高考数学(文)复习五年高考真题分类汇编推理与证明

1、第十三章推理与证明第一节合情推理与演绎推理题型143归纳推理2013 年1. (2013陕西文13)观察下列等式：(1+1)=2X12(2+1X2+2)=22X1X33(3十1X3+2X3+3)=2X1X3X5照此规律，第n个等式可为.2014 年1. （2014陕西文14）已知f（x）=,x0,f（x）=f（x）,fn+1（x）=f（fn（x）（nwN+）,则f2014（x）的表达式为.2. （2014安徽文12）如图所示，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2J2,过点A作BC的垂线，垂足为A；过点A作ac的垂线，垂足为A2；过点A作AC的垂线，垂足为A；，以此类推，设BA=a,AA=&,

2、AA=a3,A5A5=a?，则a.2015 年1. （2015陕西文16）观察下列等式:1.11.11_1.1.1!III23456456据此规律，第叶等式可为.1. 解析观察等式知，第n个等式的左边有2n个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且,一111分子为1，分母是1到2n的连续正整数，等式的右边是+二.n1n22n11111111*故谷案为1克-膏山=mnN.2. (2015江苏23)已知集合X=1,2,3,Yn=1,2,3,n(nwN*),设Sn=(a,bja整除b或b整除a,aX,b在匕,令f(n)a示集合$所含元素的个数.(1)写出f(6)的值；(2)当n-6时，写出f(n)的表达

3、式，并用数学归纳法证明.2. 分析其实解决此除了需要有良好的数学分类思维以外，还需下表辅助我们理解问题的本质.i03国5i7回加回1112共k组13E415E61718第k+1组6k+16k+2|6k+36k+46k+5|6k+6带L标记的表示为3的倍数或约数(其实1是奇葩，其余的都是3的倍数)，带口标记的表示为2的倍数或约数，而口则表示既是3的倍数或约数又是2的倍数或约数(即为6的倍数或约数，此题不作研究).*N样研允n=6k(k*N)时，可直接得：f(n)=(6k)+(3k+1)+(2k+1)=11k+2,*当n=6k+3(kuN)时，可直接得：f(n)=(6k+3)+(3k+1+1)+(

4、2k+1+1)=11k+7.这就是本题的本质，以6为周期进行分类整合并进行数学归纳研究.解析(1)当n=6时，X=1,2,3,Yn=，,2,3,4,5,6,(a,b河取(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,6)，共13个，故f(6)=13.11k2,n=6k11k3,n=6k1(2)当nr6时,f(n)=11k5,11k7,=6k=6k)，11k+9,、11k十10,n=6k4n=6k5证明：俨当k=1时，枚举可得f(6)=13,f7=14,f8=16,f9=18,f(10)=20,

5、f(11)=21,符合通式;2。假设k=t时，成立，即11t+2,11t十3,11t+5,fn=711t十7,11t+9,、11t+10,n=6tn=6t1=6t2=6t3n=6t4n=6t5)成立,则当k=t+1时，此时n=6t+6，此时f(n+6)比f(n)多出有序数对11个,即多出(1,6t+1),(1,6t+2),(1,6t+3),(1,6t+4),(1,6t+5),(1,6t+6),(2,6t+2),(2,6t+4),(2,6t+6),(3,6t+3),(3,6t+6),从而f(n+6)=f(n)十11=11(t+1)+2,符合通式；另外，当n=6t十7,n=6t+8,n=6t+9,

6、n=6t+10,n=6t+11,同理可证,综上，即If(n+6)=11t12,11t13,11t15,11t17,n=6t6n=6t7=6t8=6t9),11t19,n=6t1011t110,n=6t11即当k=t+1时也成立.n-1n-111n7例如n=6k+1时，k=，贝Uf(n)=11k+3=11x+3=,666综上所述:f(n)=11n12611n7611n86，11n9611n10611n56n=6kn=6k1n=6k2*(3N).n=6k3n=6k4n=6k52016 年1. (2016山东文12)观察下列等式：,.兀、_2,/.2兀、_24八(sin)+(sin)=-=Jb/d；

7、（2）ja+JbJC+Jd是|ab（JC+JF,两边开方即得ja+Jbjc+Jd;（2）由第（1）问的结论来证明.在证明中要注意分别证明充分性和必要性.解析(1)因为(/+后)=a+b+270,(Vc+布)=c+d+2VcJ,_2_2_由题设a+b=c+d,abcd,得（石+Jb）（据+布），因此月+屯去+布.(2)(i)若abcd，贝U(abf(cdf,即(a+bf4ab(Tc+4d,即a+b+2/aFc+d+2/cd.因为a+b=c+d，所以abcd,于是(abf=(a+b)24ab(c+df4cd=(cd)2,因此abcd.综上，扼+布店+沈是ab0)，贝Ua=ksinA,b=ksinB

8、,c=ksinC.cosAcosBsinC代入ab中，有ccosBksinAksinBksinCcosAsinC可变形得sinAsinB=sinAcosB+sinBcosA=sin(AB).在ABC中，由A+B+C=兀，有sin(A+B)=sin(兀一CsinC，所以sinAsinB=sinC.2. (2016浙江文16(1)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bc=2acosB.证明：A=2B.2.解析(1)由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,sinB=sin(

9、AB).又A,BW(0,兀)，故0AB0,(1)a+b-2；（2）a2+a2与b2+b0,b0，得ab=1.abab（i）由基本不等式及ab=1，有a+b2jab=2，即a+b-2.（ii）假设a2+a2与b2+b2同时成立，则由a2+a2及a0得0ac1；同理,0b1,从而0ab1,与ab=1相矛盾.故a2+a2与b2+b2不可能同时成立2016 年1.（2016全国甲文16）有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：我的卡片上的数字之和不是5”，

10、则甲的卡片上的数字是.1. （1,3）解析由题意得：丙不拿（2,3）,若丙（1,2）,则乙（2,3）,甲（13）满足；若丙（13）,则乙（2,3），甲（1,2）不满足,故甲（1,3）.2. （2016上海文22）对于无穷数列aj与岛，记A=Xxan苻N*,B=kx=bn,nN*,若同时满足条件：&,也均单调递增；Ap|B=0且AUB=N*，则称a与bn是无穷互补数列.（1）若a”=2n1,bn=4n2,判断a与bn是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若an=2n且an与化是无穷互补数列，求数列化的前16项的和；（3）若an与bn是无穷互补数列，an为等差数列且血=36,求an与bn的通项公式.2.解析（1）易知A=1,3,5,7,9,11,B=2,6,8,12,而4任A,4琶B，所以4芷AUB，从而a与bn不是无穷互补数列.（2）由题意A=（2,4,8,16,32,因为a4=16，所以b16=16十4=20.数列的前16项的和