143正切函数的性质与图象 (2)

1、明则明则 致远致远 弘毅弘毅 至善至善1.4.3 正切函数的性质与图象正切函数的性质与图象明则明则 致远致远 弘毅弘毅 至善至善1.1.正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？ 2.2.正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？这些正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？这些性质是怎样得到的？性质是怎样得到的？ 然后再利用其周期性，把该段图象向左、右进然后再利用其周期性，把该段图象向左、右进行扩展，即得到整个定义域内的图象行扩展，即得到整个定义域内的图象. . 通过平移正弦线得到正弦函数在通过平移正弦线得到正弦函数在 的图象的图象, ,再通过诱导公式和平移正弦函数

2、的图象得到余弦函数再通过诱导公式和平移正弦函数的图象得到余弦函数的图象的图象. .0,2 定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性. .这些这些性质是通过研究其图象得到的性质是通过研究其图象得到的. .明则明则 致远致远 弘毅弘毅 至善至善三角函数包括正、余弦函数和正切函三角函数包括正、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正、余弦函数的数，我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质，图象和性质， 因此因此, , 进一步研究正切进一步研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然函数的性质与图象就成为学习的必然. . 明则明则 致远致远 弘毅弘毅 至善至善1 1. .通过画图

3、理解并掌握作正切函数图象的方法；通过画图理解并掌握作正切函数图象的方法；2 2. .观察图像，掌握正切函数的性质（观察图像，掌握正切函数的性质（定义域、值域、定义域、值域、 周期性、奇偶性、单调性周期性、奇偶性、单调性）及其应用；）及其应用；（重点）（重点）3 3. .能用正切函数的图象解最简三角不等式能用正切函数的图象解最简三角不等式. （难点）（难点）明则明则 致远致远 弘毅弘毅 至善至善三角函数线三角函数线y yx xo o MMP PA(1,0)A(1,0)T TMPMP是正弦线是正弦线OMOM是余弦线是余弦线 AT AT是正切线是正切线y yx xo o MMP PA AT Ty y

4、x xo oMMP PA AT Ty yx xo oP PMMA AT T明则明则 致远致远 弘毅弘毅 至善至善的图象数现在利用正切线画出函)2,2(,tanxxy111oxy02442明则明则 致远致远 弘毅弘毅 至善至善利用正切函数的周期性,把图象向左,右扩展,得到正切函数并把它的图象且,)( ,2,tanZkkxRxxy叫做正切曲线.xy0223223xy0223223明则明则 致远致远 弘毅弘毅 至善至善正切函数图象的简单画法： 三点两线法.“三点”:1414)0 , 0(，）、，、（“两线”:22xx和xy0223223441-1明则明则 致远致远 弘毅弘毅 至善至善 结合正切函数图

5、像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性奇偶性和单调性xy0223223xy0223223明则明则 致远致远 弘毅弘毅 至善至善思考思考1 1：正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？思考思考2 2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？期函数吗？其最小正周期为多少？(kkk2 因为因为f(x)tan(x) tanxf(x),所以所以y=tanxy=tanx是周期函数是周期函数, , 最小正周期是最小正周期是.探

6、究点探究点 正切函数的性质正切函数的性质提示提示:提示提示:明则明则 致远致远 弘毅弘毅 至善至善思考思考3 3：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？有奇偶性吗？由诱导公式由诱导公式 知知tan( x)tanx,xR,xk ,k2 正切函数是奇函数，图象关于原点对称正切函数是奇函数，图象关于原点对称. .提示提示:明则明则 致远致远 弘毅弘毅 至善至善思考思考4 4：观察图中的正切线，当观察图中的正切线，当角在角在 内增加时，正切内增加时，正切函数值发生什么变化？由此反函数值发生什么变化？由此反映出一个什么性质？映出一个什么性质？(,)2 2 T

7、 T1 1xyA AT T2 2O函数值先由函数值先由-0-0再由再由0+0+；正切函数在；正切函数在内是增函数内是增函数. .2 2 （-,）提示提示:明则明则 致远致远 弘毅弘毅 至善至善思考思考5 5：结合正切函数的周期性，思考正切函数的结合正切函数的周期性，思考正切函数的单调性如何？单调性如何？正切函数在开区间正切函数在开区间 内都是增函数内都是增函数 (kkk2 思考思考6 6：正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？正切函数会不会在某一区间内是减函数？不是不是 不会不会提示提示:提示提示:明则明则 致远致远 弘毅弘毅

8、至善至善思考思考7 7：当当x x大于大于 且无限接近且无限接近 时，正切值如何变化？时，正切值如何变化？当当x x小于小于 且无限接近且无限接近 时时, , 正切值又如何变化？由此分正切值又如何变化？由此分析，正切函数的值域是什么析，正切函数的值域是什么? ?2222T T1 1OxyA AT T2 2O 当当 大于大于 且无限接近且无限接近 时时, ,正切正切 线线ATAT向向y y轴的负方向无限延伸；轴的负方向无限延伸；22x当当 小于小于 且无限接近且无限接近 时正切线时正切线 ATAT向向y y轴的正方向无限延伸轴的正方向无限延伸. .22x 在在( ( ， ) )内可以取任意实数，

9、内可以取任意实数， 但没有最大值、最小值但没有最大值、最小值. .22tan x正切函数的值域是正切函数的值域是R提示提示:明则明则 致远致远 弘毅弘毅 至善至善正切函数的性质正切函数的性质1.1.定义域：定义域：x | xk ,k.2 2.2.值域：值域：R3.3.周期性：周期性：正切函数是周期函数，周期为正切函数是周期函数，周期为 . 5.5.单调性：单调性：正切函数在开区间正切函数在开区间 内都是增函数内都是增函数. . (k ,k ),k22 4.4.奇偶性：奇偶性：正切函数是奇函数，图象关于原点对称正切函数是奇函数，图象关于原点对称. .明则明则 致远致远 弘毅弘毅 至善至善例例1.

10、1.求函数求函数 的定义域、周期和单调区间的定义域、周期和单调区间. .ytan(x)23解：解：函数的自变量函数的自变量x x应满足应满足xk,k,232 即即1x2k,k.3 所以，函数的定义域是所以，函数的定义域是1x | x2k,k.3 由于由于f(x)tan(x)tan(x)2323tan223x2 ,f x因此函数的周期为因此函数的周期为2.2.明则明则 致远致远 弘毅弘毅 至善至善由由kxk ,k2232 解得解得512kx2k,k.33 因此，函数的单调递增区间是因此，函数的单调递增区间是51(2k,2k),k.33 掌握正切函掌握正切函数的性质是数的性质是解决此类问解决此类问

11、题的关键题的关键明则明则 致远致远 弘毅弘毅 至善至善【变式练习变式练习】明则明则 致远致远 弘毅弘毅 至善至善明则明则 致远致远 弘毅弘毅 至善至善 正切函数的图像和性质正切函数的图像和性质 例例2不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小： （1） 与与 ； 167tan173tan（2） 与与 411tan 513tan明则明则 致远致远 弘毅弘毅 至善至善的足下列条件的观察正切曲线，写出满x.值的范围0tan)3( , 0tan)2( , 0tan) 1 (xxx,).2(kx )(Zk)(),2,().3(Zkkkx)(),2().1 (Zkkkxxy0223223解：明则