第六节 波函数的电子云图形

1、一、氢原子基态的各种图示一、氢原子基态的各种图示0213031aZreaZs氢原子基态波函数为如果用小黑点的疏密来表示空间如果用小黑点的疏密来表示空间各点的几率密度各点的几率密度2 21s1s的大小。的大小。则黑点密度大的地方表示那里的则黑点密度大的地方表示那里的电子出现的几率密度大。电子出现的几率密度大。稀则稀则2 21s1s小。这样小黑点形象的小。这样小黑点形象的描绘了电子在空间的几率密度分布。描绘了电子在空间的几率密度分布。所以又叫做所以又叫做“电子云电子云”。第六节第六节 波函数和电子云的图形表示波函数和电子云的图形表示取电子出现的总几率在90%范围为一界面，用界面图表示。1.00.7

2、50.60.50.4将电子云几率密度分布相等的各点连起来,就形成了空间的曲面。rDa0/z它表明在半径为它表明在半径为r r的球面上单位厚度的球面上单位厚度(dr(dr=1)=1)球壳内电子球壳内电子出现的几率。出现的几率。 考查半径为r、厚度为dr的球壳内电子出现的几率，靠核近处，几率密度很大，但是球面太小，电子出现的几率未必大；反之，离核远的地方球面很大，但该处几率密度较小，因此几率也不会最大。可以想象，一定在空间某个r处会出现几率最大的情况，我们用径向分布函数D来描述这种情况。 得到 时，径向分布函数有最大值，如图:zar0D=4r221s040232aZreZrdrDdrdD令：令：

3、可见 对于氢原子1s态来说，在玻尔半径（r= a0）球面上发现电子的几率最大。而该态的界面半径：9021.drS得r2.6a0二、径向分布图二、径向分布图径向波函数径向波函数R R(n,l)(n,l), ,是反应在任意给定角度方向上,波函数 随r变化的情况。它取决于主量子数和角量子数的大小且满足 归一化条件。 022,1|)(|drrrRln径向密度函数径向密度函数R R(n,l)(n,l)2 2, ,是反应在任意给定角度方向上,电子云密度随r变化的情况。径向分布函数径向分布函数D(r),D(r),是指在半径r处单位厚度球壳层内找到电子的几率。将2(r,)d在和的全部区域积分，即表示离核为r，

4、厚度为dr的球壳内电子出现的几率。将(r,)R(r)()()和dr2sindrdd代入，并令ddrdrrRdrsin)()()(),(Ddr222002002 drRrdddrRr222020222sin)( r22RrD(r) 径向分布节面数为n-l-1个，这和R(r)数中不等于0的因子外，剩下的r多项式中最高的阶次是一致的，只有S态才有非0值。此图表明S轨道上的电子在原子核处有一个相当大的几率密度，而P轨道和d轨道上的电子则在原子核处的几率为0。对于相同的n来说， l越大径向分布曲线最高峰离核越远，但是其次级峰恰可能出现在距核较近区。这样就产生了各轨道间的相互渗透现象，即：钻穿效应。1s1

5、s态：核附近态：核附近D D为为0 0；r ra a0 0时，时，D D极大。极大。表明在表明在r ra a0 0附近，厚度为附近，厚度为drdr的球壳夹的球壳夹层内找到电子的几率要比任何其它地层内找到电子的几率要比任何其它地方同样厚度的球壳夹层内找到电子的方同样厚度的球壳夹层内找到电子的几率大。几率大。每一每一n n和和l 确定的状态，有确定的状态，有n nl个极大个极大值和值和n nl1 1个个D D值为值为0 0的点。的点。n n相同时：相同时：l越大，主峰离核越近；越大，主峰离核越近；l越小，峰数越多，最内层的峰离核越越小，峰数越多，最内层的峰离核越近；近；l相同时：相同时：n n越大

6、，主峰离核越远；说越大，主峰离核越远；说明明n n小的轨道靠内层，能量低；小的轨道靠内层，能量低； 0 5 10 15 20 24r/a01s2s2p3s3p3d0.60.300.240.160.0800.240.160.0800.160.0800.120.080.0400.120.080.040r2R2三、角度分布图三、角度分布图 把把Y Y数值的大小和角度数值的大小和角度、 的关系表示出来的关系表示出来作法：以原子核所处的位置为坐标原点，在每一个方向（作法：以原子核所处的位置为坐标原点，在每一个方向（、）引一条直线，直线的长度等于引一条直线，直线的长度等于Ylm （、 ）绝对值的大小，所有

7、）绝对值的大小，所有这些直线的端点在空间构成一个曲面即为角度分布图，再适当地这些直线的端点在空间构成一个曲面即为角度分布图，再适当地标出正负号。标出正负号。3cos4zpYn例：作p轨道的角度分布图，由查表可知解：一般作图前可先讨论图形的特点，如节面、极值、拐点、对称性等。cos0,90 ,zpYxy3节面，令得即的节面是平面。43sin ,0 1804018034zpdYdzz 极大值，令可解得，。对应于 轴的正方向，对应于 轴的负方向。相应的极大值（绝对值）为。3cos4zpYY作图按， 是 的函数与 无关，可计算出不同 值的Y值。01530456090Y1.0000.96600.86600.70700.5000120135150165180Y-0.500-0.7070-0.8660 -0.9660-1.000+-rz z+x zxyl132322cosdrz132coscoscossindzx cossin, 0sincossind