有理数的巧算1

1、【知识要点】【知识要点】1.有理数运算是中学数学中一切运算的基础在理解有理数运算是中学数学中一切运算的基础在理解有理数的有关概念、法则，根据法则、公式等正确、有理数的有关概念、法则，根据法则、公式等正确、迅速地进行运算的基础上了解巧算迅速地进行运算的基础上了解巧算.2.进一步熟练掌握有理数的混合运算的方法，寻找其进一步熟练掌握有理数的混合运算的方法，寻找其中规律，仔细计算，提高运算能力，利用去括号和添中规律，仔细计算，提高运算能力，利用去括号和添括号的法则使有理数的计算简化括号的法则使有理数的计算简化.3.知道应用拆项法来解决有关有理数知道应用拆项法来解决有关有理数的计算问题的计算问题. 【数

2、学小故事】【数学小故事】酒的坛子数酒的坛子数第一层第一层 有个，第二层有个，第二层 有个，第三层有有个，第三层有 个个 ；这样依次类推，每下去一层，长和宽两边的坛子就这样依次类推，每下去一层，长和宽两边的坛子就各增一个，这样一共有各增一个，这样一共有7层层 4848951061069584) 19)(15(95) 19() 15(137213521953195959519595发现规律了吗？发现规律了吗？128117106958411061062102261061061106106210226106)210()26() 110() 16(106) 110() 16()210()26(22310

3、)12(2106522如果是七层、九层，如果是七层、九层，怎么算？怎么算？.例例1: 计算计算（1）211555+445789+555789+21144535217106253121147642321)2(. （1）解）解 原式=(211555+211445)+(445789+555789)=211(555+445)+(445+555)789=2111000+1000789=1000(211+789)=1 000 000)7772221 (531)7772221 (32152 =（2）解）解原式=1括号的使用括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，在代数运算中，可以根据运算法则和运

4、算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单使复杂的问题变得较简单 例例2： 计算：计算：S=1-2+3-4+(-1)n+1n22) 1(nns解解 S=(1-2)+(3-4)+(-1)n+1n下面需对下面需对n的奇偶性进行讨论：的奇偶性进行讨论：当当n为偶数时，上式是为偶数时，上式是n2个个(-1)的和，所以有的和，所以有当当n为奇数时，上式是为奇数时，上式是(n-1)2个个(-1)的和，再加上的和，再加上最后一项最后一项(-1)n+1n=n，所以有，所以有分析：不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为分析：不难看出这个算式

5、的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为或为“-1”如果按照将第一、第二项，第三、第四项，如果按照将第一、第二项，第三、第四项，分别配对的方式计算，分别配对的方式计算，就能得到一系列的就能得到一系列的“-1”，于是一改，于是一改“去括号去括号”的习惯，而取的习惯，而取“添括号添括号”之法之法例例3 在数在数1，2，3，2010前添符号前添符号“+”和和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？解：解： (1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(2005-2006-2007+2008)-2009+2010=1所以，所求最小非负数是所以，所求最小非负数是

6、1分析：因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在分析：因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，2010之前任意添加符号之前任意添加符号“+”或或“-”，不会改变和的奇偶性在，不会改变和的奇偶性在1，2，3，2010中有中有20102个奇数，即有个奇数，即有1005个奇数，所以任意添个奇数，所以任意添加符号加符号“+”或或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小负数不小于之后，所得的代数和总为奇数，故最小负数不小于1现考虑在自然数现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号之间添加符号“+”或或“-”，显然显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0

7、这启发我们将这启发我们将1，2，3，2010每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即可每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即可.添括号是为了造出一系列的添括号是为了造出一系列的“零零”，这种，这种方法可使计算大大简化方法可使计算大大简化 2 拆项法的应用拆项法的应用2121434000)322010()65例例4 计算：计算：（1）（-2011201120101.431321211)2( =直接计算很麻烦直接计算很麻烦如何巧算能计算如何巧算能计算简化呢？简化呢？（1）（-20112121434000)322010()65)2121()434000()32()2010()65()2

8、011(2143)32()65(214000)2010()2011(4141解解 原式原式= = =0+（-）=-（1）分析：这是我们现在六年级同学在有理数加减）分析：这是我们现在六年级同学在有理数加减运算中的常见题型，如果我们把每个带分数拆成整数运算中的常见题型，如果我们把每个带分数拆成整数和分数之和，然后再把整数和分数部分分别相加，可和分数之和，然后再把整数和分数部分分别相加，可使计算简化，这中方法叫使计算简化，这中方法叫拆项法拆项法 201120101.431321211)2(解解 由由于所以所以20112010201111)2011120101(.41313121211）（）（）（原式分析分析 一般情况下，分数计算是先通分本题一般情况下，分数计算是先通分本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式，把每一项拆成两项之差利用如下一个关系式，把每一项拆成两项之差，然后再计算，这也是一种，然后再计算，这也是一种拆项法拆项法【练习【练习】计算