高考数学专题复习——导数

1、2016年高考数学专题复习导数目录一、有关切线的相关问题二、导数单调性、极值、最值的直接应用三、交点与根的分布1、判断零点个数2、已知零点个数求解参数范围四、不等式证明1、作差证明不等式2、变形构造函数证明不等式3、替换构造不等式证明不等式五、不等式恒成立求参数范围1、恒成立之最值的直接应用2、恒成立之分离常数3、恒成立之讨论参数范围六、函数与导数性质的综合运用导数运用中常见结论(1)曲线yf(x)在xxo处的切线的斜率等于f(xo),且切线方程为yf(%)(x%)f)。(2)若可导函数yf(x)在xx0处取得极值，则f(xo)0。反之，不成立。对于可导函数f(x),不等式f(x)0(0)的解

2、集决定函数f(x)的递增(减)区间。(4)函数f(x)在区间I上递增(减)的充要条件是：xIf(x)0(0)恒成立(f(x)不恒为0).(5)函数f(x)(非常量函数)在区间I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值，则可等价转化为方程f(x)0在区间I上有实根且为非二重根。(若f(x)为二次函数且I=R，则有0)。(6)f(x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数，进而得到f(x)0或f(x)0在I上恒成立若xI,f(x)0恒成立，则f(x)min0；若xI,f(x)0恒成立，则f(x)max0(8)若x°I,使得f(x0)0,则f(x)max0；若x°I,使

3、得f(N)0,则f(x)min0.(9)设f(x)与g(x)的定义域的交集为D,若xDf(x)g(x)恒成立，则有f(X)g(x)min0.(10)若对xiIl、x2I2,f(xi)g(x2)恒成立，则f(x)ming(x)max.若对xiIi,乂2I2,使得f(xi)g(x2)，则f(x)ming(x)min.若对xiIi,x2I2,使得f(xi)g(x2),则f(x)maxg(x)max.(ii)已知f(x)在区间Ii上的值域为A,g(x)在区间I2上值域为B,若对xiIi,x212,使得f(xi)=g(x2)成立，则AB。(i2)若三次函数f(x)有三个零点，则方程f(x)0有两个不等实

4、根X、x2,且极大值大于0,极小值小于0.(13)证题中常用的不等式：lnxx1(x0)xx+1%ln(x+Dx(x1)ex1x1/(x1)2lnx2x11112(x0)22x2sinx<x(0<x<兀)lnx<x<x,e(x>0)、有关切线的相关问题例题、【2015高考新课标1,理21已知函数f(x)=x3ax-g(x)Inx.4，(l)当a为何值时，x轴为曲线yf(x)的切线；【答案】(i)a34跟踪练习:1、12011高考新课标1,理21已知函数f (x)a In xx 1b,曲线y xf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x 2y 30。(I)求a

5、、b的值;解：(I ) f'(x)(x_JxIn x)(x 1)2b2 xf(1)1,由于直线x 2y 30的斜率为且过点(1,1),故f'(1)1,22、(2013课标全国I ,理21)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;解：(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f'(0)=4,g'(0)=4.而f'(x)=2x+a,g'(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4

6、,b=2,c=2,d=2.3、(2014课标全国I,理21)设函数f(x0aex Inx 1 bex x曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线为ye(x1)2.(i)求a,b;【解析】：(i)函数f(x)的定义域为0,f(x)aexInxaexgex1-ex1xxx由题意可得f(1)2,f(1)e，故a1,b2二、导数单调性、极值、最值的直接应用(一)单调性1、根据导数极值点的相对大小进行讨论例题：【2015高考江苏，19】已知函数f(x)x3ax2b(a,bR).(1)试讨论f(x)的单调性；【答案】(1)当a 0时，f x在上单调递增;当a 0时，f x在-,0, 上单调递增，在32a

7、29,0上单调递减;3当a 0时，f x在 ，0 ,2a32a上单调递增，在0,刍上单调递减.3:解析<(r)=3.r令/国=0,解得芍=。，一3.当次=0时，因为/(上金or所以函薮可在一工工上单调理呜当八0时，*匕7=；口(口£|时，J0,即门£ju0,“、-%、所以函数'的在一工一三,1。二+工)上单调递增，在-；r=0；上单调抽嬴当a0时，x,0U丝，时，fx0,x0,2a时，fx0,33所以函数f x在 ,02a3上单调递增，在0,23a上单调递减.1a练习：1、已知函数f(x)lnxax1(aR).x一1、当a0时，讨论f(x)的单调性；答案：f

8、(x),1 al a 1lnx ax 1(x 0), f(x) a xx x2ax x a 12(xx0)11 axa令h(x)ax2x1a(x0)当a 0时，h(x)x1(x0),当x(0,1),h(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递减;当x(1,),h(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递增.1当a0时，由f(x)0,即ax2x1a0,解得x11出-1.a-1当a时x1x2,h(x)0恒成立，此时f(x)0,函数f(x)单倜递减；2、，一11当0a时，一110,x(0,1)时h(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递减;2a1 ，、c,，、八一、x(1-1)时，h(x)0,f(x)0

9、,函数f(x)单调递增；a1 一、x(-1,)时，h(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递减.a,1当a0时一10,当x(0,1),h(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递减；a当x(1,),h(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递增.综上所述：当a0时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,)单调递增;一1,、一、一，、，_、当a一时x1x2,h(x)0恒成立，此时f(x)0,函数f(x)在(0,)单调递减;2、一1.、1,、，1.、当0a时，函数f(x)在(0,1)递减，(1,一1)递增，(-1,)递减.2 aa,令函数 F (x) f (x) g(x). 1 ax2、已知a为实数

10、，函数f(x)(1ax)ex,函数g(x)当a0时，求函数F(x)的单调区间.解：函数F(x)0时,F(x)22ax2a1x2-e(1ax)22.22a1.a(x2)aex.(1ax)2(x)2a12-a当2a112时，F(x)1,一，1时，函数2F(x)的单调减区间为(,1)a(-,).a11分当12.1aa0时，解2a12-a得Xi2a1,x2a2a12a1a.令F(x)0,得x1(，X1)ax(x2,);令F(x)0,得x(、E).13分0时，函数F(x)的单调减区间为(,-)a2a1(a函数2a12a1F(x)单调增区间为(1,).15分当2a10,1,一，,时，由(2)知，函数2F(

11、x)的单调减区间为(，2)及(2,)2、根据判别式进行讨论例题：【2015高考四川，理21】已知函数f(x)2(xa)lnxx22ax2a2a,其中a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数，评论g(x)的单调性;1一时，g(x)在区间(0,4114a114a斗),(彳,)上单调递增,在区间(114a1'；4a)上单调递减;当1一时，g(x)在区间(0,)上单调递4增.【解析】(1)由已知，函数f(x)的定义域为(0,g(x)f(x)2x2a21nx2(1-),x，2a2 x,2所以g(x)22x2(x),2若a 0,由(1)知f(x)单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,)；若a

12、0,则为 0 x2 ,由 f (x) 0 ,得 x x1；由 f (x) 0 ,得 0 x 为.f(x)的单调减区间为(1 6 4a,)，单调增区间为21综上所述：当a< 1时，f(x)的单调减区间为(0,)；2(a1)2x)上单调递增,1114a、,114a当0a时，g(x)在区间(0,),(422114a114a、在区间(,)上单倜递减；22-1当a时，g(x)在区间(0,)上单调递增4练习：已知函数f(x)lnxxa,aR.x(1)求函数f(x)的单调区间;解：函数f(x)的定义域为(0,).2xxa2x令f(x)0,得x2xa0,记(i)当a<1时，f(x)<0,所以

13、4,1(ii)当a1时，由f(x)0得x41一.一右一a0,则为x20,4f(x)单调减区间为(0,);114a2，x214a"2，由 f (x)0,得0xx2,xx1；由f(x)0,得x2),单调增区间为所以，f(x)的单调减区间为(0,1淄4a),(14a2214a1.14a11 4a(2,)，f(x)单调减区间为(1 Ji 4a,)2单调增区间为当4a0时，f(x)的单调减区间为(O,Tpa)单调增区间为(1小4a,154a);10分2.已知函数f (x) a(x1一) x21n x (aR) 1r4a(。，2)求函数f(x)的单调区间;解：函数的定义域为0,f(x)a(11、

14、2)x2ax2xa2x(1)当a0时,h(x)2-ax2x0在(0,)上恒成立,则f(x)0在(0,)上恒成立，此时f(x)在(0,)上单调递减.(2)当a0时,4a2f(x)0,h(x)0,f(x)h(x)0,得11'.1a2a,1a21x-,1a2所以函数,、1_：1a2141a2f(x)的单调递增区间为(0,1"1a)和(1a,),单调递减区间为(ii)若a11、1a21.1a2(,)h(x)0在(0,)上恒成立，则f(x)0在(0,)上恒成立,此时f(x)在(0,)上单调递增.3、含绝对值的函数单调性讨论例题：已知函数f(x) x x1n x.(1)若a=1,求函数f

15、(x)在区间1,e的最大值；(2)求函数f(x)的单调区间;(3)若f(x)0恒成立，求a的取值范围解：(1)若a=1,则f(x)当x1,e时，f(x)x2xlnx,f(x)2x2x2x10,所以f(x)在1,e上单调增，f(x)maxf(e)(2)由于f(x)xxInxx(0,)a0时，则f(x)x2axIn2x2x2ax1x令f(x)(负根舍去)且当(0,x。)时,(x0,)时,f(x)0,所以f(x)在(0,a)上单调减，在(a；a284)上单调增.4分(五)当a0时,当xa时,f(x)2xa-x2x2ax1得x1a.a28a舍)，4a,(x)0,所以f(x)在(a,)上单调增;aa28

16、41,则当x(0,x1)时，f(x)0；当x(x1,)时,f(x)0,所以f(x)在区间(0,a广)一c在)上单调增.12x2ax1当0xa时，f(x)2xa-(x)则由f(x)0,0,f(x)0,0,2x2(0,X)时,fa2.2,2.2,(x)0；当xx4(x)8,0,故f(x)在(0,a)上单调减;“a28口八且0必x4a,4(x3,x4)时，f(x)0；当x的，)时,aa28所以f(x)在区间(0,)上是单倜减，在(4a.a28a、a28上单调增；在(a“a284)上单调减.综上所述，当a1时,f(x)单调递减区间是(0,a-8),f(x)单调递增区间4)；a2、2时,f(x)单调递减

17、区间是(0,a)f(x)单调的递增区间是(a,);2夜时，f(x)单调递减区间是(0,a28aa28、)和(,a),44f(x)单调的递增区间是(aa28aa28)和(a,).10分(3)函数f(x)的定义域为x(0,).由f(x)1nx*(0,1)时，xa>0Inx0,不等式*恒成立，所以aR；(ii)当xx1时，1a>0,叱0,x所以a1；12分(iii)当x1时，不等式*恒成立等价于ax"ln-x恒成立或ax叵x恒成立.令h(x)Inx，则h(x)x2x1Inx2x因为x1,所以h(x)0,从而h(x)1.因为a令g(x)lnx“恒成立等价于ax,2lnxx，则g(

18、x)x(h(x)min,所以再令e(x)2x1Inx1Inxx1则e(x)2x0在xx(1,)上恒成立，e(x)在x(1,)上无最大值.综上所述,满足条件的a的取值范围是(,1).16分2.设a为实数，函数f(x)(2)求函数f(x)的单调区间(2)(i)当心iQ时(雷】的单谶地区间为(一十,7分(M)当。V。时/()/一".四力/口)7！1一1>0恒成立所以F”)在(ig，+8)上单网连增，从而广门)的单洲地区间为-8,十8九9分(I)当时,当或工一区时./(工)3一口工因为/(I)=3j?-w=3(x+y)(X*所以当*一日或时/()>。从而fU)的单调增区间为_8，

19、_石)及(布上U分当一石<X<G时/”)H-/十"-令图片胫13>】S分除上所述巧U工。时,曲以人力的阜两增区间为q-8,+g)*当时，丽数八外的单黄岩区同为(一8.-兀)标.+oc).(一手，八月的单调款区间力5GLit（艮而*.4、分奇数还是偶数进行讨论例题：【2015高考天津，理20已知函数f(x)nxxn,xR,其中nN*,n2.(I)讨论f(x)的单调性；【答案】(I)当n为奇数时，f(x)在(，1),(1,)上单调递减，在(1,1)内单调递增；当n为偶数时，f(x)在(，1)上单调递增，f(x)在(1,)上单调递减.(II)见解析；(III)见解析.【解

20、析】匚由=m一,可得，其中量仁一7且花三3F面分两种情况讨诒:当可为奇数时;令，(,)二口，解得x=l或上=当2r变化时，广了的变化情况如下表y-i)(-11)/f(v)十/所以八巧在(-工1),Q-工)上单调强盗在C-L1)内单调濯唔(2)当n为偶数时，当f(x)0,即x1时，函数f(x)单调递增；当f(x)0,即x1时，函数f(x)单调递减.所以，f(x)在(，1)上单调递增，f(x)在(1,)上单调递减.5、已知单调区间求参数范围例题：(14年全国大纲卷文)函数f(x)=ax3+3x2+3x(aw0).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(1,2)是增函数，求a的取

21、值范围.解：(1)f(x)3ax26x3,f(x)3ax26x30的判别式=36(1-a).(i)若a>1,则f(x)0,且f(x)0当且仅当a=1,x=-1,故此时f(x)在R上是增函数.11a11a(ii)由于aw0,故当a<1时，f(x)0有两个根：x,a,x2a,aa若 0<a<1,则当 xC (,x2)或 xC (x1,)时，f (x) 0 ,故 f (x)在(X2), (Xi,)上是增函数;当 xC (X2, Xi)时，f (x)0 ,故f (x)在(X2, Xi)上是减函数;(2)当 a>0, x>0 时,f (x) 0,所以当a>0时，

22、f (x)在区间(1,2)是增函数.若a<0时，f (x)在区间(1,2 )是增函数当且仅当f (1) 0且f (2) 0 ,解得a 0.综上，a的取值范围是5，0)J (0,).二、极值(一)判断有无极值以及极值点个数问题例题：【2015高考山东，理21】设函数f x ln X 1a x2 x ,其中 a R.(i)讨论函数 f x极值点的个数，并说明理由;【解析】函数门泊二比(工+1) + #/一工|的定义域为(-L+X)广,、1、十由L】一口门% =+ 公一色=工十1"+1令 g 3 =一火+1-4，ire 1-1 -r '|当仪=0时，小)=1a0，门,动)0在

23、(T-h上恒成立所以，函皴/E在I T-工j上单调国增无极(2)当a 0时,a2 8a 1 a a 9a 8当0a8时，0,gx09所以，fx0,函数fx在1,上单调递增无极值;当a时，09设方程2ax2ax1a0的两根为x1,x2(x1x2),因为x1x2211所以，x11,x2144,一,一1由g110可得：1x11,40, f x 0 ,函数f x单调递增;x 0 ,函数f x单调递减；x 0 ,函数f x单调递增；所以，当x1,x1时，gx当xx1,x2时，gx0,f当xx2,时，gx0,f因此函数fx有两个极值点.(3)当a0时，0x 0 ,函数f x单调递增；x 0 ,函数f x单

24、调递减;由g110可得：x11,当x12时，gx0,f当xx2,时，gx0,f因此函数fx有一个极值点.综上：上有唯一极值点；a二时，函数f x在 1, 上无极值点；98一时，函数f x在 1,上有两个极值点；9:12015高考安徽，理21设函数f (x) x2 ax b.当a0时，函数fx在1,当0当a例题(i)讨论函数f(sinx)在(一,一)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值;22【解析】sin x(sin x a) b, 一 x 一.222(I)f(sinx)sinxasinxbf(sinx)'(2sinxa)cosx,一x.22因为一x一，所以cosx0,22sinx

25、2.当a22当a2,bR时，函数f(sinx)单调递减，无极值当2a2,在(，)内存在唯一的x0,使得2sinx0a.22xx0时，函数f(sinx)单调递减；x0x万时，函数f(sinx)单调递增.因此，2a2,bR时，函数f(sinx)在x0处有极小值一aa2f(sinxo)f(2)b4.(二)已知极值点个数求参数范围ex2例题：【14年山东卷(理)】设函数fx-yk(一lnx)(k为常数，e2.71828xx是自然对数的底数)(I)当k0时，求函数fx的单调区间；(II)若函数fx在0,2内存在两个极值点，求k的取值范围。-xx22xex21斛：(1)f(x)4k()xxx(x2)(ex

26、kx)(x0)x当k0时，kx0,-xkx0令f(x)0,则x2当x(0,2)时，f(x)单调递减；当x(2,)时，f(x)单调递增。(2)令gx-xkx则g'(x)-xk-xk,xInkg(0)1k0,g(0)102g'(2)-2k0,g2-22k0kgInk-lnkkInk0Ink1k-2综上：-的取值范围为(e,e)。2练习：1、【2014年天津卷(理)】己知酸检f（jc）口府（口EK,*t£J?.己知函被卜=/t一有四上零婚1,与1且为VK4*<1?<。时丁。豆）>0在网上金成立.“1倩，公】在度上用明遢上管.不舍触蚣:.（工）"?

27、0%由iw）=。.Wx=hi«7.当“焚化时”<1yJ./匚*1的重化情况如下费上jff-211y-Il<1一lliu(In%<»)+产aIn4Iizn-/*的单调电曰区1可悬k.Im0,隼5遢藏区同飞一Ino.一工.于三，”函教JX百四个不点”甯何干如下笔件同廿成立卡I*f（-Ina|>012"存在九W1x.In。I,满足3”存在与W（l犯口.-kJ*满足/i3：iVQ.由/tk0）>口*UPInaJ.>O.阳用。eoj4、，而此时，阳*二口.泄足jFj（-x.In41*且_f（q）=口vO1取=*-In亍曲是s-WlIn4f+x-S.口qyu:i«*-,ht3-/卜o.所以.门的即他能围金（。.声）.2、（2014湖南）（本小题满分13分）.一.一一.2x已知常数a0,函数f（x）ln（1ax）.x2（I）讨论f（x）在区间（0,）上的单调性;f（x2） 0,求a的取值范围（n）若f（x）存在两个极值点x1,x2,且f（为）【解析】（I） f' x1 ax24 1 axax2ax 4 a 12,(*)1 ax x 2,2因为1axx20,所以当1a0时,当a 1时，f' x 0,此时，函数f x在0,单调递增，当0a1时，f'