§7.1-微分方程的基本概念

1、整理课件1第十二章第十二章 常微分方程常微分方程本章仅研究一元函数的常微分方程本章仅研究一元函数的常微分方程. . 一般形式为一般形式为: : F(x,y,yF(x,y,y ,.,y,.,y(k) (k) )=0)=0整理课件2 单摆运动单摆运动是数学、力学常引用的动力学系统的典型例子。是数学、力学常引用的动力学系统的典型例子。伽利略伽利略早已注意到早已注意到一个单摆完成一个往复运动所需时间是常数一个单摆完成一个往复运动所需时间是常数（当摆幅很小时）。他认为这一点对设计新型时钟很有用。（当摆幅很小时）。他认为这一点对设计新型时钟很有用。惠更斯惠更斯（1629-16751629-1675）的研究

2、给出了无阻尼自由单摆运动的）的研究给出了无阻尼自由单摆运动的微分方程：微分方程：)sin()(, 0sin22 tlgAtlgdtd其其解解为为是一简谐运动。是一简谐运动。 由于摆动周期与重力加速度有关，则在技术上可通过由于摆动周期与重力加速度有关，则在技术上可通过测量地球的不同地点的单摆周期，来计算该点处的重力加测量地球的不同地点的单摆周期，来计算该点处的重力加速度，从而推测地球表面的形状。速度，从而推测地球表面的形状。整理课件3 跳伞问题跳伞问题是微分方程中的常见例子。运动员在跳塔上以是微分方程中的常见例子。运动员在跳塔上以初速度初速度v v0 0=0=0下落，所受空气阻力与速度下落，所受

3、空气阻力与速度v v成正比。设重力成正比。设重力加速度为常数，则由牛顿第二定律：加速度为常数，则由牛顿第二定律：)1()(,tmkekmgtvkvmgdtdvm 其其解解tmkekmgvtkmgtss )()(, 0)0(0则则设设（*）（* *）是给出了当）是给出了当 s=s=常数常数 时，下降到达时间与时，下降到达时间与v v0 0的关系。的关系。若提出到地面的时间，则可以从（若提出到地面的时间，则可以从（* *）求出相应的初速度）求出相应的初速度v v0 0。整理课件4例例 1 1 一一曲曲线线通通过过点点(1,2),且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点),(yxM处处的的切切线线的的斜

4、斜率率为为x2,求求这这曲曲线线的的方方程程.解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 xdxy22,1 yx时时其中其中,2Cxy 即即, 1 C求得求得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为12.1 12.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念整理课件5例例 2 2 列列车车在在平平直直的的线线路路上上以以 2 20 0 米米/ /秒秒的的速速度度行行驶驶, ,当当制制动动时时列列车车获获得得加加速速度度4 . 0 米米/ /秒秒2 2, ,问问开开始始制制动动后后多多少少时时间间列列车车才才能能停停住住？以以及及列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了多多少少路路程程

5、？解解)(,tssst 米米秒秒钟钟行行驶驶设设制制动动后后4 . 022 dtsd,20, 0,0 dtdsvst时时14 . 0Ctdtdsv 2122 . 0CtCts 代入初始条件知代入初始条件知:0,2021 CC,202 . 02tts ,204 . 0 tdtdsv则则故故),(504 . 020秒秒 t).(5005020502 . 02米米 s开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需列车在这段时间内行驶了列车在这段时间内行驶了通解通解特解特解初始条件初始条件整理课件6微分方程微分方程: : 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程

6、叫微分方程. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 实质实质: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .二、微分方程的定义二、微分方程的定义 常微分方程常微分方程 偏常微分方程偏常微分方程. .整理课件7微分方程的阶微分方程的阶: : 微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数高阶导数的阶数. ., 0),( yyxF一阶微分方程一阶微分方程);,(yxfy 高阶高阶( (n) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF

7、).,()1()( nnyyyxfy分类分类1:1:本章仅研究一元函数的常微分方程本章仅研究一元函数的常微分方程. . 例例 1 1、022 yxyyx是是_ _ _ _ _ _ _阶阶微微分分方方程程；2 2、022 cQdtdQRdtQdL是是_ _ _ _ _ _ _阶阶微微分分方方程程；3 3、 23sin)( dd是是_ _ _ _ _ _ _阶阶微微分分方方程程；整理课件8分类分类2 2: : 线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程. .),()(xQyxPy ; 02)(2 xyyyx分类分类3 3: : 单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组. . ,2,23zyd

8、xdzzydxdy整理课件9微分方程的解微分方程的解: : 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. . ,)(阶阶导导数数上上有有在在区区间间设设nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxFn微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：三、中心问题三、中心问题-求方程的解求方程的解(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任且任意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同. ., yy 例例;xcey 通解通解, 0 yy;cossin21xcxcy 通通解解整理课件10(2)(2)特解

9、特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. .解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族. .初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .过定点过定点的积分曲线的积分曲线; 00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx是是过定点过定点且在且在定点的切线的斜率为定值定点的切线的斜率为定值的积分曲线的积分曲线.初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .整理课件11例例 3

10、3 验证验证:函数函数ktcktcxsincos21 是微分是微分方程方程0222 xkdtxd的解的解. 并求满足初始条件并求满足初始条件0,00 ttdtdxAx的特解的特解.解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xdtxd整理课件12. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是是原原方方程程的的解解故故ktCktCx , 0,00 ttdtdxAx. 0,21 CAC所求特解为所求特解为.cosktAx 补充补充: :微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等积分法初等积分法.