可以利用。当然暴力算法某些时候也是必须要用的。直角，两线的好找（k1k2 乘积为 -1 可以，做垂直相似也可以），最后一圆略麻烦，这就要用到模型：一线三等角，做垂直，如图。 左右两个三角形相似，然后设线段长，表达， 相似比，解方程即可。一般是一元二次方程，所以解出一个另一个就自然知道。注

4、意：这里是非常规做法，就是妙招，再好算或者你对自己计算有信心的情况下，可以用Q 的坐标，用两点间距离公式来做。(2.)P 的坐标为(3,3)或 (6,3)或 (3 2,3)或( 3 2,3)1515(3.) 1或-2或或223】铅直高模型（原创）难度：答案：(1.) y x22x 3实用度： 平面直角坐标系里，随机的三个点，围成一个三角形，你能求出这个三角形的面积吗？这种题很容易，简单几个字：水平宽乘铅直高好的我们先做辅助线，作CD x 轴交AB（或它的延长线）于 D，那么不论这个三角形是钝角三角形还是锐角三角形还是直角三角形，它的面积总会等于图上那玩意。其中，因为CD 是作 x 轴的垂线做出

5、来的，所以叫做铅直高 ，铅直高与哪个边相交，那么这条边（注意是线段，如图的AB ）两个端点的水平距离为水平宽 （事实上就是右边端点的横坐标减去左边端点的横坐标） ，两个的乘积的二分之一就是面积，从图上直观地看出，面积是4怎么考？一般让你求一个关于面积的函数解析式，然后求最大值。怎么求？C 的相同。 所以 CD 的长度就有，拿 m 3 （m2 2m 3） 就是纵坐标相减（注意：被减数一定要是位于上方的点的纵坐标。）这种题近几年考了很多，都快考烂了，所以中考绝不可能出这样常规的题，1 】 (原创)难度：答案：2(1.) y x 6x 52(2.)提示：过D 作 DE 的垂线交CE 于 G，利用竖直

6、高解。k m 5m5 15125(3.)提示：求平行四边形面积最大值即求BCD 面积最大值，D( ， -)， S244(4.)提示：作垂直，用相似。P(2,3)【 4.1 】四边形存在性问题 平行四边形实用度：四边形存在性近年来经常考，所以这部分要重视，只是平行四边形考得多了，题型会有创新，因此先打好常规题的基础：一般平行四边形最普通的出题方式如下：普通法函数给出，抛物线交直线于A、B，在抛物线和直线上分别找E、 F，使得C、 D、 F、 E 为 顶点的四边形是平行四边形。这种题十分简单，用上次讲的铅直高表达EF 和 CD 一等起来就是【以EF 、 CD 为对边的平行四边形】注意还没有完，还要

7、讨论对角线的情况，这要取CD 中点，设坐标转化，然后代入函数求解。然后稍微复杂的：作高法这个讲起来就复杂点了，如图函数有，B 的坐标看网格，在抛物线、x 轴上找P、 Q，使以A、 B、 P、 Q 四点为顶点的四么时候相等？P 到 x 轴距离和B 到 x 轴的距离相等，如图，作PM x 轴， BN x 轴， （图上没画）PM=BN=3 时，就会有PQM BAN ，这样 PQ=AB ，就OK。也就是说，P 的纵坐标是± 3 时，因为抛物线有了，解方程即可得到P 的坐标，因为全等，AN=QM ，所以 Q的坐标也有了（？，0） 。另外就是对角线的情况，同样找中点转换。变式：万一题目条件不变，

8、Q 改成在对称轴或者某常函数上找要怎么办？事实上是一样的：只是歪了点而已，记住两边都有，别只找到一边不找另一边。答案：(1.)3(2.) E(4,3)(3.) P(1337 233)或 (917317【 4.2】四边形存在性 菱形与等腰梯形实用度：首先从菱形开始说起。事实上，菱形的存在性就相当于变向的找等腰三角形，就是说找菱形就按照找等腰的那个套路找，不必讲太多，充分利用四边相等，且对边平行的性质，还有对角线互相垂直且平分的性质，马上就能找到。然后等腰梯形有点难搞。好的我们拿镇楼图说话：原题是我改编的，其中抛物线：y=-x2+2x+3 （你会发现这个函数被用烂了）E 是 AC 上方抛物线上的动

9、点，作ED x 轴交 AC 于 D，当四边形DECO 为等腰梯形时，求 E 的坐标。这种题的话先说常规做法，作EG y 轴， DH y 轴，利用CG=DH 来解，就是拿CO-DE（ DE 的长度可以表示）再除以2，等于OH 来解方程。这样会很麻烦所以= =妙招解法：设 CO 的中点是G， DE 的中点是H，当GH y 轴时，就是等腰梯形，理由很简单，这个时候 GH 是垂直平分CO 的，由对称性就能秒杀。D、 E 坐标可表达，其中点H 用中点坐标公式表达，表达出 H 的纵坐标，和G 的纵坐标（就是3/2） 相等解方程就秒杀。总结一下，看到有等腰的什么东西可以联想到垂直平分线，就好解了。【例题 1

10、 】（改编）难度：2】(原创)难度：271】 (1.)抛物线的表达式为y x2 x 3，直线的表达式为y x 32327(2.)提示：水平宽×铅直高÷ 2，关键在于哪一段。S - m2 m249339(3.)提示：分类讨论，画图求解。m 933 或 9 - 2422】 (1.) C( 3,3) yx2 2 3x D( 3,1)(2.)提示：过F 作 FG OA 于 G，通过FGA 与某一个三角形相似。OE 6 3 2 21434(3.)提示：根据对称性做，P 是 BC 与抛物线的交点。P(4 3 , 4)33【 5】坐标系轴对称综合问题实用度：坐标系中的轴对称是今年考的比较

11、多的问题关注下面几点：角相等，边相等的转化并且还要和相似全等连用，如：如图，函数有，直线CD 下方的抛物线上是否存在A， x 轴上存在B，使得A、 B 关于 CD轴对称【 5】坐标系轴对称综合问题实用度：坐标系中的轴对称是今年考的比较多的问题关注下面几点：角相等，边相等的转化并且还要和相似全等连用，如：如图，函数有，直线CD 下方的抛物线上是否存在A， x 轴上存在B，使得A、 B 关于 CD轴对称，一题解：首先第一种解法，我自己的解法妙解，来自孤独求解186(改正一下，AE=8a，非 AF=8a)多种解法，形态不一，不过在这里要记住，因为对称可能带来角平分线，再加上平行的话就很有可能会出现等

12、腰，具体见模型专题。【例题 1 】 ( 2014 河南)答案： 【 1 】 (1.) y x2 4x 5169(2.)提示：不要忘了绝对值，m 2或21 11(3.)提示：角平分线+平行=等腰，P坐标为 (,)或 (4,5)或 (311,2 11 3)24【 6】相切圆问题实用度：这种题型不出不知道一出吓一跳，很多人看到圆和抛物线摆在一起就感到绝望了，一堆曲线怎么破？事实上圆只是一个条件的载体，不会考的很深，而相切问题算比较难的了。例如： 没错还是这个函数，在对称轴上找一点E， 使得以 E 为圆心的圆与x 轴和直线AB 同 时相切。这个 E 要怎么找？首先按照这个结构来说，是设直线AB 与对称

13、轴交于D，设EF 的长，然后利用相似(DEF DCA)得出E 的坐标。虽然照这个模型是这么做的，老师也是这么讲的，但是这样的话要讨论坐标的正负问题。妙解：我们知道内心(内切圆圆心)是角平分线交点，做这种题的时候同样可以利用这一点，我们可以求出CAB 平分线的解析式，再求对称轴交点即可。理论依据就是角平分线上的点到角两边的距离相等。那么现在主要问题是角平分线的解析式怎么求：在 A 的右方截取AM=AB ，连接BM，取BM 中点G，连接AG，直线 AG 与对称轴交于E等腰三角形三线合一+中点坐标公式搞定AG 函数解析式是个奇怪的东西，无所谓。 不过要注意的是这只求出来1 个， 还有上面一个，按照同

14、样的求法太麻烦，可以用AG AE (两个角平分线的产物)再用个射影定理。在你觉得计算量不会很大的时候可以用这个，比如说斜边不带根号的时候，或者其他好算的时候。【例题1 】 ( 2015 深圳)难度：答案： 【 1 】 (1.) y x2 2x 3(2.)提示：说得太直接，话说我押题押得真准别说没用的。 P( 1, 5 1)或 ( 1,5 1)137 3 37 15(3.)提示：作BC 的平行线，要让高是1.5 倍。 F( ,)22【 7 】图像平移问题实用度：平移大家都懂，平移后函数的表达式几个字概括 上加下减，左增右减即使知道这个口诀，你知道怎么做吗首先：交点问题，问和直线有几个交点, 设出

15、函数表达式，算(判别式)即可，注意说的是直线还是线段，如是线段的话要多讨论一步。其次：斜向平移问题。比如说：如图，函数有，A 是抛物线顶点且在直线上，将抛物线沿直线平移，A 的对应点为B， AB=5 时，求平移后抛物线。所以说斜着平移就要设坐标，配顶点式。三角函数综合：还用上面那个图，设原抛物线与y 轴交于C，则当tan BCO=1 时，求抛物线解析式。照样设坐标，通过三角函数转换解出B 的坐标，于是平移后抛物线解析式就有了。【例题 1 】 ( 2014 深圳)难度：答案： 【 1 】 (1.) y x2 4x 41(2.)提示：设出顶点坐标，表达F 的坐标，作EG y轴，利用射影定理。E(

16、2 ,3)(3.)提示：表达面积，注意需要分类讨论，F(0, 60) 或 (0,5)或 (0,3)【 8】相似三角形存在性问题使用度：相似三角形近几年来考的貌似比较少，可是这还是很重要的。一般的相似问题都是直角三角形的相似，这是比较简单的。然后常考的就是钝角三角形的相似，锐角比较少考。相似问题的关键在于寻找对应关系，合理的分类讨论，如：函数： y=x2-4x+3 ， D 是顶点，E 是 x 轴上方抛物线上的点，作EF x轴于F，若EFA 与EF ： AF=3 ： 1 ，列方程求出m。别忘了E 可以在右边也可以在左边。相似三角形的存在性不难，就是相似比列方程。但要记住一句话：没有相等角的一定不相

17、似，有相等角的却不一定相似。意思是相似三角形的前提是要有相等的角，在这前提下才能用相似【例题 1 】 （原创）难度：12答案： 【 1 】 (1.) y 1 x2 2 x 133OQ DQ3 21(2.)提示：， 则要OFDQOD， 记住可用韦达定理简单运算。P( ,)OFOD4 16提示：猜测特殊位置，猜P 是顶点时，可通过设坐标求证。具体证明略。【 9】等腰直角三角形的存在性实用度：一般这种题比较少考，但是貌似作为一个比较基础、而比较有创新意识的题型，不讲不行。事实上这个很简单：记得我们讲过的弦图吗？这就是要用弦图的。例如：函数如下，在平面内找一点D，使ABD 是等腰直角三角形。A 的坐标

18、是(-3,0) ， B 是 (0,-1)做这种题，有等腰直角或正方形的话，首先考虑弦图，故做出弦图。然后设DE=x ，推出BC=x ， CD=x+1 ，所以 AE=x+1 ，所以就会有x+x+1=3 ， x=1 所以 D 的坐标就有了。是不是很简单？来试试身手！【例题 1 】 ( 2014 临沂)难度：答案： 【 1 】 (1.) y x2 -135(2.)提示：很多种求法，吧里也有很多可参考的，可用铅直高做。距离h5(3.)提示：同时考察平移、等腰直角三角形。注意平移时CD 的长以及相对位置不变。(即C、 D 的横坐标、纵坐标相差不变)G(0,4)或 (0,9)【 10】角度存在性实用度：角

19、度的存在性比较经典，也是比较新颖的题，不出不知道，一出吓一跳。举个例子：如图，函数已有，在x 轴上找一点D，使得ACO= DCB。求 D 的坐标先观察图形，猜测会有两个D ，一个在B 左侧，一个在右侧，由角度相等证得ACD=4°5 。有 45° 先联想到弦图，故作等腰直角三角形ACE ， EF x 轴， 则 AEF CAO ， 然后得到E的坐标是(3,1)， 因为 C 的坐标已知，所以直线CE 的表达式可以求出，从而得出D 的坐标。另一边的怎么办？这要利用前面求得的D 的坐标，观察图形可知CB 是角平分线，根据对称性， 可以把BCD1 翻折到BCF 的位置，而且 F 正好在

20、 CD2 上， 以此可以求出F 的坐标，然后算直线求出D2 的坐标。这种题要观察周围的等量关系，常常需要借助全等来解决。【例题 1 】 (改编)难度：答案： 【 1 】 (1.) yx2 - 3x3 45(2.)提示：根据对称性，可知BE 与 y轴交点坐标为(0,3)。E( ,)4 1615(3.)提示：根据计算得到D 的坐标， 然后分 M 在 y 轴左侧、 右侧讨论。M (-1,4) 或 ( ,)2439或(,)24【1】新型最值问题(注： “”为补充，原帖中没有)一种新型的最值问题，用那套模型是否能够搞定呢？注意：请了解模型专题中的最值问题及第一反应专题中的路径问题再加以了解换表不换里，所

21、有最值的思想都是一样的。只是这里要绕一些弯路。【例题 1 】虽然你看到“和最小 ”，却找不到作对称的方法，因为作对称一定要有直线。遇到这样的题，不妨设B 的运动路径为l，由抛物线，以求得B 的坐标，另外便是有一种叫做焦点准线的东西，高中的东西，当然它会给你一个材料理解，具体是什么自行百度。2 】 (改编)(1.)证明用两点距离公式证明。(2.)连接PC，由(1.)可知 h1+h2 即为 CP+CA ，故求 CP+CA 的最小值，P、 C、 A 共线时最小，最小值为6【练习 1 】 (原创)答案： 【 1 】 (1.) b -22(2.)提示：由于平行，AED 、 ADF 面积相等。S m2 5提示：设出直线EF 的表达