概率论复习一

1、第一节第一节 总体、样本和统计量总体、样本和统计量一、总体和样本一、总体和样本二、统计量二、统计量三、小结三、小结1. 1. 总体与样本的初步描述总体与样本的初步描述 总体总体: :研究对象的全体研究对象的全体 个体个体: :每一个具体的研究对象每一个具体的研究对象 样本样本: :一部分个体一部分个体 样本容量样本容量: :样本中个体的数目样本中个体的数目一、总体与样本一、总体与样本（1）代表性： Xi，i=1,n与总体同分布.（2）独立性：X1, , Xn 相互独立； 则称X1, ,Xn为容量为n 的简单随机样本.1.1.定义：定义：设设X1， ，Xn是取自于总体是取自于总体X的样本的样本，

2、称样本称样本X1， ，Xn 的函数的函数T(X1， ，Xn )且且不含未知参数,则称则称T(X1， ，Xn )是总体是总体X的一个的一个统计量.将样本观察值将样本观察值x x1,x,xn代入统计量代入统计量T T中中, ,称得到的实数称得到的实数T(xT(x1,x,xn) )为统计量的观察值为统计量的观察值. . 二、统计量二、统计量2. 几个常用统计量的定义几个常用统计量的定义.,2121是是这这一一样样本本的的观观察察值值是是来来自自总总体体的的一一个个样样本本设设nnxxxXXX(1)样本均值样本均值;11 niiXnX(2)样本方差样本方差22011()niiSXXn样本标准差样本标准

3、差220011;niiSSXXn修正修正样本方差样本方差2211()1niiSXXn修正样本标准差修正样本标准差2211;1niiSSXXn(3) 样本样本 k 阶矩阶矩;, 2, 1,11 kXnAnikik k 阶中心矩阶中心矩;, 3, 2,)(11 kXXnBnikik k 阶阶(原点原点)矩矩第三节第三节 抽样分布抽样分布一、常见分布一、常见分布二、正态总体抽样分布定理二、正态总体抽样分布定理三、小结三、小结).(,) 1, 0(,222222121nYnXXXYNXXXnn记为分布的服从自由度为则称统计量的样本是来自总体设分布分布2 1.分布分布分布，分布，分布，分布，一、一、Ft

4、2.)(2图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如n 分布的性质分布的性质2 性质性质1).(,),(),(2122221222122221221nnnn 则则立立独独并并且且设设)(2分布的可加性分布的可加性 注3 性质性质2)(2分布的数学期望和方差分布的数学期望和方差 .2)(,)(),(2222nDnEn 则则若若).(,/,),(),1, 0(2ntttnnYXtYXnYNX记记为为分分布布的的服服从从自自由由度度为为则则称称随随机机变变量量独独立立且且设设 t 分布又称分布又称学生氏学生氏(Student)分布分布.分布分布t2.t 分布的图形分布的图形(红色的是标准正态分布红

5、色的是标准正态分布)n = 1n=20-3-2-11230.10.20.30.4则称则称 F 服从第一自由度为服从第一自由度为n ,第二自由度为第二自由度为 m 的的F 分布分布. 22( ),(),XnYmX, Y 相互独立，相互独立，设设mYnXF/令令3. F 分布分布).,(mnFF记记作作图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如F 则称则称 为为X分布的分布的上侧上侧 分位数分位数. 使使PX = ，定义定义 对总体对总体X和给定的和给定的 (0 = ( )p x dx 若存在数若存在数 1、 2，使，使PX 1=PX 0 0，试求，试求 的矩估计的矩估计. .111求极（最）大

6、似然估计量的步骤求极（最）大似然估计量的步骤:; );();,()();();,()( )(121121 niinniinxfxxxLLxpxxxLL或或写写出出似似然然函函数数一一; );(ln)(ln);(ln)(ln )(11 niiniixfLxpL或或取对数取对数二二2、极大似然估计法、极大似然估计法., 0d)(lnd,d)(lnd )( 的的最最大大似似然然估估计计值值解解方方程程即即得得未未知知参参数数并并令令求求导导对对三三 LL对数似对数似然方程然方程例例8 8 设设X1, ,Xn为取自参数为为取自参数为 的指数分布的的指数分布的总体的总体的样本，样本，a0为一给定实数，求

7、为一给定实数，求 的极大似然估计的极大似然估计. .解解: :111( )( ; )niiinnxxniiiLp xee11log ( )loglogniixnniiLenx令令1log ( )0niidLnxd niixn1 X1 Xaep 1第三节第三节 估计量的评价标准估计量的评价标准一、问题的提出一、问题的提出二、无偏性二、无偏性三、有效性三、有效性四、一致性四、一致性五、小结五、小结为为 的无偏估计的无偏估计(UE). 若若lim,nE称称为为 的渐近无偏估计（的渐近无偏估计（AUEAUE）。）。定义定义1(,)nXXL, 统计量满足,E称二、无偏性二、无偏性三、有效性三、有效性.)

8、,()( ,),(),(212121222111有有效效较较则则称称若若有有的的无无偏偏估估计计量量都都是是与与设设 DDXXXXXXnn 第四节第四节 区间估计区间估计一、区间估计的基本概念一、区间估计的基本概念二、正态总体参数的区间估计二、正态总体参数的区间估计三、小结三、小结一、区间估计的基本概念一、区间估计的基本概念1. 双侧双侧置信区间的定义置信区间的定义,1),(),( ),(),(, 1),(0 ,);(2121212121 nnnnnXXXXXXPXXXXXXXXXxFX满满足足和和确确定定的的两两个个统统计计量量若若由由样样本本对对于于给给定定值值数数含含有有一一个个未未知知

9、参参的的分分布布函函数数设设总总体体.1 ,1 ,1) ,(为置信度为置信度的置信下限和置信上限的置信下限和置信上限的双侧置信区间的双侧置信区间分别称为置信度为分别称为置信度为和和间间的置信区的置信区的置信度为的置信度为是是则称随机区间则称随机区间 3. 求双侧置信区间的一般步骤求双侧置信区间的一般步骤( (共共3步步) ). )(,);,(:, )1(2121 包括包括数数且不依赖于任何未知参且不依赖于任何未知参的分布已知的分布已知并且并且其中仅包含待估参数其中仅包含待估参数的函数的函数寻求一个样本寻求一个样本ZXXXZZXXXnn .1);,( ,1 )2(21 bXXXZaPban使使出

10、出两两个个常常数数定定对对于于给给定定的的置置信信度度. 1 ),( ,),(, ),( , );,( )3(212121的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为是是就就那么那么都是统计量都是统计量其中其中不等式不等式得到等价的得到等价的若能从若能从 nnnXXXXXXbXXXZa1 1、一个正态总体参数的区间估计、一个正态总体参数的区间估计二、正态总体的区间估计二、正态总体的区间估计（1 1） 已知，求已知，求 的置信区间的置信区间2置信度为置信度为1-1-的置信区间为：的置信区间为：/2/2 ,.XuXunn今抽今抽9件测量其长度件测量其长度, 得数据如下得数据如下(单位单位:mm

11、): 142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160. 解解/2/2,XuXunn0.0259,4,0.05,1.96,147.333 ,nux由知149.946). (144.720, 0.95的的置置信信区区间间为为的的置置信信度度为为 ),16,( NX 服服从从正正态态分分布布设设某某工工件件的的长长度度. 95 的的置置信信区区间间的的置置信信水水平平为为试试求求参参数数 例例2)1(),1( ( 2/2/ ntnSXntnSX 的的1-1- 置信区间为置信区间为（2 2） 未知，求未知，求 的置信区间的置信区间2例例3 3 包糖机某日开工包糖

12、，抽取包糖机某日开工包糖，抽取1212包糖，称得重量包糖，称得重量（单位：千克）为（单位：千克）为9.9 10.1 10.3 10.4 10.5 10.29.7 9.8 10.1 10.0 9.8 10.3 假定重量服从正态分布，试求该机器所包糖的假定重量服从正态分布，试求该机器所包糖的平均重量的置信度为平均重量的置信度为95%95%的置信区间。的置信区间。解解0.050.0252210.092,0.2575,(1)(12 1)(11)2.2xstntt)1(),1( ( 2/2/ ntnSXntnSX 0.25750.257510.0922.2, 10.0922.2(9.9284,10.25

13、55)1212利用公式，得到的置信度为利用公式，得到的置信度为95%95%的置信区间为的置信区间为设设21(),iidnXXN， ，给定置信度给定置信度1-1- ，由，由观测值观测值x1, ,x2, xn，求求 2或或 的置信区间的置信区间。（3 3） 未知，求未知，求 的置信区间的置信区间22222/21/2(1)(1),(1)(1)nsnsnn2的置信度为的置信度为1的置信区间为的置信区间为2222/21/2(1)(1)(,(1)(1)nsnsnn的置信度为的置信度为1的置信区间为的置信区间为解解2220.050.950.1,9,(8)15.507,(8)2.733,11ns2211()

14、.s 米秒2( ,)N 例例4 4 随机地取某种炮弹随机地取某种炮弹9 9发做试验，得炮口速度的修正发做试验，得炮口速度的修正设炮口速度服从正态分布设炮口速度服从正态分布的样本方差为的样本方差为 。 求方差求方差 的置信度为的置信度为90%90%的置信区间。的置信区间。22222/21/2(1)(1),(1)(1)nsnsnn2222/21/2(1)(1)8 118 11,(1)(1)15.507 2.7335.6749,32.1990nsnsnn第八章第八章 假设检验假设检验8.1 8.1 假设检验的基本概念假设检验的基本概念8.2 8.2 总体均值的假设检验总体均值的假设检验8.3 8.3

15、 总体方差的假设检验总体方差的假设检验8.4 8.4 分布函数的拟合检验分布函数的拟合检验第一节第一节 假设检验的基本概念假设检验的基本概念二、假设检验的基本思想二、假设检验的基本思想三、假设检验的相关概念三、假设检验的相关概念一、问题的提出一、问题的提出四、小结四、小结定义：定义：对总体的分布函数或分布函数的某些对总体的分布函数或分布函数的某些参数作出参数作出某种假设称为统计假设记为某种假设称为统计假设记为H H0 0，也可称之为，也可称之为原假设原假设（零假设，待检假设）（零假设，待检假设）. . 把问题的反面，称为把问题的反面，称为备择假备择假设设或对立假设，用或对立假设，用H H1 1

16、表示表示. . 定义：定义：一个问题仅提出一个假设，并不同时研究其它一个问题仅提出一个假设，并不同时研究其它假设，称为简单假设检验问题。假设，称为简单假设检验问题。一、一、 问题的提出问题的提出 ; ,. 110HH假假设设及及备备择择提提出出原原假假设设根根据据实实际际问问题题的的要要求求 ; . 2n以及样本容量以及样本容量给定显著性水平给定显著性水平 3. 确定检验统计量以及拒绝域形式确定检验统计量以及拒绝域形式; ;. 400求求出出拒拒绝绝域域为为真真拒拒绝绝按按 HHP . ,. 50H受受还还是是拒拒绝绝根根据据样样本本观观察察值值确确定定接接取取样样假设检验的基本步骤：假设检验

17、的基本步骤：6. 两类错误及记号两类错误及记号 假设检验的依据是假设检验的依据是: 小概率事件在一次试验小概率事件在一次试验中很难发生中很难发生, 但很难发生不等于不发生但很难发生不等于不发生, 因而假因而假设检验所作出的结论有可能是错误的设检验所作出的结论有可能是错误的. 这种错误这种错误有两类有两类:(1) 当原假设当原假设H0为真为真, 观察值却落入拒绝域观察值却落入拒绝域, 而而作出了拒绝作出了拒绝H0的判断的判断, 称做称做第一类错误第一类错误, 又叫又叫弃弃真错误真错误, 这类错误是这类错误是“以真为假以真为假”. 犯第一类错犯第一类错误的概率是显著性水平误的概率是显著性水平. 三

18、、假设检验的相关概念三、假设检验的相关概念(2) 当原假设当原假设 H0 不真不真, 而观察值却落入接受域而观察值却落入接受域, 而作出了接受而作出了接受 H0 的判断的判断, 称做称做第二类错误第二类错误, 又叫又叫取伪错误取伪错误, 这类错误是这类错误是“以假为真以假为真”. 000. PHHPH当不真接受或接受犯第二类错误的概率记为犯第二类错误的概率记为 三、假设检验的相关概念三、假设检验的相关概念第二节第二节 正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验一、单个正态分布均值一、单个正态分布均值的假设检验的假设检验二、两个正态总体均值的假设检验二、两个正态总体均值的假设检验三、小结三、小

19、结2( ,)XN 220(1)=方差已知， 设总体设总体 ，X1 ，X2 , ，Xn 为来自总为来自总体体X 的一个样本。的一个样本。 0010 : , : ; HH检验假设：检验假设： 检验统计量：检验统计量： 0000,1HXUNn真（）拒绝域：拒绝域： 020XWUun一、单个正态总体均值的检验一、单个正态总体均值的检验U检验法检验法 例例1 已知某零件的长度（单位：已知某零件的长度（单位：mm）服从）服从，其标准长度即，其标准长度即应为应为32.05.现从中抽查现从中抽查6件，测得它件，测得它们的长度为们的长度为 32.56，29.66，31.64，30.00，31.87，31.03,

20、试问这批零件的长度是否符合产品的要求？试问这批零件的长度是否符合产品的要求？(0.05)解解2( ,1.1 )N假设：假设：000:32.05;32.05.H检验统计量：检验统计量：00XUn拒绝域：拒绝域：020XWUun一、单个正态总体均值的检验一、单个正态总体均值的检验例例1 已知某零件的长度（单位：已知某零件的长度（单位：mm）服从）服从，其标准长度即，其标准长度即 应为应为32.05.现从中抽查现从中抽查6件，测得它件，测得它们的长度为们的长度为 32.56，29.66，31.64，30.00，31.87，31.03,试问这批零件的长度是否符合产品的要求？试问这批零件的长度是否符合产

21、品的要求？(0.05)解解2( ,1.1 )N计算统计量的观测值：计算统计量的观测值：0031.1332.052.051.1/6xun作出判断：作出判断：22.051.96uu31.13x 所以拒绝所以拒绝H0，即认为这批零件不符合要求。，即认为这批零件不符合要求。一、单个正态总体均值的检验一、单个正态总体均值的检验例例1 已知某零件的长度（单位：已知某零件的长度（单位：mm）服从）服从，其标准长度即，其标准长度即 应为应为32.05.现从中抽查现从中抽查6件，测得它件，测得它们的长度为们的长度为 32.56，29.66，31.64，30.00，31.87，31.03,试问这批零件的长度是否符

22、合产品的要求？试问这批零件的长度是否符合产品的要求？(0.05)2( ,1.1 )N一、单个正态总体均值的检验一、单个正态总体均值的检验 以上检验法中，拒绝域表示为小于一个给定数或以上检验法中，拒绝域表示为小于一个给定数或大于另一个给定数的所有数的集合，称为双侧检验大于另一个给定数的所有数的集合，称为双侧检验. . 2( ,)XN 220(2)=方差已知， 设总体设总体 ，X1 ，X2 , ，Xn 为来自总为来自总体体X 的一个样本。的一个样本。 0010 : , : ; HH检验假设：检验假设： 检验统计量：检验统计量： 00XUn拒绝域：拒绝域： 00XWUun一、单个正态总体均值的检验一

23、、单个正态总体均值的检验U检验法检验法 2( ,)XN 220(3)=方差已知， 设总体设总体 ，X1 ，X2 , ，Xn 为来自总为来自总体体X 的一个样本。的一个样本。 0010 : , : ; HH检验假设：检验假设： 检验统计量：检验统计量： 00XUn拒绝域：拒绝域： 00XWUun 一、单个正态总体均值的检验一、单个正态总体均值的检验U检验法检验法 例例2 已知铁水中碳的百分含量为已知铁水中碳的百分含量为现测定现测定5炉，其含碳的百分含量分别为炉，其含碳的百分含量分别为4.28,4.40,4.42，4.35,4.37，如果方差不变，问均值，如果方差不变，问均值 是否明显下降？是否明

24、显下降？)05. 0( 解解0010:4.55,:4.55, HH2(4.55,(0.108) ),XN单边假设检验单边假设检验假设：假设：检验统计量：检验统计量： 00XUn拒绝域：拒绝域： 001.645XWUun 例例2 已知铁水中碳的百分含量为已知铁水中碳的百分含量为现测定现测定5炉，其含碳的百分含量分别为炉，其含碳的百分含量分别为4.28,4.40,4.42，4.35,4.37，如果方差不变，问均值，如果方差不变，问均值 是否明显下降？是否明显下降？)05. 0( 解解2(4.55,(0.108) ),XN计算检验统计量的观测值：计算检验统计量的观测值：4.364x 作出判断：作出判

25、断： 3.8511.645u 004.3644.553.851/0.108/5xun 所以拒绝所以拒绝H0 ，即认为这批铁水的含量有了明显下降，即认为这批铁水的含量有了明显下降。 2( ,)XN 2(4)方差未知， 设总体设总体 ，X1 ，X2 , ，Xn 为来自总为来自总体体X 的一个样本。的一个样本。 0010 : , : ; HH检验假设：检验假设： 检验统计量：检验统计量： 0XTSn拒绝域：拒绝域： 02(1)XWTtnSn一、单个正态总体均值的检验一、单个正态总体均值的检验t检验法检验法 例例3 3 用自动装袋机装葡萄糖，每袋标准重用自动装袋机装葡萄糖，每袋标准重500500克，每

26、克，每隔一定时间需检查机器工作是否正常隔一定时间需检查机器工作是否正常. . 现抽得现抽得1010袋，袋，测得其重量为（单位：克）测得其重量为（单位：克）495495，510510，505505，498498，503503，492492，502 ,512, 497, 506, 502 ,512, 497, 506, 假定重量服从正态假定重量服从正态分布，问机器是否正常？分布，问机器是否正常？解解 由于由于 2 2未知，未知， 所以用所以用T T 检验法检验法假设：假设：0010:500 , :500HH检验统计量：检验统计量：0XTSn拒绝域：拒绝域： 02(1)2.2622XWTtnSn22

27、221380(495502)(510502)(506502) 10 19s 作出判断：接受作出判断：接受H H0 0，可以认为机器工作正常，可以认为机器工作正常. . 05025006100.97332.2622/380 /338xtsn统计量观测值：统计量观测值：1(495510506)50210 x 例例5 5 某厂生产乐器用的合金弦线的抗拉强度服从均值某厂生产乐器用的合金弦线的抗拉强度服从均值为为1056010560（kg/cmkg/cm2 2）的正态分布。今改进工艺生产一批）的正态分布。今改进工艺生产一批合 金 弦 ， 从 中 抽 出合 金 弦 ， 从 中 抽 出 1 01 0 根 ，

28、 测 得 其 抗 拉 强 度 为根 ， 测 得 其 抗 拉 强 度 为（kg/cmkg/cm2 2）：）： 10512 10512, , 1062310623, , 1066810668, , 1055410554, , 1077610776, , 10707 10707, , 1055710557, , 1058110581, , 1066610666, , 1067010670问改进工艺后生产的合金弦是否较过去的合金弦抗拉问改进工艺后生产的合金弦是否较过去的合金弦抗拉强度要高？（强度要高？（=0.05=0.05）解解 设抗拉强度为设抗拉强度为X，则则),(2NX未知未知. .假设：假设：0

29、010 : =10560, : =10560 ; HH检验统计量：检验统计量：0XTSn拒绝域：拒绝域： 0(1)1.833XWTtnSn由样本观测值有：由样本观测值有： 25904410631,9xs则统计量的观测值为：则统计量的观测值为： 010631.4 105602.7881.833590449xtsn作出判断：作出判断： 拒绝拒绝H0 ,即认为改进工艺后合金弦即认为改进工艺后合金弦的抗拉强度有明显提高。的抗拉强度有明显提高。 第三节第三节 正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验一、单个总体一、单个总体的情况的情况二、两个总体的情况二、两个总体的情况三、小结三、小结一、单个总体一

30、、单个总体 的情况的情况),(2 N , , ),( 22均均为为未未知知设设总总体体 NX , : , : 20212020 HH(1) 要求检验假设要求检验假设: , ,21的样本的样本为来自总体为来自总体 XXXXn . 0为为已已知知常常数数其其中中 , 设显著水平为设显著水平为),1()1( ,22020 nSnH 为真时为真时当当 , )1( 2022作作为为统统计计量量取取 Sn 拒绝域为拒绝域为:22221/2/2 = (1) (1)Wnn(2)单边检验问题的拒绝域单边检验问题的拒绝域 ) ( 设显著水平为设显著水平为 , : , : 20212020 HH检验假设检验假设:检

31、验问题的拒绝域为检验问题的拒绝域为22220(1) (1) .nsWn即同理检验假设同理检验假设: , : , : 20212020 HH拒绝域为拒绝域为222120(1)(1) .nsWn . 2检验法检验法上述检验法称为上述检验法称为 例例1 某厂生产的铜丝的折断力指标服从正态分布某厂生产的铜丝的折断力指标服从正态分布, 现随机抽取现随机抽取10根根, 检查其折断力检查其折断力, 测得数据如下测得数据如下(单位单位:千克千克): 575, 576, 570, 569, 572, 582, 577, 580, 572,585. 设铜丝的折断力服从正态分布设铜丝的折断力服从正态分布 问是否可相信问是否可相信该厂生产的铜丝的折断力的方差为该厂生产的铜丝的折断力的方差为6