2019中考数学压轴题

1、精选优质文档-倾情为你奉上2019中考数学压轴题81（2017浙江省温州市，第24题，14分）如图，已知线段AB=2，MNAB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD上），连结AC，DE（1）当APB=28°时，求B和的度数；（2）求证：AC=AB（3）在点P的运动过程中当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上

2、时，连结AG，CG，DG，EG，直接写出ACG和DEG的面积之比【答案】（1）B=76°，=56°；（2）证明见解析；（3）MQ的值为或或；【分析】（1）根据三角形ABP是等腰三角形，可得B的度数，再连接MD，根据MD为PAB的中位线，可得MDB=APB=28°，进而得到=2MDB=56°；（2）根据BAP=ACB，BAP=B，即可得到ACB=B，进而得出AC=AB；（3）记MP与圆的另一个交点为R，根据AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，即可得到PR，MR的值，再根据Q为直角三角形锐角顶点，分四种情况进行讨论：当ACQ=90°时，当QCD

3、=90°时，当QDC=90°时，当AEQ=90°时，即可求得MQ的值；先判定DEG是等边三角形，再根据GMD=GDM，得到GM=GD=1，过C作CHAB于H，由BAC=30°可得CH=1=MG，即可得到CG的值，进而得出SACG的值，再根据SDEG的值，即可得到ACG和DEG的面积之比【解析】（1）MNAB，AM=BM，PA=PB，PAB=B，APB=28°，B=76°，如图1，连接MD，MD为PAB的中位线，MDAP，MDB=APB=28°，=2MDB=56°；（2）BAC=MDC=APB，又BAP=180

4、76;APBB，ACB=180°BACB，BAP=ACB，BAP=B，ACB=B，AC=AB；（3）如图2，记MP与圆的另一个交点为R，MD是RtMBP的中线，DM=DP，DPM=DMP=RCD，RC=RP，ACR=AMR=90°，AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，12+MR2=22+PR2，12+（4PR）2=22+PR2，PR=，MR=，当ACQ=90°时，AQ为圆的直径，Q与R重合，MQ=MR=；如图3，当QCD=90°时，在RtQCP中，PQ=2PR=，MQ=；如图4，当QDC=90°时，BM=1，MP=4，BP=，DP=BP=，

5、cosMPB=，PQ=，MQ=；如图5，当AEQ=90°时，由对称性可得AEQ=BDQ=90°，MQ=；综上所述，MQ的值为或或；ACG和DEG的面积之比为理由：如图6，DMAF，DF=AM=DE=1，又由对称性可得GE=GD，DEG是等边三角形，EDF=90°60°=30°，DEF=75°=MDE，GDM=75°60°=15°，GMD=PGDGDM=15°，GMD=GDM，GM=GD=1，过C作CHAB于H，由BAC=30°可得CH=AC=AB=1=MG，AH=，CG=MH=1，SA

6、CG=CG×CH=，SDEG=，SASDEG =点睛：本题属于圆的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，圆周角定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及等边三角形，运用旋转的性质以及含30°角的直角三角形的性质进行计算求解，解题时注意分类思想的运用考点：圆的综合题；旋转的性质；动点型；分类讨论；压轴题82（2017湖北省咸宁市，第23题，10分）定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”理解：（1）如图1，已知A、B是

7、O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，试判断AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，若在O上存在一点P，使得OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标【答案】（1）作图见解析；（2）AEF是“智慧三角形”；（3）P的坐标（，），（，）【分析】（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出D

8、F=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解【解析】（1）如图1所示：（2）AEF是否为“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a，E是DC的中点，DE=CE=2a，BC：FC=4：1，FC=a

9、，BF=4aa=3a，在RtADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在RtECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在RtABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，AE2+EF2=AF2，AEF是直角三角形，斜边AF上的中线等于AF的一半，AEF为“智慧三角形”；（3）如图3所示，由“智慧三角形”的定义可得OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，由勾股定理可得PQ= =，PM=1×÷3=，由勾股定理可求得OM= =，故点P的坐标（，），（，） 点睛：本题考查了圆的

10、综合题，正方形的性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，用正方形的边长表示出AEF的各边的平方，熟练掌握“智慧三角形”的定义是解题的关键考点：圆的综合题；新定义；探究型；最值问题；阅读型；压轴题83（2017湖南省湘潭市，第26题，10分）如图，动点M在以O为圆心，AB为直径的半圆弧上运动（点M不与点A、B 及的中点F 重合），连接OM过点M 作MEAB于点E，以BE为边在半圆同侧作正方形BCDE，过点M作O的切线交射线DC于点N，连接BM、BN（1）探究：如图一，当动点M在上运动时；判断OEMMDN是否成立？请说明理由；设，k是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；设MBN=，

11、是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2）拓展：如图二，当动点M 在上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论（均不必说明理由）【答案】（1）成立；k值为定值1；设MBN=，为定值45°；（2）不变【分析】（1）由正方形的性质得出BE=BC，EBC=CDE=BCD=BED=90°，由切线的性质和直角三角形的性质证出EOM=DMN，即可得出OEMMDN；作BGMN于G，则BGOM，BGN=BGM=90°，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出OBM=GBM，由AAS证明BMEBMG，得出EM=GM，BE=BG，证出B

12、G=BC，由HL证明RtBGNRtBCN，得出GN=CN，证出EM+NC=GM+NC=MN，即可得出结论；由全等三角形的性质得出EBM=GBM，GBN=CBN，求出MBN=EBC=45°即可；（2）（1）中的三个结论保持不变；解法同（1）【解析】（1）OEMMDN成立，理由如下：四边形BCDE是正方形，BE=BC，EBC=CDE=BCD=BED=90°，EOM+EMO=90°，MN是O的切线，MNOM，OMN=90°，DMN+EMO=90°，EOM=DMN，OEMMDN；k值为定值1；理由如下：作BGMN于G，如图一所示：则BGOM，BGN=B

13、GM=90°，OMB=GBM，OB=OM，OBM=OMB，OBM=GBM，在BME和BMG中，OBM=GBM，BED=BGM=90°，BM=BM，BMEBMG（AAS），EM=GM，BE=BG，BG=BC，在RtBGN和RtBCN中，BN=BN，BG=BC，RtBGNRtBCN（HL），GN=CN，EM+NC=GM+NC=MN，k=1；设MBN=，为定值45°；理由如下：BMEBMG，RtBGNRtBCN，EBM=GBM，GBN=CBN，MBN=EBC=45°，即=45°；（2）（1）中的三个结论保持不变；理由同（1），作BGMN于G，如图二所

14、示点睛：本题是圆的综合题目，考查了正方形的性质、切线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键考点：圆的综合题；定值问题；探究型；动点型；压轴题84（2017陕西省，第25题，12分）问题提出（1）如图，ABC是等边三角形，AB=12，若点O是ABC的内心，则OA的长为 ；问题探究（2）如图，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由问题解决（3）某城市街角有一草坪，草坪是由ABM草

15、地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图所示管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了如图，已测出AB=24m，MB=10m，AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DEAB交于点E，又测得DE=8m请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）【答案】（1

16、）；（2）PQ=；（3）喷灌龙头的射程至少为19.71米【分析】（1）构建RtAOD中，利用cosOAD=cos30°=，可得OA的长；（2）经过矩形对角线交点的直线将矩形面积平分，根据此结论作出PQ，利用勾股定理进行计算即可；（3）如图3，作辅助线，先确定圆心和半径，根据勾股定理计算半径：在RtAOD中，由勾股定理解得：r=13根据三角形面积计算高MN的长，证明ADCANM，列比例式求DC的长，确定点O在AMB内部，利用勾股定理计算OM，则最大距离FM的长可利用相加得出结论【解析】（1）如图1，过O作ODAC于D，则AD=AC=×12=6，O是内心，ABC是等边三角形，O

17、AD=BAC=×60°=30°，在RtAOD中，cosOAD=cos30°=，OA=6÷=，故答案为：；（2）存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，点O为矩形ABCD的对称中心，CQ=AP=3，过P作PMBC于点，则PM=AB=12，MQ=1833=12，由勾股定理得：PQ= =；（3）如图3，作射线ED交AM于点CAD=DB，EDAB，是劣弧，所在圆的圆心在射线DC上，假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r8，AD=AB=12，在RtAOD中，r2=122+（r8）

18、2，解得：r=13，OD=5，过点M作MNAB，垂足为N，SABM=96，AB=24，ABMN=96，×24×MN=96，MN=8，NB=6，AN=18，CDMN，ADCANM，DC=，ODCD，点O在AMB内部，连接MO并延长交于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，在上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，MF=OM+OF=OM+OGMG，即MFMG，过O作OHMN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，OM=，MF=OM+r=+1319.71（米）答：喷灌龙头的射程至少为19.71米点睛：本题是圆的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、勾股定理、等边三角形的性质

19、及内心的定义、特殊的三角函数值、矩形的性质等知识，明确在特殊的四边形中将面积平分的直线一定过对角线的交点，本题的第三问比较复杂，辅助线的作出是关键，根据三角形的三角关系确定其最大射程为MF考点：圆的综合题；最值问题；存在型；阅读型；压轴题85（2017黑龙江省哈尔滨市，第26题，10分）已知：AB是O的弦，点C是的中点，连接OB、OC，OC交AB于点D（1）如图1，求证：AD=BD；（2）如图2，过点B作O的切线交OC的延长线于点M，点P是上一点，连接AP、BP，求证：APBOMB=90°；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DP、MP，延长MP交O于点Q，若MQ=6DP，sinAB

20、O=，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）如图1，连接OA，利用垂径定理和圆周角定理可得结论；（2）如图2，延长BO交O于点T，连接PT，由圆周角定理可得BPT=90°，易得APT=APBBPT=APB90°，利用切线的性质定理和垂径定理可得ABO=OMB，等量代换可得ABO=APT，易得结论；（3）如图3，连接MA，利用垂直平分线的性质可得MA=MB，易得MAB=MBA，作PMG=AMB，在射线MG上截取MN=MP，连接PN，BN，易得APMBNM，由全等三角形的性质可得AP=BN，MAP=MBN，延长PD至点K，使DK=DP，连接AK、

21、BK，易得四边形APBK是平行四边形，由平行四边形的性质和平行线的性质可得PAB=ABK，APB+PBK=180°，由（2）得APB（90°MBA）=90°，易得NBP=KBP，可得PBNPBK，PN=2PH，利用三角函数的定义可得sinPMH=，sinABO=，设DP=3a，则PM=5a，可得结果【解析】（1）证明：如图1，连接OA，C是的中点，AOC=BOC，OA=OB，ODAB，AD=BD；（2）证明：如图2，延长BO交O于点T，连接PTBT是O的直径，BPT=90°，APT=APBBPT=APB90°，BM是O的切线，OBBM，又OBA

22、+MBA=90°，ABO=OMB又ABO=APT，APB90°=OMB，APBOMB=90°；（3）解：如图3，连接MA，MO垂直平分AB，MA=MB，MAB=MBA，作PMG=AMB，在射线MG上截取MN=MP，连接PN，BN，则AMP=BMN，APMBNM，AP=BN，MAP=MBN，延长PD至点K，使DK=DP，连接AK、BK，四边形APBK是平行四边形；APBK，PAB=ABK，APB+PBK=180°，由（2）得APB（90°MBA）=90°，APB+MBA=180°，PBK=MBA，MBP=ABK=PAB，MAP

23、=PBA=MBN，NBP=KBP，PB=PB，PBNPBK，PN=PK=2PD，过点M作MHPN于点H，PN=2PH，PH=DP，PMH=ABO，sinPMH=，sinABO=，=，=，设DP=3a，则PM=5a，MQ=6DP=18a，=点睛：本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质定理，三角函数的定义等相关知识，作出恰当的辅助线构建全等三角形是解答此题的关键考点：圆的综合题；压轴题86（2017山东省莱芜市，第23题，10分）已知AB是O的直径，C是圆上一点，BAC的平分线交O于点D，过D作DEAC交AC的延长线于点E，如图（1）求证：DE是O的切线；（2）若AB=10，A

24、C=6，求BD的长；（3）如图，若F是OA中点，FGOA交直线DE于点G，若FG=，tanBAD=，求O的半径【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）4【分析】（1）欲证明DE是O的切线，只要证明ODDE；（2）首先证明ODBC，在RtBDN中，利用勾股定理计算即可；（3）如图中，设FG与AD交于点H，根据题意，设AB=5x，AD=4x，则AF=x，想办法用x表示线段FH、GH，根据FH+GH=，列出方程即可解决问题；【解析】（1）证明：如图中，连接ODOA=OD，OAD=ODA，AD平分BAC，OAD=DAE，ODA=DAE，ODAE，ODE+AED=180°，AED=90

25、6;，ODE=90°，ODDE，DE是O的切线（2）如图中，连接BC，交OD于点N，AB是直径，BCA=90°，ODAE，O是AB的中点，ONAC，且ON=AC，ONB=90°，且ON=3，则BN=4，ND=2，BD=（3）如图中，设FG与AD交于点H，根据题意，设AB=5x，AD=4x，则AF=x，FH=AFtanBAD=x=x，AH= =，HD=ADAH=4x=，由（1）可知，HDG+ODA=90°，在RtHFA中，FAH+FHA=90°，OAD=ODA，FHA=DHG，DHG=HDG，GH=GD，过点G作GMHD，交HD于点M，MH=MD

26、，HM=HD=×=，FAH+AHF=90°，MHG+HGM=90°，FAH=HGM，在RtHGM中，HG=，FH+GH=，+=，解得x=，此圆的半径为×=4点睛：本题考查圆综合题、切线的判定、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题考点：圆的综合题87（2017黑龙江省大庆市，第27题，9分）如图，四边形ABCD内接于圆O，BAD=90°，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F（靠近点C）作CE的平行线交AB于点G

27、，连结CG（1）求证：AB=CD；（2）求证：CD2=BEBC；（3）当CG=，BE=时，求CD的长【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形，可得结论；（2）证明ABECBA，列比例式可得结论；（3）根据F是AC的三等分点得：AG=2BG，设BG=x，则AG=2x，代入（2）的结论解出x的值，可得CD的长【解析】（1）AC为O的直径，ABC=ADC=90°，BAD=90°，四边形ABCD是矩形，AB=CD；（2）AE为O的切线，AEAC，EAB+BAC=90°，BAC+ACB=90

28、76;，EAB=ACB，ABC=90°，ABECBA，AB2=BEBC，由（1）知：AB=CD，CD2=BEBC；（3）F是AC的三等分点，AF=2FC，FGBE，AFGACB， =2，设BG=x，则AG=2x，AB=3x，在RtBCG中，CG=，BC2=（）2x2，BC=，由（2）得：AB2=BEBC，（3x）2=，4x4+x23=0，（x2+1）（4x23）=0，x=±，x0，x=，CD=AB=3x=点睛：本题是圆和四边形的综合题，难度适中，考查了矩形的性质和判定、平行相似的判定、三角形相似的性质、圆周角定理、切线的性质、勾股定理等知识，注意第2和3问都应用了上一问的结

29、论，与方程相结合，熟练掌握一元高次方程的解法考点：圆的综合题；压轴题88（2016四川省达州市）如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作ODAC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F（1）求证：AEBC=ADAB；（2）若半圆O的直径为10，sinBAC=，求AF的长【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）只要证明EADABC即可解决问题（2）作DMAB于M，利用DMAE，得，求出DM、BM即可解决问题【解析】（1）AB为半圆O的直径，C=90°，ODAC，CAB+AOE=90°，ADE=C=90&

30、#176;，AE是切线，OAAE，E+AOE=90°，E=CAB，EADABC，AE：AB=AD：BC，AEBC=ADAB（2）作DMAB于M，半圆O的直径为10，sinBAC=，BC=ABsinBAC=6，AC=8，OEAC，AD=AC=4，OD=BC=3，sinMAD=，DM=，AM=，BM=ABAM=，DMAE，AF=考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义89（2016山西省）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德（archimedes，公元前287公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并成为三大

31、数学王子阿拉伯AlBinmi（9731050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据AlBinmi译本出版了俄文版阿基米德全集，第一题就是阿基米德折弦定理阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BCAB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MGM是的中点，MA=MC任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知等边ABC内接于O，AB=2，D为上

32、一点，ABD=45°，AEBD于点E，则BDC的周长是 【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）首先证明MBAMGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；（2）首先证明ABFACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案（2）解：如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD，由题意可得：AB=AC，ABF=ACD，在ABF和ACD中，AB=AC，ABF=ACD，BF=DC，ABFACD（SAS），AF=AD，AEBD，FE=DE，则CD+DE=BE，ABD=45°，BE=，则BDC

33、的周长是故答案为：考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；阅读型；和差倍分90（2016广东省茂名市）如图，在ABC中，C=90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的O与BC相交于点E，连接EF，过F作FGBC于点G，其中OFE=A（1）求证：BC是O的切线；（2）若sinB=，O的半径为r，求EHG的面积（用含r的代数式表示）【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）首先连接OE，由在ABC中，C=90°，FGBC，可得FGAC，又由OFE=A，易得EF平分BFG，继而证得OEFG，证得OEBC，则可得BC是O的切线；（2）由在OBE中，sinB=，O的半径

34、为r，可求得OB，BE的长，然后由在BFG中，求得BG，FG的长，则可求得EG的长，易证得EGHFGE，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案【解析】（1）证明：连接OE，在ABC中，C=90°，FGBC，BGF=C=90°，FGAC，OFG=A，OFE=OFG，OFE=EFG，OE=OF，OFE=OEF，OEF=EFG，OEFG，OEBC，BC是O的切线；（2）解：在RtOBE中，sinB=，O的半径为r，OB=r，BE=r，BF=OB+OF=r，FG=BFsinB=r，BG=r，EG=BGBE=r，SFGE=EGFG=，EG：FG=1：2，BC是切线，GEH=

35、EFG，EGH=FGE，EGHFGE，=，SEHG=SFGE=考点：切线的判定91（2016内蒙古呼和浩特市）如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连接FB，FC（1）求证：FBC=FCB；（2）已知FAFD=12，若AB是ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由圆内接四边形的性质和邻补角关系证出FBC=CAD，再由角平分线和对顶角相等得出FAB=CAD，由圆周角定理得出FAB=FCB，即可得出结论；（2）由（1）得：FBC=FCB，由圆周角定理得出FAB=FBC，由公共角BFA=BFD

36、，证出AFBBFD，得出对应边成比例求出BF，得出FD、AD的长，由圆周角定理得出BFA=BCA=90°，由三角函数求出FBA=30°，再由三角函数求出CD的长即可【解析】（1）证明：四边形AFBC内接于圆，FBC+FAC=180°，CAD+FAC=180°，FBC=CAD，AD是ABC的外角EAC的平分线，EAD=CAD，EAD=FAB，FAB=CAD，又FAB=FCB，FBC=FCB；（2）解：由（1）得：FBC=FCB，又FCB=FAB，FAB=FBC，BFA=BFD，AFBBFD，=FAFD=12，BF=，FA=2，FD=6，AD=4，AB为圆的

37、直径，BFA=BCA=90°，tanFBA=，FBA=30°，又FDB=FBA=30°，CD=ADcos30°=4×=考点：相似三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心92（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图，在ABC中，C=90°，ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，O是BEF的外接圆（1）求证：AC是O的切线；（2）过点E作EHAB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）若CD=1，EH=3，求BF及AF长【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BF=10，AF=【分析】（1）连接OE，由于BE是角平分线

38、，则有CBE=OBE；而OB=OE，就有OBE=OEB，等量代换有OEB=CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OEBC；又C=90°，所以AEO=90°，即AC是O的切线；（2）连结DE，先根据AAS证明CDEHFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF（3）先证得EHFBEF，根据相似三角形的性质求得BF=10，进而根据直角三角形斜边中线的性质求得OE=5，进一步求得OH，然后解直角三角形即可求得OA，得出AF【解析】（1）如图，连接OEBEEF，BEF=90°，BF是圆O的直径BE平分ABC，CBE=OBE，OB=OE，OBE=OEB，OEB=

39、CBE，OEBC，AEO=C=90°，AC是O的切线；（2）如图，连结DECBE=OBE，ECBC于C，EHAB于H，EC=EHCDE+BDE=180°，HFE+BDE=180°，CDE=HFE在CDE与HFE中，CDE=HFE，C=EHF，EC=EH，CDEHFE（AAS），CD=HF（3）由（2）得CD=HF，又CD=1，HF=1，在RtHFE中，EF=，EFBE，BEF=90°，EHF=BEF=90°，EFH=BFE，EHFBEF，即，BF=10，OE=BF=5，OH=51=4，RtOHE中，cosEOA=，RtEOA中，cosEOA=，

40、=，OA=，AF=5=考点：切线的判定；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质93（2016四川省宜宾市）如图1，在APE中，PAE=90°，PO是APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G（1）求证：直线PE是O的切线；（2）在图2中，设PE与O相切于点H，连结AH，点D是O的劣弧上一点，过点D作O的切线，交PA于点B，交PE于点C，已知PBC的周长为4，tanEAH=，求EH的长【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）作OHPE，由PO是APE的角平分线，得到APO=EPO，判断出PAOPHO，得到OH=OA，用“圆心到直线的距离等于半径”来得出直线PE

41、是O的切线；（2）先利用切线的性质和PBC的周长为4求出PA=2，再用三角函数求出OA，AG，然后用三角形相似，得到EH=2EG，AE=2EH，用勾股定理求出EG，最后用切割线定理即可【解析】（1）如图1，作OHPE，OHP=90°，PAE=90，OHP=OAP，PO是APE的角平分线，APO=EPO，在PAO和PHO中，OHP=OAP，OPH=OPA，OP=OP，PAOPHO，OH=OA，OA是O的半径，OH是O的半径，OHPE，直线PE是O的切线（2）如图2，连接GH，BC，PA，PB是O的切线，DB=DA，DC=CH，PBC的周长为4，PB+PC+BC=4，PB+PC+DB+D

42、C=4，PB+AB+PC+CH=4，PA+PH=4，PA，PH是O的切线，PA=PH，PA=2，由（1）得，PAOPHO，OFA=90°，EAH+AOP=90°，OAP=90°，AOP+APO=90°，APO=EAH，tanEAH=，tanAPO=，OA=PA=1，AG=2，AHG=90°，tanEAH=，EGHEHA，=，EH=2EG，AE=2EH，AE=4EG，AE=EG+AG，EG+AG=4EG，EG=AG=，EH是O的切线，EGA是O的割线，=EG×EA=EG×（EG+AG）=，EH=考点：切线的判定与性质94（20

43、16江西省）如图，AB是O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PEAB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D（1）求证：DC=DP；（2）若CAB=30°，当F是的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形【分析】（1）连接BC、OC，利用圆周角定理和切线的性质可得B=ACD，由PEAB，易得APE=DPC=B，等量代换可得DPC=ACD，可证得结论；（2）由CAB=30°易得OBC为等边三角形，可得AOC=120°，由F是的中点，易得AO

44、F与COF均为等边三角形，可得AF=AO=OC=CF，易得以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形【解析】（1）连接BC、OC，AB是O的直径，OCD=90°，OCA+OCB=90°，OCA=OAC，B=OCB，OAC+B=90°，CD为切线，OCD=90°，OCA+ACD=90°，B=ACD，PEAB，APE=DPC=B，DPC=ACD，AP=DC；（2）以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形理由如下：CAB=30°，B=60°，OBC为等边三角形，AOC=120°，连接OF，AF，F是的中点，AOF=COF=60&#

45、176;，AOF与COF均为等边三角形，AF=AO=OC=CF，四边形OACF为菱形考点：切线的性质；垂径定理95（2016江苏省南京市）如图，O是ABC内一点，O与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DEBC，连接DF、EG（1）求证：AB=AC（2）已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时O的半径【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由切线长定理可知AD=AE，易得ADE=AED，因为DEBC，由平行线的性质得ADE=B，AED=C，可得B=C，易得AB=AC；（2）如图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，设O半径为r，由

46、AODABN得，得到AD=r，再由GBDABN得，列出方程即可解决问题【解析】（1）证明：AD、AE是O的切线，AD=AE，ADE=AED，DEBC，ADE=B，AED=C，B=C，AB=AC；（2）解：如图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，设O半径为r，四边形DFGE是矩形，DFG=90°，DG是O直径，O与AB、AC分别相切于点D、E，ODAB，OEAC，OD=OE，OEAC，OD=OE，AN平分BAC，AB=AC，ANBC，BN=BC=6，在RTABN中，AN=8，ODAB，ANBC，ADO=ANB=90°，OAD=BAN，AODABN，即，AD=r，BD=ABAD=10r，ODAB，GDB=ANB=90°，B=B，GBDABN，即，r=，四边形DFGE是矩形时O的半径为考点：切线的性质；矩形的性质96（2016江苏省扬州市）如图1，以ABC的边AB为直径的O交边BC于点E，过点E作O的切线交AC于点D，且EDAC（1）试判断ABC的形状，并说明理由；（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，C=75°，CD=，求O