第七章微分方程应用实例

1、 8.6 微分方程应用实例微分方程应用实例 许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只能间接的得到这些量及其导数之间的关系，从而使得微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举几个实例来说明微分方程的应用。进一步的介绍见第十章。 一。嫌疑犯问题 受害者的尸体于晚上7：30被发现。法医于晚上8：20赶到凶案现场，测得尸体体温为 ，一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为C。6 .32C。4 .31室温在几小时内始终保持 ，此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5：00时打了一个电话，打完电话后就

2、离开了办公室。”从张某的办公室到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题：是张某不在凶案现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外 ？C。1 .21被排除在嫌疑犯之外。嫌疑犯之外，否则不能室，则他可被排除在。如果此时张某在办公时刻的间，也就是求要确定受害者死亡的时。是正常的，即假设受害者死亡时体温为，则：，并记晚设表示时刻尸体的温度解。dTCtTCTCtCT37)(374 .31) 1 (,6 .32)0(208 人体体温受大脑神经中枢调节，人死后体温调节功能消失，尸体的温度受外界温度的影响。假定尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化率正比于尸体温度与室温的差，即tkktetTkeT

3、CCTCetTktkdtdT110. 05 .111 .21)(.110. 0103115ln, 4 .315 .111 .21) 1 (5 .11. 6 .321 .21) 1 (1 .21)() 1 .21(于是所以又因为所以因为此微分方程的通解为。可分离变量的微分方程为常数，这是一个一阶其中。能被排除在嫌疑犯之外，因此张某不：在下午即被害人死亡时间大约分小时分小时分小时所以分小时小时，所以时，有当。23523557220857295. 2375 .111 .2137110. 0dtTteCT变化规律。间随时量盐水，试求容器内含盐的速度抽出混合均匀的淡盐水，同时以的速度注入的公斤，现以公斤

4、盐水，内含食盐设容器内有二。含盐量问题txLLkgLmin/2/01. 0min/210100dtttxdtdxdtttxdttttxtdtdxdtdxxxdtttxxtxxtx2)23(100)(301.0.2)23(100)(,)23(100)(301.0),(于是可得方程：（公斤）变，故抽出的盐量为内浓度可以近似看作不的时间间隔到时刻盐水的浓度为（公斤），由于注入盐水中所含盐量为抽出盐水中所含盐量注入盐水中所含盐量量为：时间内，含盐量的改变，注意到在变到时间间隔内，含盐量从到考虑从时刻方法。用建立微分方程的一种常程的微元分析法，这是的分析得出微分方的微小增量我们采用通过对的变化规律随时间

5、为了求出含盐量解2442)100(109)100(01.0109)100()100(01.0)(53.8,10)0(03.01002ttxtxCtCttxxxtdtdx的变化规律为随时间量，所以容器内含盐有初值条件可得方程的通解），可得此节的公式（；利用程，且有初值条件这是一阶线性非齐次方或 三.悬链线方程问题 将一均匀柔软的绳索两端固定，使之仅受重力的作用而下垂，求该绳索在平衡状态下的曲线方程（铁塔之间悬挂的高压电缆的形状就是这样的曲线）。 解 以绳索所在的平面为 平面，设绳索最低点为y轴上的P点，如图81所示。考察绳索上从点p到另一点Q(x,y)的一段弧 ，该段弧长为 ，绳索线密度为 ,则

6、这段绳索所受重力为 。由于绳索是软的，xoyQPllgl力恰好平衡，所以绳索所受重力及两个张，则这段角，设其大小为轴正向成点所受张力与在，设其大小为点所受的张力是水平的这段绳索在向。这样，力总沿着绳索的切线方所以绳索上各点所受张TxQSPQP.lSgSTglTtancos,sin上面两式相除，得122000202)1ln(1,0,)1 ()1 (,tan),(CxSgpppSgdxdpdxdpypyyayaOPdxySgydxylyxyyxxxx 解得化为，则上述二阶微分方程令条件为则上面微分方程的初值微分方程。设这就是绳索曲线满足的于是则设绳索曲线方程为xSgppCpyxx)1ln(002100，从而代入，得将初值条件下得曲线方程为这样，绳索在平衡状态得取代入，得将两边积分得代入，得将变形整理得