电磁场理论：习题12

1、 习题12 121 一电偶极子天线总长米，在天线中点以振幅为的正弦电流激励，电流频率，天线在空气中使用。求：辐射的波长和；远场区域内的和；天线辐射的平均功率；天线辐射电阻。 解：反射波长和：， 远区场：电偶极子在空间的辐射场为： ； ； 当时，可得远区场为： 将已知条件代入，因为可见，电偶极子上的激励可近似认为： （弧/米）故远区场为： , 故 故 远区电磁场的瞬时式为： 天线的平均辐射功率 由 可得：为实数将在包围电偶极子的一球面上积分，便可求出平均发生功率为： 将代入可得：天线的辐射电阻为： 将代入得：故，辐射电阻为 122 若天线之工作频率变成，且天线上的电流 按上题要求重作。 解： ，

2、 则可求得： 故 （即为半波振子） （有一图）远区辐射场：由 可得：，其中，由于此时较大，于是在整个天线上电流不能再被视为均匀分布，而是按照上述余弦规律分布，故求其辐射场时要对整个天线积分： 在处取一电流元，它在空间的辐射场可通过电偶极子的空间辐射场求得： 按图122所选择的坐标系有：于是，半波振子在空间产生的总远区辐射场为： 其中， 将（弧/米）代入可得；故 ； 辐射功率： 将代入得：辐射电阻： 12-3 在空气中有效长度为的电偶极子，以相同频率用在净水中，设净水无限大，且电导率，估算天线在水中的辐射电阻。 解：依照题意，可知电偶极子的实际长度为：；电磁波在水中的波长为：因为 ，故 即在水中

3、仍可视为电欧极子。 因电欧极子在空气中的辐射电阻为：，其中为自由空间中电磁波的辐射电阻。 在水中，电磁波的辐射电阻为： 即：在水中的辐射电阻是空气中的倍。将具体值代入。可求得：；。 12-4 将电流元放置在理想导电地面之上高为的地方，若偶极子的取向(a) 水平的；(b)垂直的；(c)偏离垂直方向，试问为满足边界条件，镜象电流元的位置，取向和位置如何？ 解：我们用图解法求此题。 我们知道，无穷大理想导电平板的镜象作用是将通过引入镜象源来保持原边界条件的，正电荷的镜象为等值负电弧，高电位的镜象为等值低电位，于是可的得（有6幅图） 镜象电流源的位置，取向和数值均如图中所示。 125 在题4中，设，且

4、电流元与地面垂直，当(a)电源在地面和它的下端之间馈电； (b)电流元在其中点被激励时，求远场方向图和辐射电阻。 解：（1）依题意，当电源在地面和电流元的下端之间馈电时， （有一图） 系统的镜像示意图如图125（a）所示。显然，这样的系统相当于长为的电流元系统。于是且远场方向图和辐射电阻的分析方法均为电流元相同，即：方向图仍为，即：E面方向图为“8”字型，H面方向图为大圆。 可见，此时在上半空间，辐射方向图与长为的电流元的辐射方向图相同，但下半空间并不存在辐射电流元，故辐射电阻应是长为电流源辐射电阻的一半，即 （2）当电源是加在电流元的中点处时，如图所示，（有一图）这样相当于一个二元天线阵，且

5、，阵因子为 ，其中 故 天线元的方向图即电流元的方向图： 故总方向图为：辐射电阻： 二元天线阵的辐射电场为：其中为电流元的辐射场： 故 辐射功率： 故 因，故 故积分故(电流元) 可见，且辐射功率是电流元辐射功率之四倍，故且电阻是电流元辐射电阻之二倍，即 12-6 三个很短的同类型电偶极子平行的排列在z轴上，它们之间的间距为，如果它们的电流同相位，求远区场的阵因子和辐射的平均功率密度，在(a)，(b)，(c)三种情况下作出平均功率密度的方向性简图，对结果进行解释。 解：（有一图）设：三个同类的电偶极子分别排列于处，且电流为，电流的正方向为单个电流元， 例如相对于在原点的第零个偶极子的矢量距离为

6、的第个偶极子在空气中的辐射场为： ； 此处是从偶极子到观察点的距离，是轴和增加的夹角，。 陈列产生的总场自然是个偶极子产生的上述的和场的线性总和，对我们现在感兴趣的远场区而言，求和是非常简单的，具体说来，由于，一般第个偶极子的幅度因子里，和，可以用位于原点的第零个偶极子的相应值来近似，所以我们可令： 即在和时，借助于上面的近似，可把第个偶极子的辐射场改写为： 于是元偶极子阵的总辐射场可由个单独的偶极子场的线性迭加求出： 其中代表每个辐射元特征的基本关系，代表场的阵因子， 故 辐射的平均功率密度为： 当时故 波因子（有一图） 当时，故 的条件，使即：整个方向图是原单个极子的辐射方向图的加倍，即电

7、流矩加倍的单个极子的 对方向图 （有一图） 当时 当偶极子的距离继续增加时，天线阵方向性图波“瓣”数也继续增加，然而相对于的蜂总是具有偶对称性。在时，在空间随的迅速波动最终模糊不清变成常数平均值，这结果可认为是代表了两个分开的独立的单个偶极子单独作用，好象为一个完全不存在时，功率密度的简单迭加。 （有一图） 127 半波天线上电流的振幅为，求离无线1公里处的最大电场强度。 解： 半波偶极子天线的电流分布，在数学上可近似表示为： 其中，是间隙处电源的常复数电流，是从间隙的中心到辐射器上的距离。 由于是（在源点Q的）电流元在某观察点P产生的矢量位的完整表示为： 象以往一样，是从Q点到P点的距离的模

8、。 当远离半波天线（即）时，利用在子偶极子天线中的经验。可以在幅度项中用近似，和，其中 当时简化为：远区电场和磁场的数值，可由的假设条件，只保留随的项，可得：； 当时， 12-8 两半波天线平行放置，相距，它们的电流相等。且相位相同，求E面和H面的方向性图。 解：根据天线阵方向性乘积定理天线阵的方向性函数等于无线元的方向性函数与阵函数的乘积。 由已知可知，为半波天线的方向性函数，即： 阵函数即为两个相距，相位相同的二元阵函数： 故 H面方向性函数为：； 面方向性函数为： 129 已知电偶极子的磁场：若 ，求：（1）处的电场，（2）处的电磁场。 解：根据麦克斯韦方程，则 代入已知，则可得：；。所

9、以，可归纳如下： ; ; .当时， ，此结果既不符合远场条件，也不符合近场条件，所以电场表达式不妨做进一步简化。则 ； 。当时，符合远区场条件，所以，电场表达式可近似为： ； 12-10 频率为的信号激励一个电偶极子，已知辐射功率为，试求在和处，电场强度分别是多少？（电偶极子在空气中） 解：在空气中，电磁极子的辐射功率表达式为： ， 故 因 当时，符合远场条件，则 故等时， 1211 已知一个天线产生的磁场为： ，求它的辐射电场和辐射场的。 解：一天线产生的磁场为求其辐射电场，即满足，所以，辐射场中只需保留一项，而可略去一项，即，辐射场： 辐射电场可由场定律求得： ，故 故 辐射电场为： 辐射场的复数被印