2020-2021重庆备战中考数学直角三角形的边角关系培优易错试卷练习含答案

1、培优易错试卷练习(含答案)AB=10cm,BC=8cm,OD垂1cm/s；同时，点Q从点D出PEGO的面积最大？若存在，求出tt,使OHOQ?若存在，求出t(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使四边形的值；若不存在，请说明理由；(4)连接OE,OQ,在运动过程中，是否存在某一时刻SI边形PEGO取得最大值；(4)t时,53t2815t856,(0t5)；(3)t一时,2OEOQ.【解析】【分析】(1)当点E在/BAC的平分线上时，因为即可解决问题.(2)根据S四边形ope(=Saoeg+Saope=Saoeg+(3)利用二次函数的性质解决问题即可.EP±AB,EC±AC

2、,可得PE=EC由此构建方程(&OPC+宇PCE-SxOE。构建函数关系式即可.ECGQ(4)证明/EOC=ZQOG,可得tan/EOC=ta也QOG,推出Q由此构建方程即OCOG可解决问题.【详解】(1)在RtABC中，./ACB=90,AB=10cm,BC=8cm,AC=J10282=6(cm),OD垂直平分线段AC,.OC=OA=3(cm),/DOC=90；1.CD/AB,2020-2021重庆备战中考数学直角三角形的边角关系一、直角三角形的边角关系1.已知：如图，在四边形ABCD中，AB/CD,/ACB=90；直平分AC.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为发，沿DC方向

3、匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P作PE±AB,交BC于点E,过点Q作QF/AC,分别交AD,OD于点F,G.连接OP,EG.设运动时间为t(s)(0vtv5),解答下列问题：(1)当t为何值时，点E在BAC的平分线上？(2)设四边形PEGO的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式；ZBAC=/DCO,/DOC=ZACB,.DOCBCA,ACABBCOCCDOD6108-，3CDOD，CD=5(cm),OD=4(cm),.PB=t,PHAB,35勿知：pE=tBE=-t44当点E在/BAC的平分线上时，-.EP±AB,EC±

4、AC,.PE=EC31=8-1t=4.当t为4秒时，点E在/BAC的平分线上.(2)如图，连接OE,PC.S四边形opegtSaoeg+Saope=Saoeg+(Saopc+Sapce-Saoec)iti38it141415=144t3384t-85t2525248215=-tt16(0t5).33(3)存在.28568S-t-(0t5),3 23568.,.t=一时，四边形OPEG的面积取大，取大值为23(4)存在.如图，连接OQ.OEXOQ, /EOC吆QOC=90,° /QOC+ZQOG=90；/EOC=ZQOG, tanZEOC=tanZQOG,ECGQ一一,OCOG84t3

5、t544t5整理得：5t2-66t+160=0,解得t16人、一或10(舍弃)516工皿秒时,5OE±OQ.本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.2.如图(1),在平面直角坐标系中，点A(0,-6),点B(6,0).RtACDE中，/CDE=90,°CD=4,DE=4后，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合.RtCDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动.解答下列问题：(1)如图(2),当RtACDE运动到点D与点。重合时，设CE交AB于点M,求/BME的度数

6、.(2)如图(3),在RtACDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长.(3)在RtACDE的运动过程中，设AC=h,OAB与CDE的重叠部分的面积为S,请写出即圄2图3【答案】(1)/BME=15;(2BC=4后;(3)hW2时,S=_h2+4h+8,4当h>2时，S=18-3h.【解析】试题分析：(1)如图2,由对顶角的定义知，/BME=/CMA,要求/BME的度数，需先求出/CMA的度数.根据三角形外角的定理进行解答即可；(2)如图3,由已知可知/OBC=/DEC=30,又OB=6,通过解直角BOC就可求出BC的长度；(3)需要分类讨论：hW2时，如图4,作MNy轴交y轴于点

7、N,作MFLDE交DE于点F,S=SEDC-Saefm；当h>2时，如图3,S=Sxobc.试题解析：解：(1)如图2,图2.在平面直角坐标系中，点A(0,-6),点B(6,0).OA=OB,ZOAB=45；/CDE=90,°CD=4,DE=473,/OCE=60；/CMA=ZOCE-/OAB=60-45=15；/BME=ZCMA=15:如图3,邸/CDE=90,°CD=4,DE=4后,/OBC=ZDEC=30,°,.OB=6,BC=4百；(3)hW2时，如图4,作MNy轴交y轴于点N,作MF,DE交DE于点F,图4.CD=4,口£=4石，AC=h

8、,AN=NM,，CN=4-FM,AN=MN=4+h-FM,.CMNACEDexw.二CDDE'4-73/4h-FM解得FM=4走二!方,2S=Sedc-Saefm=X4>y4j-(44h)X(4-丸)=-h+4h+8,工工24如图3,当hR2时，11S=Sobc=_OCXOB=(6-h)X6=183h.考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形,_k3.如图，反比例函数yk0的图象与正比例函数y2x的图象相交于xA(1,a),B两点，点C在第四象限，CA/y轴，ABC90(1)求k的值及点B的坐标；(2)求tanC的值.【答案】(1)k2,B1,2;(2)2.【解析】

9、【分析】(1)先根据点A在直线y=2x上，求得点A的坐标，再根据点A在反比例函数kyk0的图象上，利用待定系数法求得k的值，再根据点A、B关于原点对称即可x求得点B的坐标；(2)作BH，AC于H,设AC交X轴于点D,根据ABC90,BHC90，可得CABH,再由已知可得AODABH,从而得CAOD,求出tanC即可.【详解】(1),一点A(1,a)在y2x上，a=2,A(1,2),，一一k一把A(1,2)代入y得k2,xk;反比例函数y-k0的图象与正比例函数y2x的图象交于A，B两点，xB两点关于原点。中心对称，B1,2；(2)作BHI±AC于H,设AC交x轴于点D,ABC90,B

10、HC90,CABH,CA/y轴，BH/x轴，AODABH,CAOD,-AD2c，tanCtanAOD2.OD1【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，(2)小题求出/C=/AOD是关键.4.如图，PB为。的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA,垂足为C,交。于点A,D.连接PA,AO.并延长AO交。O于点E,与PB的延长线交于点(1)求证：PA是。的切线;OC2（2）若*c=q,且OC=4,求PA的长和tanD的值.p5【答案】（1）证明见解析；（2）PA=3,tanD=【解析】试题分析：（1）连接OB,先由等

11、腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB然后证明4PA必PBO,进而可得/PBO=/PAO,然后根据切线的性质可得/PBO=90,进而可得：/PAO=90,进而可证：PA是。的切线;0C2（2）连接BE,由乂。%且OC=4,可求AC,OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值.试题解析：（1）连接OB,则OA=OB,.OPXAB,，AC=BC.OP是AB的垂直平分线，PA=PBPA=PRPO-PO.Ac-Q月=onA一人-在PAO和PBO中，,.-.APAOAPBO(SSS/PBO=ZPAO,PB=PAPB为。的

12、切线，B为切点，/PBO=90/PAO=90即PAIOA,.PA是。O的切线；(2)连接BE,0C2且OC=4,.-.AC=6,AB=12,在RtMCO中，由勾股定理得：AO人附,榕=2(13,.AE=2OA=4严，OB=OA=2/T3,在RtAPO中，AC±OP,，AC2=OCPC,解彳#：PC=9.OP=PC+OC=13在RtAPO中，由勾股定理得：AP=J"'/V=3V'T?.BEDEDE16JTJ二=0E-.易证性DEBs力OP,所以丽丽川中龙，解得,一弓一,36四PA5AD=20A+DE=-irLntan/?=_=-则5，在RIA/IDP中，AD1

13、2.考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形.5.如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C,用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30。，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处（C,E,B三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A的仰角为60°,已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度.（J3=1.73结果精确到0.1米）【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解.【详解】AG.3解：

14、在RtAFG中，tan/AFG=73,.FG=AG在RtACG中，tan/ACG=,CGAG .CG=.,3AG.tanACG又CG-FG=24m,即V3AG-=24m, .AG=12、,3m, .AB=12百+1.6=2214.s6.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,0)、B(4,0)、C(0,3)三点.v*图图(1)试求抛物线的解析式；(2)点P是y轴上的一个动点，连接PA,试求5PA+4PC的最小值；(3)如图，若直线l经过点T(-4,0),Q为直线l上的动点，当以A、B、Q为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l的解析式.323.一.【答案】(1)y-x-x3;(

15、2)5PA+4PC的最小值为18;(3)直线l的解析式8443-3c为y：x3或y-x3.44【解析】【分析】(1)设出交点式，代入C点计算即可(2)连接AC、BC,过点A作AE，BC于点E,过PCPD4点P作PD)±BC于点D,易证CD/COB,得到比例式，得到PD一PC,所BCOB5以5PA+4PC=5(PA+4PC)=5(PA+PD,当点A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC=55(PA+PD=5AE最小，利用等面积法求出AE=18,即最小值为18(3)取AB中点F,5以F为圆心、FA的长为半径画圆，当/BAQ=90°或/ABQ=90°时，即AQ或BQ垂直

16、x轴,所以只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使/BAQ=90°或/ABQ=90°,即/AQB=90时，只有一个满足条件的点Q,直线l与。F相切于点Q时，满足/AQB=90°的点Q只有一个；此时，连接FQ,过点Q作QGi±x轴于点G,利用cos/QFT求出QG,分出情况Q在x轴上方和x轴下方时，分别代入直接l得到解析式即可【详解】解：(1).抛物线与x轴交点为A(-2,0)、B(4,0) -y=a(x+2)(x-4)把点C(0,3)代入得：-8a=33 a=-8.抛物线解析式为y=-3(x+2)(x-4)=-x2+-x+3884(2)连接ACBC

17、,过点A作AE，BC于点E,过点P作PD±BC于点D/CDP=/COB=90° /DCP=/OCB.-.CDFACOBPCPDBCOB,.B(4,0),C(0,3) OB=4,OC=3,BC=OB=OC2=54-.PD=-PC5 -5PA+4PC=5(PA+4PC)=5(PA+PD5 当点A、PD在同一直线上时，5PA+4PC=5(PA+PD=5AE最小.A(2,0),OCXAB,AE±BC Saabc=1AB?OC=1BC?AE22ABnOC6318AEBC55 -5AE=18 5PA+4PC的最/J、值为18.(3)取AB中点F,以F为圆心、FA的长为半径画圆

18、当/BAQ=90°或/ABQ=90°时，即AQ或BQ垂直x轴，只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使/BAQ=90或/ABQ=90/AQB=90时，只有一个满足条件的点Q 当Q在。F上运动时(不与A、B重合)，/AQB=90° 直线l与。F相切于点Q时，满足/AQB=90的点Q只有一个此时，连接FQ,过点Q作QG,x轴于点G /FQ仁90°.F为A(2,0)、B(4,0)的中点 .F(1,0),FQ=FA=3,.T(-4,0)FQ3TF5 .TF=5,cos/QFT=1.RtFGQ中，cos/QFT=FGFQ-3FG=-FQ=5 -xQ=1-94

19、,QG=JfQ2FG2321255',55412右点Q在x轴上方，则Q(,)55设直线l解析式为：y=kx+b4kb0412解得:kb55，3，直线l：y-x34412右点Q在x轴下方，则Q(,)55，3八，直线l：y-x34一一一.一.3综上所述，直线l的解析式为y3x3或ySi【点睛】本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q点是关键，同时不要忘记需要分【答案】(1)B(4,4),D(4,2);(2)45°(3)存在，符合条件的点为(8-情况讨论7.如图，正方形OABC的顶点。与原点重合，

20、点A,C分别在x轴与y轴的正半轴上，点1A的坐标为(4,0),点D在边AB上，且tan/AOD=，点E是射线OB上一动点，2EFLx轴于点F,交射线OD于点G,过点G作GH/x轴交AE于点H.(1)求B,D两点的坐标；(2)当点E在线段OB上运动时，求/HDA的大小；(3)以点G为圆心，GH的长为半径画OG.是否存在点E使。G与正方形OABC的对角线E的坐标.所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点4.2164.216-,或4尬,8-4衣)或(8+4后，8+4&)或164.2164.2,理由见斛析77【解析】【分析】1(1)由正万形性质知AB=OA=4,/O

21、AB=90,据此得B(4,4),再由tan/AOD=得2AD=1OA=2,据此可得点D坐标；2一,GF11(2)由tanGOF一知GF=OF,再由/AOB=/ABO=45知OF=EF即OF22_1GF=EF,根据GH/x轴知H为AE的中点，结合D为AB的中点知DH是4ABE的中位2线，即HD/BE,据此可得答案；(3)分。G与对角线OB和对角线AC相切两种情况，设PG=x,结合题意建立关于x的方程求解可得.【详解】解：(1).A(4,0),OA=4,丁四边形OABC为正方形，AB=OA=4,ZOAB=90°,B(4,4),在RtAOAD中,/OAD=90°,1.tan/AO

22、D=,2.AD=1OA=1X&2,22 D(4,2); 四边形OABC为正方形， ./AOB=/ABO=45°,.OF=EF,八1.GFEF,2.G为EF的中点，1. GH/x轴交AE于H, .H为AE的中点， B(4,4),D(4,2), .D为AB的中点， .DH是ABE的中位线，HD/BE,/HDA=/ABO=45:(3)若。G与对角线OB相切,如图2,当点E在线段OB上时，图2过点G作GP，OB于点P,设PG=x,可得P已x,EG=FG=J2x,OF=EF=2J2x, .OA=4, -AF=4-2>/2x, .G为EF的中点，H为AE的中点， .GH为AFE的中

23、位线，11-.GH=AF=-X(4-2yf2x)=2-2x22则x=2-2x,解得：x=2，2-2,E(8-472，8-4衣)，如图3,当点E在线段OB的延长线上时，x=.2x_2,解得：x=2+J2,.E（8+4拒，8+4亚）；若。G与对角线AC相切，如图4,当点E在线段BM上时，对角线AC,OB相交于点M,过点G作GP，OB于点P,设PG=x,可得PEx,EG=FG=V2x,OF=EF=22x,.OA=4,-AF=4-2V2x,G为EF的中点，H为AE的中点，.GH为AFE的中位线，11-.GH=-AF=-X(4-2j2x)=2-J2x,22过点G作GQ,AC于点Q,则GQ=PM=3x2J

24、2,3x-2y/2=2-gx,422x,7l4.2164.216E,77如图5,当点E在线段OM上时,GQ=PM=2V23x,则2行一3x=2一&x,解得xl16421642E,;如图6,当点E在线段OB的延长线上时,解得：x4乏2(舍去)；7综上所述，符合条件的点为(8-4J2,8-4J2)或(8+4J2,8+4&)或4.2164216f164/2164.2,或,.7777【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的定义、三角形中位线定理及分类讨论思想的运用.8.在RtABC中，/ACB=90°,AB=J7,AC=2,过点B作直线

25、m/AC,将ABC绕点C顺时针旋转得到B'尤A,B的对应点分别为A',B',)射线CA,CB分别交直线m于点p,Q.(1)如图1,当P与A重合时，求/ACA'的度数；(2)如图2,设A'国BC的交点为M,当M为A'的中点时，求线段PQ的长；(3)在旋转过程中，当点P,Q分别在CA',CB'的延长线上时，i3t探究四边形PA'B的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形PA'B'的最小面积；若不存在，请说明理由.【答案】(1)60°；(2)PQ=7；(3)存在，S四边形pabq=3-J32(1)由旋转

26、可得：AC=A'C=2,进而得到BC73,依据/A'BC=90。，可得BCcos/A'CB-A'C3,即可得到ZA'CB=30°,/ACA=60;2(2)根据M为A'B'的中点，即可得出/A=/A'CM,进而得到PBY3BC,依据tan/Q=tan/A叵,即可得到BQ=BC2,进而得出PQ=PB+BQ工；2,32小，而SapcqIpQXBC2(3)依据S四边形PABQ=SzPCQSA'CB'=SaPCQJ3,即可得到S四边形PAB'Q最小，即S/PCQ最PQ,利用几何法即可得到Sapcq的最小值=

27、3,即可得到结2论.【详解】(1)由旋转可得:AC=A'C=2./ACB=90；AB币,AC=2,BC73.BC./ACB=90；m/AC,./A'BC=90；.cos/A'CBA'C,ZA'CB=30°,2，/ACA=60；°(2) ,M为A'B'的中点，ZA'CM=ZMA'C,由旋转可得：，/A=/A'CM,.-.tanZPCB=tanZA,.PBBC22ZBQC=ZBCP=ZA,tanZBQC=tanZA,.BQ=BC2/MA'C=ZA,2,.1.PQ=PB+BQ(3) .S四边形

28、pa'b'q=Spcq-Saa'cb'=SapcqJ3,S四边形pab,q最小,即Sapcq最小,-1.SapcqPQ>BC2取PQ的中点G.3q,2/PCQ=90:CG1一PQ,即PQ=2CG,当CG最小时，PQ最小,2CG±PQ,即CG与CGnin73,PQmin=2V3,SaPCQ的最小值=3,S四边形CB重合时，CG最小,pab'q=3J3；【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

29、旋转前、后的图形全等.9.已知RtABC,/BAC=90。，点D是BC中点，AD=AC,BCU4日过A,D两点作OO,交AB于点E,(1)求弦AD的长；(2)如图1,当圆心O在AB上且点M是OO上一动点，连接DM交AB于点N,求当ON等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？(3)如图2,当圆心O不在AB上且动圆。与DB相交于点Q时，过D作DHLAB(垂足为H)并交。于点P,问：当。变动时DP-DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由.刻)I蚯【答案】(1)2J3(2)当ON等于1或J3-1时，三点D、EM组成的三角形是等腰三角形(3)不变，理由见解析【解析】【分析】(

30、1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；(2)连DE、ME,易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE±DM,易得到4ADC为等边三角形，得/CAD=60°,贝U/DAO=30°,/DON=60,然后根据含30。的直角三角形三边的关系得DN=1AD=V3,ON=W3DN=1；当MD=ME,DE为底边，作DHAE,由于AD=2J3,/DAE=30,得至UDH=J3,/DEA=60；DE=2,于是OE=DE=2OH=1,又/M=/DAE=30,MD=ME,得到/MDE=75,贝U/ADM=90-75=15°,可得

31、到/DNO=45；根据等腰直角三角形的性质得到NH=DH=J3,则ON=J3-1；(3)连AP、AQ,DPIAB,彳导AC/DP,则/PDB=/C=60,再根据圆周角定理得/PAQ=/PDB,/AQC=/P,则/PAQ=60,°/CAQ=/PAD,易证得AQ84APD,得到DP=CQ贝UDP-DQ=CQ-DQ=CD而4ADC为等边三角形，CD=AD=2j3,即可得到DP-DQ的值.【详解】解：(1)ZBAC=90°,点D是BC中点，BC=4J3,AD=5BC=2/3；(2)连DE、ME,如图，DM>DE,当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，OEXDM,又AD=AC,

32、.ADC为等边三角形，/CAD=60；/DAO=30；/DON=60°,1在RtADN中，DN=AD=T32 .',、3在RtAODN中,ON=-DN=1,3， 当ON等于1时，三点D、匚M组成的三角形是等腰三角形；当MD=ME,DE为底边，如图3,作DHXAE, .AD=273,/DAE=30； .DH=T3,/DEA=60°,DE=2, .ODE为等边三角形，.OE=DE=2,OH=1, .ZM=ZDAE=30；而MD=ME,/MDE=75°,ZADM=90-75=15:/DNO=45；.NDH为等腰直角三角形，,-.nh=dh=芯, .on=73-1

33、；综上所述，当ON等于1或百-1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形;(3)当。O变动时DP-DQ的值不变，DP-DQ=2底.理由如下：连AP、AQ,如图2,./C=/CAD=60；而DPIAB, .AC/DP,/PDB=ZC=60°,又/PAQ=/PDB,/PAQ=60°,ZCAQ=/PAD,.AC=AD,/AQC=/P, .AQCAAPD,.DP=CQ, .DP-DQ=CQ-DQ=CD=2/.【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等.也考查了等腰三角形的性质以及含30。的直角三角形三边的关系.10

34、.如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为63.4；沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为53°.已知BC=90米，且BCD在同一条直线上，山坡坡度i=5:12.（1）求此人所在位置点P的铅直高度.（结果精确到0.1米）（2）求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程（结果精确到0.1米）（测倾器的高度忽（2）从P到点B的路程约为127.1米【解析】分析：过P作PF,BD于F,彳P已AB于E,设PF=5x,在RtAABC中求出AB,用含x的式子表示出AE,EP,由tan/APE,求得x即可；（2）在RtACPF中，求出CP的长.详解：过P作PF±BD于F,彳PE±AB于E,斜坡的坡度i=5:12,设PF=5x,CF=12x,四边形BFPE为矩形,.BF=PEPF=BE在RTAABC中，BC=90,ABtan/ACB=,BC，AB=tan63.4>BC=2x=9080,AE=AB-BE=AB-PF=1805x,