函数相关知识回顾

1、11.1 函数相关知识回顾函数相关知识回顾第一章第一章 函数函数1.2 基本初等函数与初等函数基本初等函数与初等函数1.3 经济学中常用的函数经济学中常用的函数21.1 函数相关知识回顾函数相关知识回顾一一. 集合集合二二. 绝对值的性质绝对值的性质三三. 邻域邻域四四. 函数函数五五. 分段函数分段函数六六. 复合函数复合函数3一、集合一、集合 区间是用得较多的一类数集区间是用得较多的一类数集.M= x | x所具有的特征所具有的特征 这里这里x所具有的特征所具有的特征, 实际就是实际就是x作为作为M的元素适合的的元素适合的充要条件充要条件. 所谓集合是指具有某种特定性质的事物的总体所谓集合

2、是指具有某种特定性质的事物的总体. 组成组成这个集合的事物称为该集合的元素这个集合的事物称为该集合的元素. 设设M是具有某种特征是具有某种特征的元素的元素 x 的全体所组成的集合的全体所组成的集合, 记作记作1.1 函数相关知识回顾函数相关知识回顾4,0,0aaaaa 二、绝对值的性质二、绝对值的性质定义定义1(1),; aaaaa 性质性质(2); aba b(3)(0);aa bbb5 bab bab(4),(0) ababab(6); ababab(5); abab(7). ab ab bab(0);或或6三、邻域三、邻域 设设a, b都是实数都是实数, 且且a b, 数集数集 x |

3、a x b 称为称为开区开区间间. 记作记作(a, b), 即即 ( , )a bx axb( , ),( , ).aa b ba bba 类似还有闭区间类似还有闭区间, 半开半闭区间以及无限区间半开半闭区间以及无限区间. 其中数其中数ba 称为有限区间的长度称为有限区间的长度.其中其中 a 和和 b 称为开区间的端点称为开区间的端点, (如图如图)7a bx axb , ,a bx axb( , , , ),a bx axbababab(, ),axxa a8(, ,axxa a ,),ax ax a( ,),ax ax a(,).xx 9在微积分中常用到特殊的开区间在微积分中常用到特殊的开

4、区间邻域邻域.定义定义1 以以 x0为中心为中心, 以以 为半径为半径, 长为长为2 的开区间的开区间.即即 xxx xx000(,),0 2 0 xx00 x称为称为点点 x0 的的 邻域邻域 , 记为记为U(x0 , ).10例例1 点点2的的1邻域邻域 x | | x - 2| 1 = (1, 3).定义定义2 点点 x0 的的去心邻域去心邻域. 即即 0000000U0( x , ) xxx ( x,x )( x ,x ). 2 0 x0 x0 x定义定义3 点点 x0 的的左邻域左邻域, 即即0000(,)xxxxx0000(,)xxxxx 点点 x0 的的右邻域右邻域, 即即可类似

5、定义多元微积分中用到的平面上点的邻域可类似定义多元微积分中用到的平面上点的邻域.点点( )的的 邻域记为邻域记为 x | | x + | 0 为半径的圆为半径的圆222000(, ) ( , )()(),0U Mx yx xyy 例例2 点点(1,1)的的 邻域是平面上以点邻域是平面上以点(1, 1)为心为心, 为为221( ,) (1)(1)4x yxy o11xy半径的一个开圆半径的一个开圆圆邻域圆邻域. 即即内的点的全体内的点的全体. 即集合即集合12或以或以M0 为心为心, 2为边长的正方形区域为边长的正方形区域. 即集合即集合000(,)( ,),U Mx yxxyy 为为M0 的子

6、邻域的子邻域方邻域方邻域. oy0 x0 xy13四四.函数函数定义定义5 设设 x, y 是两个变量是两个变量, 若对若对D中每一个值中每一个值 x, 按照按照1. 函数的定义函数的定义2.函数的表示法函数的表示法一定的对应法则一定的对应法则 , 总有确定的数值和它对应总有确定的数值和它对应, 则称则称 y是是x的的函数函数; 记作记作 y=(x). 称称 x 为自变量为自变量, y 为因变量为因变量; D为为定义域定义域; 集合集合列举法、描述法、列表法、图象法列举法、描述法、列表法、图象法.( ) ( ),D fy yf x x D 为为值域值域.14xx(x,(x)(x,(x)xx(x

7、,(x)(x,(x)xyxyoo图图1偶偶奇奇函函数数的图形具有对称性的图形具有对称性 (图图1) .(1) 函数的奇偶性函数的奇偶性: 设函数的定义域设函数的定义域D关于原点对称关于原点对称(为为偶偶奇奇函函数数. .对称区域对称区域),而且而且xD,若若(x)=(x),则称则称(x)为为3. 函数的性质函数的性质15(2) 函数的单调性函数的单调性:若若(x)对其定义区间对其定义区间 I 上上,则称则称(x)在区间在区间 I 上严格单增或单调增加上严格单增或单调增加;对应曲线是上升的对应曲线是上升的. 如图如图2所示所示.2x1()f x2()f xy= (x)oxxyyo1x图图22x1

8、x1()f x2()f xy= (x)1212()()()()f xf xf xf x 或或则称则称(x)在区间在区间 I 上严格单减或单调减少上严格单减或单调减少;对应曲线是下降的对应曲线是下降的.1212( )( )( )( )f xf xf xf x 或或12,x xD 当当 时时, 恒有恒有 12xx 当当 时时, 恒有恒有 12xx 16 (3) 函数的有界性函数的有界性: M 0 , xD, | (x) |M, 则则称称 (x) 在在 D 内有界内有界. (图图3)oy=My=Mxyy= (x)y=Mxoyy=M图图3xoyy= (x)y= (x)17(4) 函数的周期性函数的周期

9、性: T0, 使使 (x+T)=(x). 则称则称(x)为为yox2TTT2Ty= (x)其图象每隔其图象每隔 T个单位就重复个单位就重复. (图图4)周期函数周期函数. 满足函数的最小正数满足函数的最小正数 T 称为称为 (x) 的的 (最小正最小正)周期周期. 图图4184. 显函数及隐函数显函数及隐函数5. 反函数反函数 由方程由方程 F(x , y) = 0 所确定的函数所确定的函数 设函数的定义域为设函数的定义域为D, 值域为值域为W. 若对若对yW, D上至少上至少可以确定一个数值可以确定一个数值 x 与与 y 对应对应, 且且间有一定的关系间有一定的关系.函数函数y =(x) 的

10、的反函数反函数. 而原函数而原函数 y =(x)为直接函数为直接函数; x , y称为称为隐函数隐函数. 而将而将 y = (x) 称为函数的显式称为函数的显式.1( ) ( )yf xxfy 或或( ) ( ).f xyxy 若把若把 y 看作自变量看作自变量, x 看作因变量看作因变量, 则称函数则称函数 为为( )xy 互换便有互换便有 , ( )xy 从而函数与反函数定义域、值域及图象从而函数与反函数定义域、值域及图象19五五.分段函数分段函数问题：是否所有的函数都可用一个数学表达式表示呢？问题：是否所有的函数都可用一个数学表达式表示呢？有的函数在其定义域的不同范围内有的函数在其定义域

11、的不同范围内, 要用两个或两个以要用两个或两个以例例3 绝对值函数绝对值函数 ,0,0 xxyxxx yxoy = |x|值域值域0, +). 定义域定义域(,+).上的数学表达式来表示上的数学表达式来表示, 这一类函数叫作这一类函数叫作分段函数分段函数.201,0sgn()0,01,0 xyxxx 值域值域1，0，1.例例4 符号函数符号函数定义域定义域(,+).例例5 狄立克莱函数狄立克莱函数 1,(0,(xQyxQ 有有理理数数集集) )无无理理数数集集) )11oxy21例例6 取整函数取整函数(阶梯曲线阶梯曲线) y = x 为不超过为不超过 x 的最大的最大整数部分整数部分. 如图

12、如图:个函数，而不是几个函数个函数，而不是几个函数.实际上是取左端点实际上是取左端点.oxy12112注注 分段函数虽有几个表达式分段函数虽有几个表达式, 但它们合起来表示一但它们合起来表示一22地的行李费地的行李费 y (元元)与重量与重量 x (千克千克)之间的函数关系式之间的函数关系式.0.15 ,05050 0.15 (50) 0.25, 50 xxyxx 解解 例例7 火车站收取行李费规定如下火车站收取行李费规定如下: 当行李不超过当行李不超过50千克千克时时, 按基本运费计算按基本运费计算, 如从上海到某地收如从上海到某地收 0.15 元元/千克千克, 当当超过超过50千克时超重部

13、分按千克时超重部分按0.25元元/千克收费千克收费. 试求上海到该试求上海到该确定分段函数的定义域并求确定分段函数的定义域并求f (1), f (0), f (1), f (x1).21,10 ( ),2,01xxf xx 例例823,0()()4, 02;5,2xxfxg xxxxx ,0()()36 ,02 .5,2xxfxg xxxxx 21,02,0 ( ),( ),0,025,0 xxxxf xg xxxx 或或求求 f (x) + g (x), f (x) g (x). 例例9解解222,01(1).2,12xxxf xx 解解24六六.复合函数复合函数个新的函数个新的函数.复合而

14、成的复合函数为复合而成的复合函数为2 ,1yu ux由由21yx所谓复合函数就是把两个或两个以上的函数组合成一所谓复合函数就是把两个或两个以上的函数组合成一 例例10是定义在是定义在 D上的函数上的函数, 值域为值域为Z. 合而成的复合函数合而成的复合函数. u 称作中间变量称作中间变量.定义定义6 设设 是定义在是定义在U上的函数上的函数, 而且而且( )ux ( )yf u 若若 , 有有 与之对应，而与之对应，而 通过法则通过法则 与与 对应，对应，xD uuZU fy( )ux ( )yf u 和和( ( )yfx 则称则称 是函数是函数 复复25例例11 求下列函数的复合函数：求下列函数的复合函数：(1) (), ();uyfueux 2( 2 ) a r c ta n , ;yuux 222(3) , ; ()(4) , , ;2(5) arcsin , 2.yuuxyxxxyuuctgvvyuux故它们不能复合成一个复合函数故它们不能复合成一个复合函数.有意义有意义, 因因 的值域为的值域为 不能使不能使22ux 2u u arcsin yu 26将几个简单函数将几个简单函数(基本初等函数或由基本初等函数与常基本初等函数或由基本初等函数与常例例12 将下列函数分解为简单函数并求其定义域：将下列函数分解为简单函数并求其定义域：222(56)(