第二章导数与微分

1、第二章 导数与微分1导数定义的演变函数在点的导数定义 可以演化为如下命题： 命题1 设函数在点可导，且，则 。利用该命题很容易得到另一个命题：命题2 设函数在点可导，且，则。2导数存在与切线存在的关系。根据导数的几何意义，若存在，则曲线在点处的切线存在；反之不一定成立。例如，曲线在点的切线存在，且切线为，即轴。但函数在该点的导数却不存在，事实上 ，所以不存在。3，以及之间的区别与联系。是函数在点处的导数值，表示的是函数在点的变化率，即因变量随自变量的变化而变化的快慢程度；是常数函数的导数，其导数为；则是函数在某一区间内的导函数，一般情况下，它是随的变化而变化的；若在区间内可导，且是区间内的点，

2、则就是函数在点处的导数值。4与的区别与联系。首先，二者的意义不同，表示函数在点处的右导数 ，而表示导函数在点处的右极限 ，正是由于二者的意义不同，所以的存在性与的存在性之间没有必然的关系。例如，当时，不存在，但是，。再如当时， ，但是 。即 不存在。其次，在一定条件下，可推出，即有如下的命题成立：命题3 设函数在内连续，在内可导（），且存在，则有。该命题可用第三章的拉格朗日中值定理证明（略）。 类似地，可以讨论与的区别与联系5什么情况下不用左、右导数的定义来求出一些特殊函数在特殊点处的左、右导数？只要满足本节命题3及如下的命题4的条件，就可以直接利用其相应的结论来计算左、右导数。命题4 设函数

3、在内连续，在内可导（），且存在，则有。6可导偶（奇）函数的导数的奇偶性是否是确定的？可导偶（奇）函数的导函数的奇偶性是确定的，有如下命题：命题5 （1）可导偶函数的导函数是奇函数；（2）偶函数的奇数阶导函数（若存在）为奇函数；（3）偶函数的偶数阶导函数（若存在）为偶函数。命题6 （1）可导奇函数的导函数是偶函数；（2）奇函数的偶数阶导函数（若存在）为奇函数；（3）奇函数的奇数阶导函数（若存在）为偶函数。只证明命题5的第一个结论，其他结论可类似地证明。 设是可导偶函数的定义域内的任意一点，则 ，即为奇函数。7以非零常数为周期的可导函数的导函数是否一定是周期函数？与的周期有怎样的关系？以非零常数为

4、周期的可导函数的导函数一定是周期函数，的周期也为。只需证明对任意的，恒有即可。事实上，。所以是以为周期的周期函数。8函数的导函数的间断点（如果有）有怎样的特点？设函数在开区间内可导，导函数在处不连续，则必为的第二类间断点。 假设是的第一类间断点，则在处的左、右极限都存在，因此由本节的命题4及命题3分别得到 ， 。又在点处可导,故有，从而有，这与在点处不连续矛盾。所以，函数的导函数间断点（如果有）必为第二类间断点。9如果函数在点处或函数在点（其中）处不可导，那么复合函数在处是否一定不可导？复合函数求导法则中关于函数， 可导的条件是保证复合函数可导的充分条件，而不是必要条件。因此，当或的可导性不满

5、足时，复合函数仍有可能是可导的。例如：（1）在处不可导， 在=0处可导，而在处可导。（2）在处可导， 在=0处不可导，而在处可导。（3）在处不可导， 在=0也处不可导，而在处可导。10初等函数的导函数是否一定为初等函数？ 初等函数的导函数仍为初等函数11那些函数的高阶导数的公式是必须掌握的？（1）； （2） ； （3） （4）；（5）； （6）。12怎样理解由参数方程确定的函数的高阶导数的计算公式？借助于复合函数的求导法则，可推导出由参数方程确定的函数的一阶导数的计算公式，即.。对于的二阶导数的计算公式的推导可以从三个不同的角度去理解：（1）从复合函数的求导法则去理解 注意到，即是由和复合而成

6、的，因此按照复合函数的求导法则及反函数的求导公式即可得出 。（2）利用化归思想 借助一阶导数的计算公式求函数的二阶导数。事实上，函数由参数方程 确定的函数，所以由一阶导数的计算公式，得 。（3）利用微分的计算公式。 。三阶以上的各阶导数可类似地理解。13如何理解微分概念？根据微分的定义，只要函数在点处可微，则必有，且，这里的未必很小，只要所取的使得在函数的定义域中即可。其次，如前所述，极限理论是微分学的基础，但从微分的定义很难看出其与极限之间的联系，这实际上是一种误解，对进行变形，得，该式等价于，即函数微分的概念仍然是以极限作为其逻辑建构基础的。14导数与微分的区别与联系概念上有着本质的不同。函数在点处的导数是函数在点处关于自变量的变化率，反映了函数在点处随自变量变化的快慢程度；而微分在点的变化率代替该小区间上任意点处的变化率后得到的线性函数的增量。当函数给定后，函数在点处的导数的大小一般只与点有关；而微分一般与和有关。从性质上看，函数在某点的导数是常数，而微分是变量，即随的