第八讲平面场

1、第三节第三节 平面场平面场1、平面场的描述、平面场的描述定义定义：空间内的所有矢量都分布于二维平面上的物理场就称为平面场。若场的分布与时间有关，就称为时变场时变场，否则称为非时变场。例如：无限长通电直导线所形成的磁场，无限长带电直导线形成的电场，无限长直圆柱体在流体中匀速运动时产生的流速场等等。2、复位势、复位势以平面电场为例，在二维负平面，电场分布可以表示为：xyEEiE对于静电场来说：0, /rotEEdivEE 由此得：0,yyxxEEEExyxy若挖去电荷源，则在场区有：0,0yyxxEEEExyxy若定义：,xyyxEEiEEEiE %显然有：0,0EE %称 为E的共轭场，且有：0

2、 xyyxE EE EE E rr%E%且有：( ,)( ,)( ,)( ,)( ,)( ,)yxxyEEiEU x yiU x yU x yxyEEiEV x yiV x yV x yxy %很显然，静电场为保守场，若定义域为单连通区域单连通区域，则有：00 xyyxE dlE dxE dyE dlE dxE dy%蜒蜒由此可以引入标量势函数：00( ,)( ,)zyxzzxyzU x yE dxE dyV x yE dxE dy 由电场及其共轭场的无源性有：22( , )0( , )0EU x yEV x y %所以，势函数为调和函数，且满足C-R条件，由此可以构造一复变解析函数(复位势)

3、：( )( ,)( ,)W zU x yiV x y0( ,)( ,)( )limzU x yi V x yWzz 而：0limzUUVVxyixiyxyxyz 0limzVVVVxyixiyyxxyz ( )yxVVWziEiEyx 作后有：由此得：( )xyEEiEiWz所以复位势与平面场函数之间的关系为：00( , )( , )( )zyxzzxyzyxU x yE dxE dyV x yE dxE dyVVUUWziiEiEyxxy 由此可以看出，若在单连通区域单连通区域给定一复变解析函数，则必有一平面保守场与之对应；同样在单连通区域给定一无源无源的保守场，则必有一复变解析函数与之对应

4、。例1、求 所表示的平面场。2( )W zz解：首先：显然有：222( )2( )222W zzxyxyiWzzxyi22( ,)( 2 , 2 )( ,)( ,)2E x yyxU x yxyV x yxy 电力线方程为：22( , )U x yxyC等势线为：( , )2V x yxyC例2、求 所表示的平面场。( )W zz解：首先：( )W zUiVz所以：222UVUVixiy由此得：222UVxUVy场线方程为： ，即：( , )U x yC2224yCCx等势线方程为： ，即：( , )V x yC2224yCCx例3、求 所表示的平面场。1( )lnW ziz解：首先：21( )lnln ln( )/() /W ziizzirWzizyixr 由此得：2( ,)( ,)ln,/U x yV x yrEx yr 场线方程为： ，即：( , )U x yCC等势线方程为： ，即：( , )V x yCrC例4、分别在点z1,z2处放置两点电荷q,-q，求位势。解：根据例3，在空间中任意一点 放置一点电荷q，则复位势为：1( )ln2qW ziz则放置两点