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文档简介
1、平面几何射影几何点 齐次表示:直线 二次曲线 ax+bxy+cy+dx+ey+f=0平行线 平行直线无交点 点 齐次表示:直线 齐次表示:二次曲线 其中二次曲线系数矩阵c:平行线 平行直线交与理想点无穷远线 所有理想点的集合 0cxxTTxxx),(321xTcba),(lfedecbdba2/2/2/2/2/2/c),( yx0cbyax1.1 平面几何与射影几何的对比:1.2 2D射影平面Tyx)0 ,(lT) 1 , 0 , 0(0lxTllxxxl1.2.1 点与直线: 结论1.1:点X在直线L上的充要条件是:结论1.2:两直线L和L的交点是点X:结论1.3:过两点X和X的直线L是:1
2、.2.2 理想点与无穷直线理想点的齐次表示:无穷直线的齐次表示: =射影平面的模型:oxl理想点2x3x1x结论1.4:对偶原理 2维射影集合中的任何定理都有一个对应的对偶定理,它可以通过互换定理中的点和线的作用而导出。射影平面的模型。 IP的点和线分别表示为过IR中过原点的射线和平面 。X1X2-上的射线表示理想点,而 x1x2- 平面表示 l1.2.3 二次曲线与对偶二次曲线二次曲线的切线:cxl 结论1.5 过(非退化)二次曲线C上点X的切线L由对偶二次曲线:结论1.6:对偶二次曲线C的切线L由0*lclT非退化二次曲线非满秩矩阵C所定义的二次曲线称作退化二次曲线,退化的点二次曲线包含两
3、条线(秩2)或一条重线(秩1)。1.3 射影变换定义1.7 射影映射射影映射是IP到它自身的一种满足下列条件的可逆映射h:三点x1,x2和x3共线当且仅当h(x1),h(x2)和h(x3)也共线。 射影映射组成一个群群。定理1.8 映射h:IP IP是射影映射的充要条件是:存在一个3X3的非奇异矩阵H,使得IP的任何一个用矢量X表示的点都满足h(X)=HX。定义1.9 射影变换就是X=HX1.3.1 直线与二次曲线的变换直线的变换:lHlT二次曲线的变换:在点变换X=HX下, 1HHTcc结论1.10 在点变换X=HX下,对偶二次曲线 变化为*CTHHCC*1.4 变换的层次等距变换相似变换仿
4、射变换射影变换射影变换的层次图1.4.1 等距变换1100cossinsincos1yxttyxyx等距变换的矩阵表示:其中 1简洁的分块形式写为:xotRxHxTE1等距变换就是图形进行一个旋转和位移得到另一个图形的过程。等距变换失真情况1.4.2 相似变换相似变换的矩阵表示:1100cossinsincos1yxtsstssyxyx简洁的分块形式写成:xosRxHxTS1t其中s为缩放量,。等距变换的不变性质不变性质:长度,面积相似变换就是在等距变换的基础上进行了一个S的缩放。相似变换失真情况相似变换的不变性质不变性质:长度比,夹角,虚圆点。1.4.3 仿射变换仿射变换是一个非奇异线性变换
5、与一个平移变换的复合。它的矩阵表示为:1100122211211yxtaataayxyx它的分块形式:x1tAxxT0AH可以把仿射变换中A看作两个基本变换旋转和非均匀缩放的复合。仿射变换的失真情况仿射变换的不变性质不变性质:平行,面积比,共线线段或平行线段的长度比,矢量的线性组合1.4.4 射影变换射影变换的分块形式:xvtAxHxTPv射影变换是在仿射变换的基础上进行的非线性的缩放。它的不变性质不变性质:共点,共线,接触的阶:相交;相切;拐点;切线不连续性和歧点。交比。1.5 1D射影几何交比交比 交比是射影不变量。给定4个点 ,交比定义为:ix42314321)(xxxxxxxxCros
6、s4321x,x,x,x在任何直线的射影变换下,交比的值不变:如 则:xHx2X2),(),(43214321xxxxCrossxxxxCross1.6 从图像恢复仿射和度量性质1.6.1 无穷远线l1001001AtoAlHlTTTTA结论1.11 由上式可知在射影变换H下,无穷远直线为不动直线的充要条件是H是仿射变换。1.6.3 虚圆点及其对偶在相似变换下,无穷远直线上有两个不动点,它们是虚圆点I,J,其标准坐标是:oioi11JI结论1.12 在射影变换H下的,虚圆点I和J为不动点的充要条件是H是相似变换。01100cossinsincositsstssyxIHIsI01isei与虚圆点
7、对偶的二次曲线 二次曲线TT*JIIJC与虚圆点对偶。这条曲线是由虚圆点构成的退化的线二次曲线。*TS*S*CHCHCT*HHCC xHxS因为对偶二次曲线变换遵循结论 ,可以验证在点相似变换 下:结论1.13 对偶二次曲线 在射影变换H下不变的充要条件是H是相似变换。*C1.6.4 射影平面上的夹角结论1.13 一旦二次曲线 在射影平面上被辨认,那么欧氏角可以测量,公式为:*C)(cos*mCmICImCITTT结论1.14 如果 ,则直线I和m正交。0mCI*T1.6.5 由图像恢复度量性质结论1.15 在射影平面上,一旦 被辨认,那么射影失真可以矫正到相差一个相似变换。 *C1.7 二次曲线的其他性质1.7.1极点-极线关系点X和二次曲线C定义一条直线L=CX。L称为X关于C
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