牛顿运动定律与几种常见的力

1、1第二章第二章 动力学动力学2.1 牛顿运动定律与几种常见的力牛顿运动定律与几种常见的力2.2 动量与冲量动量与冲量 动量定理与动量守恒动量定理与动量守恒2.3 功功 动能定理动能定理2.4 保守力与势能保守力与势能2.5 功能原理与机械能守恒定律功能原理与机械能守恒定律2一一 牛顿力学三定律牛顿力学三定律第一定律第一定律: 任何物体如果没有力作用在它上面，都将保持静止的或任何物体如果没有力作用在它上面，都将保持静止的或作匀速直线运动的状态。作匀速直线运动的状态。3) 定义了惯性参考系定义了惯性参考系 1) 引入了惯性的概念引入了惯性的概念 2.1 牛顿运动定律与几种常见的力牛顿运动定律与几种

2、常见的力2) 正确说明了力与运动的关系正确说明了力与运动的关系 第二定律第二定律: 物体在受到外力作用时所获得的加速度的大小与所受合物体在受到外力作用时所获得的加速度的大小与所受合外力的大小成正比，其加速度的方向与合外力的方向相同。外力的大小成正比，其加速度的方向与合外力的方向相同。32) 力的叠加原理力的叠加原理.第三定律第三定律: 相互作用物体间的作用力与反作用力大小相等、方向相反，相互作用物体间的作用力与反作用力大小相等、方向相反，在同一直线上在同一直线上, 但一定作用在不同物体上但一定作用在不同物体上.1) 定量地引入了质量的概念定量地引入了质量的概念, m 为质点的惯性质量为质点的惯

3、性质量.3) 关于第二定律的瞬时性关于第二定律的瞬时性.1) 作用力与反作用力同时存在或消失作用力与反作用力同时存在或消失.2) 作用力与反作用力一定是同种性质的力作用力与反作用力一定是同种性质的力.二二 牛顿定律应用举例牛顿定律应用举例:dtvdmamF4 解：解：受力分析如图：受力分析如图：重力重力G ，浮力浮力B，阻力阻力 R运动方程运动方程为：为： 例例2：质量为：质量为m 的小球由静止开始的小球由静止开始在水中在水中竖直下沉，水对小球的竖直下沉，水对小球的浮力浮力为为B。 水对小球的水对小球的粘滞力粘滞力为为R= kv ,k是与水的粘性、小球的是与水的粘性、小球的半径有关的常数。半径

4、有关的常数。求求小球的下沉小球的下沉速度速度。amRBG+XdtkvBmgmdv-分离变量分离变量：GRBmkvBmgdtdvdtdvmkvBmg-即5)1 (tmkekBmgv-作变量代换设：作变量代换设：kvBmgx-kdxdvkdvdx-dtxdxkm-dtkvBmgmdv-dtxdxkmtxxt-00vvttvt,0,0kvBmgxttBmgxtt-,00txxkmt-0lntmktexx-0tmkeBmgkvBmg-)()1)(tmkeBmgkv-6三三 几种常见的力几种常见的力:1) 万有引力万有引力:221rmmGF 引力质量引力质量2）重力）重力: kx - 劲度系数劲度系数,

5、 负号表示负号表示 的方向恒与的方向恒与 的方向相反的方向相反.x-物体离开平衡位置的位移物体离开平衡位置的位移F22281. 9-msRMGgRmMGmgEE当不考虑地球自转对重力的影响时当不考虑地球自转对重力的影响时,有有:xkF-3) 弹性力弹性力:73) 摩擦力摩擦力:滑动摩擦力滑动摩擦力:Nfkk静摩擦力静摩擦力: (a) 大小与所受合外力的情况有关大小与所受合外力的情况有关. 在零与在零与 最大值最大值 之间之间 (b) 方向与相对运动趋势的方向相反方向与相对运动趋势的方向相反. (c) 其最大值为其最大值为maxfNfssmax例例: 自行车轮与地面之间的摩擦力自行车轮与地面之间

6、的摩擦力. MF前f后f8四四 牛顿定律的适用范围牛顿定律的适用范围:1) 牛顿定律适用于宏观的牛顿定律适用于宏观的,运动速度远小于光速的运动物体运动速度远小于光速的运动物体.2) 牛顿定律的适用情况与坐标系的选择有关牛顿定律的适用情况与坐标系的选择有关,实践经验告诉实践经验告诉 我们我们: 牛顿定律只适用于惯性参照系牛顿定律只适用于惯性参照系. 3) 惯性系与非惯性系惯性系与非惯性系: 通常认为通常认为, (a)牛顿第一定律成立的参牛顿第一定律成立的参 照系为惯性参照系照系为惯性参照系, 否则为非惯性参照系否则为非惯性参照系. (b) 凡是相对一凡是相对一 个惯性参照系作匀速直线运动的参照系

7、个惯性参照系作匀速直线运动的参照系, 都是惯性参照系都是惯性参照系. 4) 举例举例: 分别以地面和车箱为参照系观察正在加速运行中的分别以地面和车箱为参照系观察正在加速运行中的 火车中火车中, 被放置在光滑的桌面上的一个光滑的小球的运动被放置在光滑的桌面上的一个光滑的小球的运动.9地面参考系：地面参考系：amNPF+0（小球保持匀速运动）（小球保持匀速运动） amNPF+0车厢参考系：车厢参考系： 定义：适用牛顿运动定律的参考系叫做惯性参考系；定义：适用牛顿运动定律的参考系叫做惯性参考系；反之，叫做非惯性参考系反之，叫做非惯性参考系 . .在研究地面上物体的运动时，地球可近似地看成是惯性参考系

8、。在研究地面上物体的运动时，地球可近似地看成是惯性参考系。（小球加速度为（小球加速度为 ） a-aPNva-102.2 动量与冲量动量与冲量 动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律本节讨论力的时间积累效应本节讨论力的时间积累效应dttfId)(1) 恒力的冲量恒力的冲量: dt时间内的元冲量时间内的元冲量: 21)(ttdttfI一一 冲量和质点的动量定理冲量和质点的动量定理:)(12ttfI-2) 变力的情况变力的情况: 时间段内的冲量时间段内的冲量: 21tt 3) 两种情况的联系两种情况的联系: 把时间间隔把时间间隔 划分成很多小段划分成很多小段, 其中第其中第 i 小段的时间间小

9、段的时间间隔以隔以 来表示来表示. 由于由于 足够小则可认为在这段时间内力近足够小则可认为在这段时间内力近似为恒力似为恒力, 使用恒力的冲量可得使用恒力的冲量可得: 21tt ititiiittfI)(0itdttfId)(11kIjIiIIzyx+21)()(lim)(0ttiiitiiiiidttfttfIttfIIi4) 分量形式分量形式: 时间时间段内的冲量段内的冲量: 21tt 5) 平均作用力平均作用力: 12ttIf-21)(ttxxdttfI21)(ttyydttfI21)(ttzzdttfI6) 牛顿第二定律与冲量牛顿第二定律与冲量: )()(vmdIdvmdvmddtfdt

10、vdmf127) 动量与动量定理动量与动量定理: 动量动量: vmp 动量是矢量动量是矢量, 也是状态参量也是状态参量. 动量定理动量定理: 2121)()(ppttpddttfIpdvmdId12ppI- 合外力对质点的冲量合外力对质点的冲量 质点质点动量的增量动量的增量 物理意义物理意义: 分量形式分量形式: xxxppI12-yyyppI12-zzzppI12-例：一篮球质量例：一篮球质量0.58kg，从，从2.0m高度下落，到达地面后，以高度下落，到达地面后，以 同样速率反弹，接触时间仅同样速率反弹，接触时间仅0.019s，求：对地平均冲力？，求：对地平均冲力？解：篮球到达地面的速率解

11、：篮球到达地面的速率3628922. ghv（m/s）2108 . 3019. 03 . 658. 022tmvFF或（N）FF或这里这里 应为平均合外力。应为平均合外力。FmgFNmgNFF+-或13例：质量为例：质量为200g 的小球的小球, 系在长系在长 l =1.2 m的轻绳上的轻绳上,构成单摆构成单摆. 求求: 小球从左端点摆到右端点的过程中绳上张力的冲量？小球从左端点摆到右端点的过程中绳上张力的冲量？glT2mgFX解解: 单摆的周期为单摆的周期为由动量定理由动量定理:左右ppdtimgFT-+20)(sNiiglmgiTmgdtFT.15. 2220-8) 动量定理的微分形式动量

12、定理的微分形式: dtpdtfpddttfId)()(注意到注意到:0左右pp14共有共有N个质点，外力个质点，外力用用 F ，内力用，内力用f ，则，则第第 i 粒子的运动方程粒子的运动方程:dtpdfFijiiji+i jFiPi fi j fj i二二 质点系的动量定理质点系的动量定理:1) 系统系统, 内力与外力内力与外力:2) 质点系的动量定理质点系的动量定理:内力内力: 即系统内各质点之间的相互作用力即系统内各质点之间的相互作用力外力外力: 系统外的物体对系统内的质点的作用力系统外的物体对系统内的质点的作用力系统系统: 依据研究的问题需要依据研究的问题需要, 所选择的研究对象所选择

13、的研究对象. 由多个质点所组成的研究对象由多个质点所组成的研究对象, 被称为质点系被称为质点系. 注意注意: 对同一个问题对同一个问题, 因选择的系统不同因选择的系统不同. 同一个力在一种情况同一个力在一种情况 下是内力下是内力,在另一种情况下就可能是外力在另一种情况下就可能是外力.15dtPdF122121)(PPpddttFIpptt-01 Nijiijf NiipP1 NiiFF1牛顿第牛顿第三定律三定律物理意义物理意义:质点系所受合外力的冲量质点系所受合外力的冲量 = 该质点系动量的增量该质点系动量的增量对所有对所有粒子求和粒子求和dtpddtpdfFNiiNiiNijiijNii+1

14、11116质点系所受合外力为零，总动量不随时间改变，即质点系所受合外力为零，总动量不随时间改变，即常矢量 NiipP11. 合外力为零，或外力与内力相比小很多；合外力为零，或外力与内力相比小很多；2. 合外力沿某一方向为零；合外力沿某一方向为零；3. 只适用于惯性系；只适用于惯性系；4. 比牛顿定律更普遍的最基本的定律。比牛顿定律更普遍的最基本的定律。.constpii 三三 动量守恒定律动量守恒定律:讨论讨论17xcx1x22x1xx0已知：质量已知：质量m=50kg的人从质量的人从质量 M=200kg 长长 l = 4m 的船头行至船的船头行至船 尾，问：船行尾，问：船行d =？ 例题例题

15、 选则系统选则系统: 忽略水的阻力忽略水的阻力, 该系统沿水平方向所受合外力为零该系统沿水平方向所受合外力为零系统在水平方向上动量守恒系统在水平方向上动量守恒 人人+船船=系统系统进行受力分析进行受力分析: 结论结论: 情况分析情况分析: 人相对船走过的距离人相对船走过的距离 = 船的长度船的长度 l 人相对河岸走过的距离人相对河岸走过的距离 = 船相对河岸走过的距离船相对河岸走过的距离 = 22xx -11xxd-18vMmVMVmv-+0 这里的这里的V与与v分别表示船与人相对于河岸的速度。分别表示船与人相对于河岸的速度。而人相对船的速度为而人相对船的速度为vMmMvMmvVvv+-若在若

16、在0到到t的时间内的时间内,人从船头走到了船尾人从船头走到了船尾,则有则有:+tttvdtMmMvdtMmMdtvl000但在但在0到到t的时间内的时间内,人相对岸行走的距离为人相对岸行走的距离为:tvdts0船相对岸行走的距离为船相对岸行走的距离为:mMmlsls+-mMMlvdtt+0mMMls+192.3 功功 动能定理动能定理本节开始讨论力的空间积累效应本节开始讨论力的空间积累效应点积（标量积）点积（标量积） A BABcoszzyyxxBABABABA+ + + 一一 力所作的功力所作的功:1) 恒力的功恒力的功:sffsAcosfs2) 变力的功变力的功iiiiiirfrfAcos

17、把由把由a到到b 分成许多小段分成许多小段, ifiab只要段分得足够多只要段分得足够多, 每一段每一段足够小足够小,在任一小段内在任一小段内, 可使可使用恒力功的关系式用恒力功的关系式ri20vfdtrdfdtdANa到到b做的功为做的功为: babaiiirabriiiiiabdrfrdfrfArfAAiicoslim003) 功率功率任意一个元过程所作的功任意一个元过程所作的功: rdfdA被称为元功被称为元功. 在讨论变力所作的功问题时，能根据题中的具体情况，在讨论变力所作的功问题时，能根据题中的具体情况，正确地写出元功的表达式，往往是顺利得到所要求的结果正确地写出元功的表达式，往往是

18、顺利得到所要求的结果的关键。的关键。21hmgy 1y2二二 几种常见力的功几种常见力的功重力作功与路径无关重力作功与路径无关只与只与 始末位置有关。始末位置有关。( () )2 21 1yymg- - Amgh 重力重力作功作功 = ？1) 重力的功重力的功rdjmgrdFdA-rddzkdyjdxird+jmgF-mgdydA-21dyyymgA yx0 xz222) 万有引力的功万有引力的功-rrMmGf2lddlfldfdAqcosABdlq万有引力万有引力元位移元位移大小大小 dl方向方向 沿轨迹的切线方向。沿轨迹的切线方向。元功元功为为r,q和和 l 的函数的函数变量变量之间的之间

19、的联系联系：dldrqcos-fr23注意区分符号注意区分符号:drrdrrrrdr-2q00dr0cosqqcosdldr-dlBAdrqrrfdlBAdrqrrf24万有引力的功也只与始末状态有关万有引力的功也只与始末状态有关, 而与所经路径无关而与所经路径无关.drrMmGfdrdA2-由此可得由此可得注意注意：dA 只有在变成只有在变成单变量的函数单变量的函数之后才能之后才能进行积分进行积分的计算。的计算。*万有引力的功（万有引力的功（起点起点A , 终点终点B):BABArrrrBAABrGMmdrrMmGdAA-2-ABrGMmrGMmdlfldfdAqcosqcosdldr-25

20、3) 弹性力的功弹性力的功-21dxxxkxAA22212121kxkx-Oxx1x2FikxF- - rFAddxkxd-弹力作功只与弹力作功只与始末状态有关。始末状态有关。x264) 摩擦力的功摩擦力的功abLrdf例例: 质量为质量为m质质点点, 在一粗糙的在一粗糙的水平面上由起始水平面上由起始位置位置a 沿路径沿路径L运动到运动到b.设所经设所经路径为路径为l ,质点与质点与桌面的摩擦系数桌面的摩擦系数为为 . 求求:摩擦力摩擦力的功的功.mgdrdrmgrdfdA-cosmgLdlmgdAAbaba-摩擦力的功不但与始末状态有关摩擦力的功不但与始末状态有关, 而且与所经路径有关而且与

21、所经路径有关.27rddtvdmrdfdtvdmamfvdvvdvvvdvvddv+2)(2babababavdvmvddtrdmrddtvdmrdfA注意到注意到二二 动能定理动能定理 在合力在合力 的作用下的作用下, 质量为质量为m的质点的质点, 由由a 运动到运动到b , 速度由速度由 变为变为 。讨论该力所作的功。讨论该力所作的功. f1v2v)(21212122221vvmdvmvdvmAvvba-1221222121kkEEmvmvA-质点的动能定理质点的动能定理对质点对质点: 合力的功合力的功 = 其动能的增量其动能的增量28对质点系对质点系: kakbiieiiiEEAAAA-

22、+内外例：炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功之合却不例：炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功之合却不 为零为零. 而是转化为弹片的动能。而是转化为弹片的动能。kakbiaiibiibaieiiiibaieiiiiabEEvmvmrdFfrdFfA-+ )2121()()(22eiiiiFff+iif表示第表示第i i个个质点所受质点所受合内力（合内力（所有内力的合力）。所有内力的合力）。 eiF表示第表示第i i个个质点所受质点所受合外力（合外力（所有外力的合力）。所有外力的合力）。 iFie fii 29例：一柔绳长例：一柔绳长 l ,质量为质量为 m ,一部分放置在桌面上一部分放

23、置在桌面上, 其余长度为其余长度为 l 的部分从桌面上悬下的部分从桌面上悬下(如图如图), 设绳与桌面的设绳与桌面的摩擦系数为摩擦系数为 , 求求: (1)柔绳全部滑离桌面时重力所作的功柔绳全部滑离桌面时重力所作的功. (2)柔绳全部滑离桌面时摩擦力所做的功。柔绳全部滑离桌面时摩擦力所做的功。解：解：(1) 重力的功重力的功: 设绳设绳从桌面上悬下从桌面上悬下 的长度从的长度从 x 变到变到 x+dx 时重力的功时重力的功 为为dA1则有则有:0lxdxgdxlmxdA 1)(220210lllmggdxlmxAll-(1) 摩擦力的功摩擦力的功: 设绳设绳悬下的长度从悬下的长度从 x 变变

24、到到 x+dx 时摩擦力的功为时摩擦力的功为dA2 则有则有:dxxllmgdxlmxmdA)()(2-202)(2)(0lllmggdxxllmAll-30例例2：一质量为：一质量为m 的物体和一个劲度系数为的物体和一个劲度系数为k 的弹簧的弹簧, 如图如图, 其中其中 板板A及弹簧的质量可以忽略不计及弹簧的质量可以忽略不计. 求自弹簧原长求自弹簧原长O处突然地处突然地, 无初速度地加上物体时无初速度地加上物体时, 弹簧的最大压缩量弹簧的最大压缩量. max1mgxA 解：压缩的整个过程中重力的功为解：压缩的整个过程中重力的功为:压缩的整个过程中弹性力的功为压缩的整个过程中弹性力的功为:2m

25、ax0221)(maxkxdxkxAx-开始时开始时, 物体的速度为零物体的速度为零, 到达最大到达最大压缩量时物体的速度也为零压缩量时物体的速度也为零, 由动由动能定理有能定理有:0212maxmax-kxmgxkmgkmgx2maxxdxxmaxXOfmg312.5 保守力与势能保守力与势能保保 守守 力力 的的 概概 念念 小结：（小结：（ 1）写出）写出 元功元功 dA = f(x)dx（2）对元功对元功 积分得到积分得到 整个过程的整个过程的 功功A一般情况：一般情况： 整个过程的功整个过程的功*保守力保守力 ：功的大小功的大小 只与物体只与物体的的始末位置有关始末位置有关 ，而，而

26、 与与所经历所经历的的路径无关路径无关 。作功具有。作功具有 这种这种 性性质的质的力力被称为保守力。被称为保守力。AB元功元功drFrdFdAqcosBABABAdrFrdFdAAqcos.32rdFrdFBABA黑红AB0-rdFrdFBABA黑红0+rdFrdFABBA黑红0rdF*保守力保守力：某力若其沿某力若其沿任意闭合路径一周所作任意闭合路径一周所作的功为零的功为零, 这种力这种力被称被称为保守力。为保守力。重力是保守力重力是保守力.只有保守力才能定义势能只有保守力才能定义势能, 对非保守力一般不谈势能对非保守力一般不谈势能的概念的概念.摩擦力就不是保守力摩擦力就不是保守力, 也称

27、为非保守力也称为非保守力.33*重力势能重力势能：A点势能点势能mgzEAAmgzEBBmgzmgzEEEABAB-BAABmgzmgzEA-B点势能点势能重力势能的增量重力势能的增量 = 终态势能终态势能 - 初态势能初态势能结论：重力的功结论：重力的功 = 重力势能增量的负值重力势能增量的负值若若取取B点点势能势能为为零零则有：则有：BAABBAmgdzA-mgzEE-重重 力力 势势 能能)(ABzzBAABmgzmgzdzmgdAABA-重力的功：重力的功：起点起点A),(AAAzyx),(BBBzyx终点终点B34)()(ABABrGmMrGmMA-万有引力势能万有引力势能则有引力势

28、能处的为空间位置定义函数-rrGMmrE)()BAABABEEEEEA-()( )-BAAAABfdrrGMmrEErE0万有引力的万有引力的功功 = 引力引力势能增量势能增量的的负值负值*零点零点的选取：若选的选取：若选无穷远点无穷远点处为引力处为引力势能的零点势能的零点则有则有*万有引力势能：万有引力势能：( )l dfrGMmrEEAAAA-势能零点处35万有引力势能与重力势能万有引力势能与重力势能以以ME表示地球的质量表示地球的质量, R表示地表示地球的半径球的半径, 则在地球表面处的质则在地球表面处的质量为量为m的物体的万有引力势能为的物体的万有引力势能为:RmMGREEP-)(在距

29、地面高度为在距地面高度为z处的质量为处的质量为m的物体的万有引力势能为的物体的万有引力势能为:zRmMGzREEP+-+ )(若取地面处为引力势能的零点若取地面处为引力势能的零点, 则有距地面为则有距地面为z处的引力势能为处的引力势能为:)()11()()(zRRmzGMRzRmGMREzREEEEPPP+-+-+当当 z R 时有时有:mgzzRmGMRzRmzGMEEEP+22)/1 (1其中其中:2RGMgE36*弹性力的功弹性力的功)(2122ABBABAxxkxdxkA-自然长度自然长度 xB=0，弹性势能为零，弹性势能为零221PBPPkxdxfE弹弹 性性 势势 能能*弹性势能弹

30、性势能弹性力的功弹性力的功 = 弹性势能增量的负值弹性势能增量的负值定义定义:221kxE 则有则有)(ABBAEEA-37保守保守力的力的势能势能保保 守守 力力 与与 势势 能能 的的 一一 般般 关关 系系 *积分关系积分关系： 保守力的保守力的 功功= 势能势能增量增量的的负值负值 =初态势初态势能能 -终态势终态势能能BAABEEEA-*势能势能零点零点的选取：的选取： 原则上讲是原则上讲是任意的任意的。因此，势能的。因此，势能的绝对大小绝对大小是是与零点与零点位位置的选取置的选取有关有关的。但任意两点之间的的。但任意两点之间的 势能差势能差值却值却与零点与零点的选取的选取无无关关。

31、若选若选B点点处的处的势能为零势能为零则有则有A 点点处的处的势能势能可写为可写为drFABAABqcosBAAdrFEqcos势能零点处AdrFqcos382.6 功能原理与机械能守恒定律功能原理与机械能守恒定律 kAkBEEAA-+内外内力分为两部分内力分为两部分kAkBEEAAA-+内保内非外)()(pAkApBkBEEEEAA+-+内非外)(PAPBBAEEA-内保定义定义机械能机械能pkEEE+一一 功能原理功能原理由质点系的动能定理由质点系的动能定理:ABEEAA-+内非外该式被称为功能原理该式被称为功能原理, 其物理意义是其物理意义是:质点系所受外力的功与质点系所受外力的功与其非保守内力的功之和其非保守内力的功之和质点系机械能的增量质点系机械能的增量39例：一质量为例：一质量为m=5kg 的物体从静止开始沿的物体从静止开始沿1/4圆周（半径圆周（半径R=5m） 从顶端从顶端A下滑到下滑到B点点. 设滑道是固定不动的，物体到达设滑道是固定不动的，物体到达B处的处的 速度为速度为 v = 9 m/s. 求：在下滑过程中摩擦力所做的功。求：在下滑过程中摩擦力所做的功。