有理数及其运算知识点及练习

1、有理数及其运算知识点及练习一对一授课讲义授课科目 学生姓名授课教师授课时间授课内容 有理数及其运算1基础知识2题型讲解知识点1：有理数的概念及其分类（1） 整数可以分为正整数，零，负整数（2） 分数可以分为正分数和负分数（3） 整数和分数统称为有理数例1.把下列各数填入相应的大括号内,1,-,-126,0,-12,+729,-628,-3,3. ,（1）正整数集合：（ ）（2）负分数集合：（ ）（3）整数集合：（ ）（4）非负数集合：（ ）知识点2：数轴(1)数轴的 三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。(2)任何一个有理数，都可以用数轴上的 一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有

2、的点都表示有理数）(3)如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（0的 相反数是0）(4)在数轴上，表示互为相反数的 两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。(5)数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。例1.如果数和在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（）（）（）（）例2.已知a是最小的正整数，b的相反数还是它本身，c比最大的负整数大3，计算（2a+3c）b的值知识点3：绝对值1. 绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。2. 正数的绝对值是它本身

3、；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。0-1-2-3123越来越大 或 3.绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等；任何数的绝对值总是非负数，即|a|04.比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下：先求出两个数负数的绝对值；比较两个绝对值的大小；根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。5.绝对值的性质：对任何有理数a，都有|a|0；若|a|=0，则|a|=0，反之亦然；若|a|=b，则a=±b；对任何有理数a,都有|a|=|-a|例1.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的

4、结果为（ ）例2.绝对值最小的数是（ ）例3.=（ ）例4.若，则a=（ ）例5.已知的值。例6.已知x=8，y=-4，求的值知识点4：有理数的加法1 有理数加法法则： 同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。一个数同0相加，仍得这个数。2 加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：互为相反的两个数，可以先相加；符号相同的数，可以先相加；分母相同的数，可以先相加；几个数相加能得到整数，可以先相加。例1.下列结论不正确的是（ ）A.若a0，

5、b0，则a+b0 B.若a0，b0，则a+b0C.若a0，b0，则，则a+b0 D.若a0，b0，且，则a+b0例2.已知a的相反数是，b的绝对值为4，c是最大的非正数，求a+b+c的值。例3.已知=5，=6，且ab，求a+b的值知识点5：有理数的减法1 有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。有理数减法运算时注意两“变”：改变运算符号；改变减数的性质符号（变为相反数）有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。例1.若=0，则( )A x=y Bx=-y Cx=y=0 Dx=y或x=-y例2. =5，=8且=-（a+b）求a-b的值例

6、3.思考题已知a，b，c都是有理数，且满足，求代数式的值。知识点6：有理数的混合运算有理数的加减法混合运算的 步骤：写成省略加号的代数和。在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。（注意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相数。）例1.已知=3，=1，且，求a-b+c的值例2.若数轴上的三个点A，B，C表示的数分别为a，b，c且点c在点A，B，之间，试说明知识点7：有理数的乘法有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0。如果两个数互为倒数

7、，则它们的乘积为1。2 乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。有理数乘法运算步骤：先确定积的符号；求出各因数的绝对值的积。乘积为1的两个有理数互为倒数。注意：零没有倒数求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。例1.已知a与b互为相反数，x与y互为倒数，c的绝对值等于2，求的值例2.已知：a与b互为相反数，x与y互为倒数，=5，求：m（a+b）+xy-2m知识点8：有理数的除法有理数除法法则： 两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0的 数都得0。0不可作为除数，否则无意义。例1.已知a，b

8、互为相反数，c，d互为倒数，例2.用字母x，y，z表示任一数，若0，0，则（ ）0例3.已知非零的有理数a，b，c，满足（ ）指数底数幂知识点9：有理数的乘方1 有理数的 乘方 注意：一个数可以看作是本身的 一次方，如5=51；当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。乘方的运算性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；任何数的偶数次幂都是非负数；1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0；-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。例1.（1）已知：的值（2）已知，y的平方等于16，求的值例2.若，

9、求代数式5x+4y-2a的值知识点10：有理数的混合运算及科学记数法有理数混合运算法则：先算乘方,再算乘除,最后算加减。如果有括号,先算括号里面的 。科学记数法：一般地，一个大于10的 数可以表示成a×10n的形式，其中1a<10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。例1.（1）（-10（2）（3）例2.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的值例3.已知的值例4.若（a+1）的值例5.用科学记数法表示下列各数（1）579 900 000 （2）5 900 000 000（3）350 000 000 （4） 005 133随堂练习1.把下列各数填入分别填在相应的大括号内1

10、,-,+1008,0,-9,28正整数集合：（ ）负整数集合：（ ）正分数集合：（ ）负分数集合：（ ）2.在数轴上距离原点为2的点所对应的数为（ ），它们互为（ ）3.已知m与n互为倒数，a与b互为相反数，c的绝对值为3，求amn-5c+b的值4.（1）-7×(2)-1(3)-5.用科学记数法表示下列各数（1）3 690 000 （2） （3）300 000 0004课后作业1.把下列各数填到相应的大括号里-1， ， +72， 0， ， ， -12， ， 26， ， ， .整数集合： 正数集合： 负数集合： 非负整数集合： 自然数集合： 正分数集合： 负整数集合： 2.的相反数大于本身，的相反数等于本身，的相反数小于本身 3.如图，是数轴的是（） （） （）（）（）4.如果数和在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（）（）（）（）（）5.如果，那么是，如果，那么是6.若，则；若，则7.设，是的相反数，则的大小关系是（）（） （） （） （） 8.若一个数的绝对值是，且在数轴上的位置如图所示，试求的相反数9.若，给出下面4个结论：；其中不正确的有 10.若，则 1；若，则 1；若，则 ；若，则 11.已知，且有理数在数轴上的位置如图所示，计算的值12.已知，且，求的值13.若则14.（1）若，则0；（2）若