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文档简介
1、第三节第三节 平面场平面场1、平面场的描述、平面场的描述定义定义:空间内的所有矢量都分布于二维平面上的物理场就称为平面场。若场的分布与时间有关,就称为时变场时变场,否则称为非时变场。例如:无限长通电直导线所形成的磁场,无限长带电直导线形成的电场,无限长直圆柱体在流体中匀速运动时产生的流速场等等。2、复位势、复位势以平面电场为例,在二维负平面,电场分布可以表示为:xyEEiE对于静电场来说:0, /rotEEdivEE 由此得:0,yyxxEEEExyxy若挖去电荷源,则在场区有:0,0yyxxEEEExyxy若定义:,xyyxEEiEEEiE %显然有:0,0EE %称 为E的共轭场,且有:0
2、 xyyxE EE EE E rr%E%且有:( ,)( ,)( ,)( ,)( ,)( ,)yxxyEEiEU x yiU x yU x yxyEEiEV x yiV x yV x yxy %很显然,静电场为保守场,若定义域为单连通区域单连通区域,则有:00 xyyxE dlE dxE dyE dlE dxE dy%蜒蜒由此可以引入标量势函数:00( ,)( ,)zyxzzxyzU x yE dxE dyV x yE dxE dy 由电场及其共轭场的无源性有:22( , )0( , )0EU x yEV x y %所以,势函数为调和函数,且满足C-R条件,由此可以构造一复变解析函数(复位势)
3、:( )( ,)( ,)W zU x yiV x y0( ,)( ,)( )limzU x yi V x yWzz 而:0limzUUVVxyixiyxyxyz 0limzVVVVxyixiyyxxyz ( )yxVVWziEiEyx 作后有:由此得:( )xyEEiEiWz所以复位势与平面场函数之间的关系为:00( , )( , )( )zyxzzxyzyxU x yE dxE dyV x yE dxE dyVVUUWziiEiEyxxy 由此可以看出,若在单连通区域单连通区域给定一复变解析函数,则必有一平面保守场与之对应;同样在单连通区域给定一无源无源的保守场,则必有一复变解析函数与之对应
4、。例1、求 所表示的平面场。2( )W zz解:首先:显然有:222( )2( )222W zzxyxyiWzzxyi22( ,)( 2 , 2 )( ,)( ,)2E x yyxU x yxyV x yxy 电力线方程为:22( , )U x yxyC等势线为:( , )2V x yxyC例2、求 所表示的平面场。( )W zz解:首先:( )W zUiVz所以:222UVUVixiy由此得:222UVxUVy场线方程为: ,即:( , )U x yC2224yCCx等势线方程为: ,即:( , )V x yC2224yCCx例3、求 所表示的平面场。1( )lnW ziz解:首先:21( )lnln ln( )/() /W ziizzirWzizyixr 由此得:2( ,)( ,)ln,/U x yV x yrEx yr 场线方程为: ,即:( , )U x yCC等势线方程为: ,即:( , )V x yCrC例4、分别在点z1,z2处放置两点电荷q,-q,求位势。解:根据例3,在空间中任意一点 放置一点电荷q,则复位势为:1( )ln2qW ziz则放置两点
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