考研数三完整版(历年真题+答案详解)之_2006年真题

1、2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题 ：1 6 小题，每小题4 分，共 24 分 . 把答案填在题中横线上.n1 n1（ 1） lim_.n n（ 2）设函数 f ( x) 在 x2 的某邻域内可导,且 fxef x， f21，则 f2.（ 3 ） 设 函 数 f (u)可 微 , 且 f01, 则 zf4x2y2在点(1,2)处的全微分2dz 1,2_.（4）设矩阵 A21， E 为 2 阶单位矩阵，矩阵B满足BAB2E，则 B.12（5）设随机变量X与Y 相互独立，且均服从区间0,3 上的均匀分布，则P max X , Y1_.（ 6）设总体 X 的概率密度为 f

2、x1 exx, X1, X2, X n 为总体 X 的简2单随机样本，其样本方差为S2 ，则 ES2_.二、选择题： 7 14 小题，每小题 4分，共 32 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（ 7）设函数 yf (x) 具有二阶导数， 且 f(x)0, f( x)0 ， x 为自变量 x 在点 x0 处的增量，y与 dy 分别为 f (x) 在点 x0 处对应的增量与微分，若x0 ，则(A)0dyy .(B)0ydy .(C)ydy0 .(D)dyy0 .（ 8）设函数fx在 x0 处连续，且f h2，则limh21h0(A)f00且 f

3、0存在(B)f01且 f0存在(C)f00且 f0存在(D)f01且 f0存在- 1 -（ 9）若级数an 收敛，则级数n 1(A)an 收敛 .（ B）(1)n an 收敛 .n 1n1(C)an an1收敛 .(D)anan 1 收敛 .n 1n 12（ 10）设非齐次线性微分方程yP(x) yQ( x) 有两个不同的解y1 ( x), y2 (x), C 为任意常数，则该方程的通解是（） Cy1 ( x)y2 (x) .（） y1 (x) C y1 ( x)y2 ( x) .（） Cy1 ( x)y2 ( x) .（） y1 (x)C y1 ( x)y2 ( x)（ 11）设 f ( x

4、, y)与 ( x, y) 均为可微函数，且y( x, y)0 ，已知 ( x0 , y0 ) 是 f ( x, y) 在约束条件 (x, y)0 下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若 f x ( x0 , y0 )0 ，则 f y ( x0 , y0 )0.(B)若 fx ( x0 , y0 )0，则 f y ( x0 , y0 )0 .(C)若 fx ( x0 , y0 )0，则 f y ( x0 , y0 )0 .(D) 若 fx ( x0, y0 )0 ，则 f y (x0 , y0 )0 .（12）设1, 2,s 均为 n 维列向量， A 为 mn 矩阵，下列选项正确的是(A)若

5、1,2,s线性相关，则A1, A2 , A s 线性相关 .(B)若1,2,s线性相关，则A1, A2 , A s 线性无关 .(C)若1,2,s 线性无关，则A1, A2 , As 线性相关 .(D)若 1,2 ,s 线性无关， 则 A 1 , A 2 , As 线性无关 .（ 13）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第1行得 B，再将 B的第 1列的1倍加到第 2110列得C，记 P010，则001（） C P 1AP.（） C PAP 1.- 2 -（） C PTAP .（） C PAP T.（ 14）设随机变量 X 服从正态分布N( 1,12) ， Y 服从正态分布 N(

6、2 ,22)，且PX11PY 2 1则必有(A)(C)1 212(B)(D)1212三 、解答题： 15 23小题，共 94 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（ 15）（本题满分7 分）xy1 y sin设 fx, yy , x 0, y 0 ,求1 xyarctan x( )g xlimfx, y ；y( )lim g x .x 0（ 16）（本题满分 7 分）计算二重积分y2xydxdy ，其中 D 是由直线 yx, y1, x0 所围成的平面区域 .D（ 17）（本题满分 10分）证明：当 0 ab时，b sin b2cos bba sin a2cos aa .（ 18）

7、（本题满分 8 分）在 xOy 坐标平面上，连续曲线L过点 M1,0 ，其上任意点Px, yx 0处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于ax （常数 a>0 ） .() 求 L 的方程；( ) 当 L 与直线 yax 所围成平面图形的面积为8 时，确定 a 的值 .3（ 19）（本题满分 10分）n 1x2n 11的收敛域及和函数s( x) .求幂级数2n1n 1 n（ 20）（本题满分 13分）1a,1,1,1TT,3,3,3T设 4维向量组1,22, 2 a, 2,23a,3 ,T，问 a 为何值时1, 2,3 ,4 线性相关 ?当 1,2 ,3 ,4 线性相关时 ,求4 4 ,

8、4 , 4 , 4a其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.- 3 -（ 21）（本题满分13 分）设 3 阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为TT3,向量 11,2, 1 , 20, 1,1 是线性方程组Ax0 的两个解 .( )求 A 的特征值与特征向量；( )求正交矩阵 Q 和对角矩阵,使得 QT AQ；（）求A及A3E26，其中 E 为 3 阶单位矩阵 .（ 22）（本题满分 13 分）设随机变量 X 的概率密度为1,1 x02f X x1,0x2 ，40,其他令 YX 2 , Fx, y 为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数 .( )求 Y 的概率密度fYy

9、 ；( ) Cov( X , Y) ；1()F,4 .2（ 23）（本题满分 13 分）设总体 X 的概率密度为,0x1,f x;1,1 x 2,0,其他 ,其中是未知参数01 ， X1, X 2., X n 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值 x1 , x2 ., xn 中小于 1 的个数 .（）求的矩估计；（）求的最大似然估计- 4 -2006 年考研数学（三）真题解析二、 填空题 ：1 6 小题，每小题4 分，共 24 分 . 把答案填在题中横线上.n1 n1（ 1） lim1.n n【分析 】将其对数恒等化Neln N 求解 .1 nlnn 1 ( 1) nlim ( 1)n

10、 lnn1【详解 】 limn1nn，lim eennnn而数列 ( 1)n有界， lim lnn10 ，所以 lim(1)n ln n 10 .nnnnn 11 n1.故 lime0n n（ 2）设函数 f (x) 在 x2 的某邻域内可导 ,且 fxe f x ， f 21，则 f 2 2e3.【分析 】利用复合函数求导即可 .【详解 】由题设知，fxe f x，两边对 x 求导得fxef x f ( x) e2 f x ，两边再对 x 求导得f( x)2e2 f x f ( x)2e3 f x，又 f 21，故 f (2) 2e3 f 22e3 .（ 3 ） 设 函 数f (u)dz 1

11、,24dx2dy.可 微 , 且 f 01, 则 zf 4x2y2在点(1,2)处的全微分2【分析 】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.z【详解 】方法一：因为xzy(1,2)f (4 x2y2 ) 8x (1,2)4 ，(1,2)f (4 x2y2 )2 y(1,2)2 ，所以 dz 1,2zdxzdy4dx 2dy .x 1,2y 1,2- 5 -方法二：对zf4x2y2微分得dzf(4x2y2 )d(4 x2y2 )f (4 x2y2 ) 8xdx 2 ydy ，故 dz 1,2f (0)8dx2dy4dx2dy .（ 4）设矩阵 A21B 2E，则B2 .1，E为2阶单位矩

12、阵，矩阵 B满足 BA2【分析 】 将矩阵方程改写为AX B或XAB或 AXBC 的形式， 再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可 .【详解】由题设，有B( AE) 2EBA E4，而 A112，所以 B2.于是有E11（ 5）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则P max X , Y11.9【分析 】 利用 X 与 Y 的独立性及分布计算 .【详解】由题设知， X 与 Y 具有相同的概率密度10x3f (x),3.0,其他则 P max X ,Y1 P X1,Y1P X1PY 11 12PX121dx.0 39【评注 】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：-

13、 6 -则 P maxX ,Y1PX1,Y1S阴1S.9（ 6）设总体 X 的概率密度为f x1e xx, X1, X 2 , , X n 为总体 X 的简2单随机样本，其样本方差为S2 ，则 ES22.【分析 】利用样本方差的性质ES2DX 即可.【详解 】因为EXxf (x)dxx e x dx0 ，2EX 2x2 f ( x)dxx2e x dx0x2 e xdxx2 e x02 xe xdx202xe x02e xdx 2e x02 ，0所以 DXEX 22202 ，又因 S2 是 DX 的无偏估计量，EX所以 ES2DX2 .二、选择题： 7 14 小题，每小题 4分，共 32 分

14、. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（ 7）设函数 yf (x) 具有二阶导数， 且 f(x)0, f( x)0 ， x 为自变量 x 在点 x0 处的增量，y与 dy 分别为 f (x) 在点 x0 处对应的增量与微分，若x0 ，则(A) 0dyy .(B)0y dy .(C)y dy0 .(D)dyy0 .【分析 】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】由 f ( x)0, f( x)0知，函数f (x) 单调增加，曲线yf (x) 凹向， 作函数 yf ( x) 的图形如右图所示， 显然当x0时，- 7 -y dyf( x0 )

15、dxf ( x0 )x0 ，故应选 ( ).（ 8）设函数fx在 x0 处连续，且fh2，则limh21h0(A)f 00且 f0存在(B)f01且 f0存在(C) f00且 f0存在(D)f01且 f0存在Cfh21 入手计算 f (0)f(0),f(0)【分析 】从 limh2，利用导数的左右导数定义判定h0的存在性 .fh2知， limfh20 .又因为 fx在 x0 处连续，则【详解】由lim21h0h0hf (0)lim f ( x)lim f h20.x 0h0h2 ，则fh2ftf (0)令 t1lim2limf (0) .h0ht0t所以 f(0)存在，故本题选（C） .（ 9

16、）若级数an 收敛，则级数n 1(A)a收敛 .（B）(1)n an收敛 .nn 1n 1(C)an an1收敛 .(D)anan 1 收敛 . n 1n 12【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】由an 收敛知an 1 收敛，所以级数anan 1收敛，故应选 ( ).n1n1n12或利用排除法：取 an(1) n 1，则可排除选项（） ，（）；n取 an(1)n 1，则可排除选项（）.故（）项正确 .n（ 10）设非齐次线性微分方程yP(x) yQ( x) 有两个不同的解y1 ( x), y2 (x), C 为任意常- 8 -数，则该方程的通解是（） C y1 ( x)y2 (x

17、) .（） y1 ( x)C y1 (x)y2 (x) .（） C y1 ( x)y2 ( x) .（） y1( x)C y1( x)y2 ( x)【分析 】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解 】由于 y1 ( x)y2 (x) 是对应齐次线性微分方程yP( x) y0 的非零解，所以它的通解是YC y1 (x)y2 (x) ，故原方程的通解为yy1 ( x)Yy1( x)C y1 ( x)y2 (x) ，故应选 ( ).【评注 】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：yy *Y .其中 y * 是所给一阶线性微分方程的特解，Y 是对应齐次微分方程的通解.（ 11）

18、设 f ( x, y)与( x, y) 均为可微函数，且y ( x, y)0 ，已知 ( x0 , y0 ) 是 f ( x, y) 在约束条件(x, y)0 下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若 f x ( x0 , y0 )0 ，则 f y ( x0 , y0 )0 .(B)若 fx ( x0 , y0 )0 ，则 f y ( x0 , y0 )0 .(C)若 fx ( x0 , y0 )0 ，则 f y ( x0 , y0 )0 .(D) 若 fx ( x0, y0 )0 ，则 f y (x0 , y0 )0 . 【分析 】 利用拉格朗日函数F (x, y,)f ( x, y)(x,

19、 y) 在 ( x0 , y0 , 0 )（0 是对应x0 , y0 的参数的值）取到极值的必要条件即可.【详解 】作拉格朗日函数F ( x, y,) f (x, y)( x, y) ，并记对应 x0 , y0 的参数的值为0，则Fx ( x0, y0 , 0)0f x ( x0 , y0 )0x ( x0 , y0 ) 0， 即.Fy ( x0, y0 , 0)0f y (x0 , y0 )0y ( x0 , y0 ) 0消去0，得fx ( x0 , y0 )y ( x0 , y0 )f y (x0 , y0 )x ( x0 , y0 )0 ,- 9 -整理得 fx ( x0 , y0 )1

20、( x0 , y0 ) x(x0 , y0 ) .（因为y ( x, y) 0 ），f yy(x0 , y0 )若 fx ( x0 , y0 )0 ，则 f y ( x0 , y0 ) 0 .故选（） .（12）设 1,2 , , s 均为 n 维列向量， A 为 m n 矩阵，下列选项正确的是(C)若1 ,2 ,s线性相关，则A 1,A2 , A(D)若1 ,2 ,s线性相关，则A 1,A2 , As 线性相关 .s 线性无关 .(C)若1,2,s 线性无关，则 A1,A 2, As 线性相关 .(D)若 1,2 ,s 线性无关，则 A1,A 2, As 线性无关 .A 【分析 】 本题考查

21、向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】记B( 1 , 2 , , s ) ，则 ( A 1 , A 2 , , A s ) AB .所以，若向量组1,2 , s 线性相关，则r (B)s ，从而 r ( AB) r (B)s ，向量组A 1,A 2, As 也线性相关，故应选 ( ).（13）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的1倍加到第 2110列得C，记 P010 ，则001（） CP 1AP.（）（） CPTAP .（）CPAP 1.CPAPT.【分析 】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【

22、详解 】由题设可得11011011011B 010 A ,CB010010A0 1，0001001001001110而 P 1010，则有 CPAP 1.故应选（） .001（ 14）设随机变量X服从正态分布 N (1, 12 ) ， Y 服从正态分布N( 2, 22)，且-10-PX11PY21则必有(B)(C)1 212(B)(D)1 212A【分析 】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解 】 由题设可得PX11PY21，1122则 211 211，即11.1212其中(x) 是标准正态分布的分布函数 .又 ( x) 是单调不减函数，则112 .，即112故选 (A).三 、解

23、答题： 15 23 小题，共 94分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（ 15）（本题满分7 分）1 y sinxyy , x 0, y设 fx, y0 ,求1 xyarctan x( )g xlim fx, y；y( )lim gx .x 0【分析 】第 ( )问求极限时注意将 x 作为常量求解，此问中含,0型未定式极限；第( ) 问需利用第 ( ) 问的结果，含未定式极限 .1xyysin【详解】( )g xlimfx, ylimy1xyarctan xyy-11-sinx1y1lim1y11 x1.yxarctanxxarctanxy( )lim g xlim11xlim a

24、rctanxxx2（通分）x 0x 0xarctan xx 0x arctanxlim arctanx2112x22lim 1 x2xx2xlimx2x(1 x)x0x2x0x02x（ 16）（本题满分7 分）计算二重积分y2xydxdy ，其中 D 是由直线 yx, y1, x0 所围成的平面区域 .D【分析 】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可.【详解 】积分区域如右图 .因为根号下的函数为关于x 的一次函数，“先 x 后 y ”积分较容易，所以y2xydxdy1yy2xydxdy0D021 132 12y2xyydy230 y2 03 0y dy9（ 17）（本题满分10 分）证明：

25、当 0a b时，b sin b2cos bba sin a2cos aa .【分析 】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解 】 令 f ( x)x sin x2cos xxasin a2cos aa,0axb，则f(x)sin x x cos x2sin xx cos x sin x，且 f ()0.又f( x)cos xx sin xcos xxsin x0 ，（0x时,nxisx0），故当 0axb时， f( x) 单调减少， 即 f ( x)f()0，则 f (x) 单调增加，于是 f (b)f (a)0 ，即b sin b2cos bba sin a2cos

26、 aa .-12-（ 18）（本题满分8 分）在 xOy 坐标平面上，连续曲线L过点 M1,0 ，其上任意点P x, y x0 处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax （常数 a>0 ） .() 求 L 的方程；( )当 L 与直线 yax 所围成平面图形的面积为8 时，确定 a 的值 .3【分析 】 ( )利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；( )利用定积分计算平面图形的面积，确定参数 .【详解】( )设曲线 L 的方程为 yf ( x) ，则由题设可得yyax ，这是一阶线性微分方程，其中P( x)1 , Q (x)ax ，代入xx通解公式得y1dx1d xCx axCax2Cx ，e xaxe xdx又 f (1) 0，所以Ca.故曲线 L 的方程为yax2ax ( x 0) .( )L 与直线 yax （ a>0 ）所围成平面图形如右图所示 .所以2axax2axdxD02xx2dx4 a8 ，a2033故 a 2 .（ 19）（本题满分 10 分）n 1x2n 11求幂级数的收敛域及和函数 s( x) .n 1 n 2n1【分析 】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解 】记 un ( x)( 1)n 1 x2 n 1n(2n 1)，则(1)n