2022年新高考数学基础考点专题练第16讲 利用导数研究方程的根(基础训练)(解析版)

1、第16讲利用导数研究方程的根【基础训练】一、单选题2x+3cix>01.若/(x)的图象上两点关于原点对称，则称这两点是一对对偶点，若/(X)=<3'n的图象上存X-X,XVU在两对对偶点，则实数。的取值范围是()A.,q,oB.(0,+<x>)C.1D.(2,0)【答案】A【分析】当x>0时，/(X)关于原点对称的函数为g(x)=-/(T)=dx,然后条件可转化为y=3a与A(x)=x3-3x在(0,+8)上恰有两个不同交点，利用导数求出Z(x)的单调性，然后画出图象即可求解.【详解】当x>0时，/(%)关于原点对称的函数为g(x)=-f(-x)=

2、x-x,/(X)恰有两对“对偶点”，.当x>0时，8(K)=X3-工与/(力=23+34恰好有两个交点，即y=3a与左(力=/一3%在(0,+动上恰有两个不同交点，因为k'(x)=3x23=3(x+l)(x1),当x>l或x<-l时,犬(x)>0,原函数递增,当一1<x<1时，k'(x)<0,原函数递减，且左(0)=0,左(1)=-2,2.已知直线/与曲线y=x3-6f+i3x9有3个不同交点A（5,y）,/天,%），。（七，%），且3|蜴=照，则Z（x,+y）=（）1=1A.6B.8C.9D.12【答案】C【分析】根据题意，求得y&#

3、39;=3x2-12x+13,y"=6x-2,令尸=0,得到曲线的对称中心为（2,1）,由|A4=|Aq,得出A点一定是对称中心，且8（与），。（%力）两点关于A对称，即可求解.【详解】由题意，函数丫=了3-6/+13%一9,可得y'=3V-12x+13,y"=6x-12,令y''=0,即6x12=0,解得x=2，所以曲线。=炉一61+13X-9的对称中心为（24），因为直线曲线的交点A,B,C,满足|A8|=|AC|,故A点一定是对称中心，即A点坐标是（2,1）,且8（%,），。（七,%）两点关于A（2）对称，可得当+工3=4,卜2+%=2,所以t

4、(x,+y,)=9.1=1故答案为：9.3.若方程x5-3x+，/=0在0,2上有解，则实数的取值范围是()A.-2,2B.0,2C.-2,0D.(f,-2)U(2,+8)【答案】A【分析】分离参数得-6=_?一3，利用导数求由y=/-3x的值域即可求解.【详解】由题意得，方程V-Bx+muO在0.2上有解，则加=%3?大，xG0,21，令y=V-3x,xe0,2,则？=3/-3,令y'>0,解得x>l,因此函数在0,1上单调递减，在U2上单调递增，又x=l时，y=-2：户2时，产2；m0,.v=0,二函数y=_?3x,xG0,2的值域是-2,2,故一？e-2,2,.加w-

5、2,2.故选：A.4 .方程x36丁+9%+机=0恰有三个不等的实根，则实数加的取值范围是()A.(-00,-4)B.(-4,0)C.(-co,-4)U(0,+oo)D.(0,+oo)【答案】B【分析】设函数/(x)=M-6V+9x,利用导数求得函数f(x)的单调性与极值，再把方程恰有三个不等的实根,转化为函数丁=/6)与、=一机的图象有个不同的交点，即可求解.【详解】设/(6=-6产+9，uj'得/''(犬)=3/一12%+9=3(1-1)-3),令/'(x)>0,即(x-l)(x-3)>0,解得x<l或x>3,令/'(x)&l

6、t;0,B|J(x-l)(x-3)<0,解得l<x<3,所以函数/(x)在(f,1),(3,+8)单调递增，在(1,3)单调递减，则当x=l，函数取得极大值1)=4,当x=3,函数/(x)取得极小值/(4)=0,要使得方程V一6/+9x+?=0恰有三个不等的实根，即函数丁=/(工)与丁=一加的图象有二个不同的交点，所以0vTn<4,解得-4v帆v0,即实数，的取值范围是(-4,0).故选：B.5 .已知函数=",g(x)=(其中。er)对于不相等的实数为,马，设根="、户，(毛),X一工2=，-MN),给出下列三个结论：对于任意不相等的实数小天，都有

7、机>0；对于任意的。X1x2及任意不相等的实数占,，都有“<0;对于任意的a,存在不相等的实数为，修，使得7=.其中，所有正确结论的序号是()A.B.©C.D.®【答案】A【分析】运用指数函数的单调性，即可判断：由二次函数的单调性，即可判断：通过函数力(尤)=一/+公一靖，求出导数判断单调性，即可判断：【详解】对于，由于e>l，由指数函数的单调性可得x)=e在尺上递增，即仃二八;，>0,则正确；对于，由二次函数的单调性中导必刈在18,-?递减，在(一/+8)递增，则>0不恒成立，则错误；对于,由=,可得/(.)一f(/)=g(x)-g(&

8、;),即为ga)-/a)=g(/)考查函数(x)=-f+axe'因为(x)=-2x+a-,当a-8时，(力小丁0,则(x)单调递减，则错误；故选：A.【点睛】本题主要考查导数的方法研究方程的根的问题，考查函数单调性的判定，属于常考题型.1-e*,x206 .已知函数/(x)=，i,函数g(x)=k(x-l),若方程/(x)=g(x)恰有三个实数解，则实x+2x,x<012数攵的取值范围为()A.1-75,0)B.(0,l+x/5)C.(0,3-肉D.(0,3-屈【答案】D【分析】要使程/(X)=g(x)恰有三个实数解，则函数/(X),g(x)的图象恰有三个交点，再分别作出函数/(

9、x),g(x)的图象，观察图象的交点个数即可得解.【详解】解:依题意，画出f(x) =-ex>0x2 + 2x,x<0的图象，如图.直线g(x) = Mx - l)过定点(1,0),由图象可知,函数g(x)的图象与/(X)=；/+2x,X<0的图象相切时，函数/(x),g(x)的图象恰有两个交点.下面利用导数法求该切线的斜率.设切点为P(Xo，y(),由八x)=x+2,x<0,得，(%)=%+2=尹二2七，%-1化简得xj-2x0-4=0,解得x(,=1-6或%=1+石(舍去)，要使方程/(x)=g(x)恰有三个实数解，则函数/(x),g(x)的图象恰有上个交点，结合图

10、象可知0<女<3-石，所以实数k的取值范围为(0,3-J5),故选：D【点睛】本题考查了方程的解的个数与函数图象交点个数的关系，重点考杳了数形结合的数学思想方法，属中档题.7.若函数幻=(2丁一如+4)/在区间2,3上不是单调函数，则实数小的取值范围是()20171f2017、匚201120、1.32JI32)L3JI3)【答案】B【分析】首先求出导函数，使/'(X)在区间(2,3)上有解，分离叁数可得一4=*=2(+1)+七一4,设2x+1=/jg(3,4),从而可得加=2r+7=g"),利用导数即可求解.【详解】因为函数/(幻=(2/一如+4”，所以f(x)=

11、e"(2x2-mx+4+ex(4x-m)=ex2x2+(4-m)x+4,若/(x)在区间(2,3)上不是单调函数，则/'(x)=0在区间(2,3)上.有解，即2x2+(4-m)x+4=0在区间(2,3)上有解,nn.2x?2(x+1)?4(x+1)+2_2.即6-4=i-=2(x+1)+4元+1x+1x+I2设x+1=f/e(3,4),则n?=2r+=g(f),t7g'")=2-尸0,2017=g(3)<g(f)<g(4)=u，2017所以<m<一,32(2017、实数优的取值范围是丁，5J,故选：B.【点睛】本题考查了导数与函数单调

12、性的关系，分离参数法求参数的取值范围，属于中档题.8 .方程的实根个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】求方程的实根个数，等价于求函数/(x)=e/零点的个数，通过求导研究“X)的单调性，结合零点存在性定理，即可求解.【详解】解：f(x)=ex-x2,fx)=ex-2x,令g(x)=/'(无)=e*-2x，贝i|g'(x)=e'-2,令g'(x)=O,则x=ln2,当x<ln2时，g'(x)<。，当x>ln2时，g'(x)>0,所以g(x)在(-oon2)上单调递减，在(In2,+8)上单调递增,所以当x=l

13、n2,g(x)取得极小值,也是最小值,为以(x)的最小值,=/Xin2)=6抽2-2In2=2(1-In2)>。，即/'(X)>0在(Y0,+00)上恒成立，所以/(x)=ex-x2在(-00,+00)上单调递增，ffij/(0)=l>0,/(-l)=-l<0.e所以函数/(x)=e*-尤2存在唯一的零点，即方程=e'只有1个实根.故选；B【点睛】此题考查函数与方程，以及导数的应用，属于基础题9 .方程V一3工一?=0在区间一；,3上有唯一根，则?的取值集合为()2A. < th < 18口8B. 同24机018C.卜|机=2或一2VmwgD

14、.时z=-2或2vm<18【答案】D【分析】3一由方程3x加=0分离常数？，构造函数x)=Y-3x,利用导数研究“X)在区间一耳,3上的单调性，由此求得力的取位范围.【详解】3依题意方程丁3工2=0在区间一天3上有唯一根，rn=x3-3x»构造函数/(1)=丁3x,/(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),所以或1WxW3时，f(x)>0,递增；-IWxWI时，/(x)<0,x)递减.3/(l)=l3-3xl=-2,"3)=333x3=18曲此画出/(x)在区间一3上的图像如下图所示，由图UJ知，加的取值范围是同帆=-2或2<根418.故选：D【

15、点睛】本小题主要考查利用导数研究方程的根，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.10 .已知函数/(x)=e"-x-a,若函数y=/(x)有零点，则实数a的取值范围是(A. (l,+oo)B. l,+oo)c. y,i)d. y,i【答案】B【分析】函数y=f(x)有零点等价于方程e*-x=a有解，令g(x)=ex-x,利用导数判断函数的单调性并求出最值即可求得“的范围.【详解】函数y=/(*)有零点等价于方程e*-x=a有解，令g(x)=e*-x,g'(x)=e*-l,当x>0时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增：当x<0时,g'(x

16、)<0,函数g(x)单调递减,又g(0)=l,所以aNl.故选B【点睛】本题考查函数的零点与方程的根、导数在研究函数的性质中的应用，属于基础题.11 .若关于x的方程依-lnx=0有两个实数根，则实数上的取值范围是()A.(-00,e)B.(-oo,1)C.D.(0,e)【答案】C【分析】InYInY分离参数,k=,利用导数求解y=的单调性，结合图象可求文数2的取值范围.xx【详解】Inx“、Inx、1-lnx由题意得&=.设/(x)=，f(x)=-Z-.XX当。<x<e时，r(x)>0,/(X)为增函数：当x>e时，r(x)<0,f(x)为减函数，

17、且/(x)>0.所以f(x)有最大值f(e)=,，简图如卜，e故选：c.【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的性质，作出简图是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.12 .若函数y=x3-6/+9x的图象与直线丁=。有3个不同的交点，则实数”的取值范围是（）A.（,0）B.（0,4）C.（4,+oo）D.（1,3）【答案】B【分析】求出函数的导数，求出单调区间和极值，作出/（x）的图像，由图像观察可得a的取值范围.函数/（可二3-6£+9x的导数为：/'（工六？%2-12x+9,/'(x)>0解得x>3或x<l,函数递增；/

18、9;(x)<0解得l<x<3,函数递减：即/(1)取得极大值4，/(3)取得极小值0：作出/(x)的图像，作出直线丁=。，由图像可得当0<。<4时，直线与/(x)的图像有3个不同的交点.故选：B【点睛】本题考查了导数在研究函数极值中的应用，考查了数形结合的思想，属于基础题.13 .若关于x的方程e，+oxa=0有实数根，则实数。的取值范围是()A.(",0B.0,e2)C.(-e,0D.(-oo,-e2u(0,+oo)【答案】D【分析】把方程进行常变量分离，构造新函数，求导，判断出函数的单调性，再根据函数的正负性，画出函数图象，利用数形结合进行求解即可.

19、【详解】靖+奴一。=0=>靖=一。(彳-1),当x=l时，=0无实数解，不符合题意，故于是有a=士，令，(尤)=£,显然当x>l时，/(x)<0；当x<I时，/(x)>0.X1X1fx)=-e,当x>2时，/(x)<0,函数/(X)单调递减，当x<l/<x<2时，f(x)>0,函(x-l)-数f(x)单调递增，因此当X>1时，/(X)max=/(2)=-e2,函数/(X)的图象致如下图所示:因此要想e*+ar a = 0有实数根，只需方程组：ey 一 三T有交点，如I:图，则有实数。的取值范围是y=a故选：D【点

20、睛】本题考查了方程有根求参数取值范围问题，考查了导数的应用，考查了数学运算能力和数形结合能力.14.若存在两个不相等正实数x,y,使得等式x+a(y-2ex).(lny-lnx尸0成立，其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是()A.-8,0)B.C.D.(-oo,0)【答案】A【解析】由题意知。=c、小.(2ex-y)lnJx设)=«，>0,且#1).x11则4=7=(2e-r)ln/.(2e-r)lnra令-f)=(2e4)lnr面)M,2e则八/)=-(1+lnr).t2e一1令一:l+ln乙得/=已由数形结合可知，当r>e时/<0;当0</<

21、e时/>0.所以且刖#),所以0<ta土或，<0,解得a<0或d>-.ae15 .函数y=sinx的图象与函数y=x图象的交点的个数为A.0B.1C.2D.3【答案】B【详解】内：线y=X与正弦曲线y=sinx的交点个数，即方程X=sinx的解的个数，即函数g(x)=xsinx的零点个数，由于g'(x)=l-cosxNO,故函数g(x)在R上是增函数，再根据g(0)=0,可得函数g(x)=x-sinx的零点个数为1,故选B.16 .若关于x的方程法昌一号忘什说=颜有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为A.-兽yjsW响B,则工蜩.<甥C.-sa&l

22、t;SD.-曾三惭士受【答案】C【详解】试题分析：对函数求导，/'(x)=3x23=0,，x=±l,当x<-l时，/(x)单调递增，当一1<<1时，函数/*)单调递减，当x>l时，函数/(x)单调递增，要有三个不等实根，则1)=-1+3-。>0,且/(1)=1-3-«<0,解得-2<a<2.考点：根的存在性及根的个数判断.17 .若函数,城=/#蟠？#，甑:皆£有极值点时且利地1=5，则关于X的方程蹦球矍S整唠酬相曲=I0的不同实根个数是A.3B.4C.5D.6【答案】A【详解】fx)=3x2+2ax+b,演

23、,刍是方程3/+26+人=0的两根，由3(/(x)2+2如(x)+8=0,则又两个/(力使得等式成立，X,=/(X),当%>%=/(%),其函数图象如下：如图则有3个交点，当x2<%,=/(%,),其函数图象如下:A. Xj + x2 > 0, + y2 > 0c.石+七（0,乂+必）0D.阳 + % v °，M + y2Vo【考点定位】考行函数零点的概念，分类讨论的思想，以及对嵌套型函数的理解.18 .设函数/(x)=L,g(x)=-/+6x.若y=/(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共X点A(xpy,),B(x2,y2),则下列判断正确的

24、是b.玉+/>°，y+y2Vo【答案】B【详解】设尸(无)=尤3左+,则方程/(x)=ov/(x)=g同解，故其有且仅有两个不同零点不士.由222b'(尤)=0得x=0或工=一力.这样，必须且只须产(0)=0或尸(一6)=0,因为尸(0)=1,故必有尸(一。)=03333o-由此得b=.不妨设A与，则x2=.所以jF(x)=(x-X)(x-J?)?,比较系数得一X1心伍=1,故内=一，次.2+=,次0,由此知x+%=+=卫玉。，故答案为B22*2X%?19 .已知函数f(x)=-,g(x)=x8sx-sinx,当xe-3乃,3兀时，方程/(x)=g(x)的根的个数是()

25、A.8B.6C.4D.2【答案】B【详解】试题分析：由题意得，函数/(尤)=-千在xe3/r,3句上是奇函数且是反比例函数，g(x)=xcosx-sinx在刀(-34,3万上是奇函数，则g'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,所以g(x)在0,句上是减函数，在上是增函数，在2不，3句上是减函数,且g(0)=0,g()=Tr,g(2乃)=24,g(3万)=-3万,所以作出函数f(x)与g(x)在xe3肛3句上的图像，如图所示，结合图像可知，共有6个交点.故选B.考点：根的存在性及根的个数的判断；函数的图像.20 .若函数/(无)=«*+62+Zzx+c有极值点

26、看,匕，且/(xJ=X,则关于x的方程3(7(x)2+24(x)+8=0的不同实根个数是()A.2B.3C.3或4D.3或4或5【答案】B【分析】设不<马，可得/(X)=X|或X)=X2,根据函数的单调性画出大致图象，根据图象交点个数可得出.【详解】函数+以2+bx+C有极值点占,2,则/"(力=3/+2公;+。，且为应是方程3/+20¥+6=0的两个根，不妨设出司,由3(/(无)了+2力'(*)+=0可得/(*)=%1或/(月=为，易得当xg(-oo，X),(W，+co)时,/,(%)>0,龙)单调递增，当XG&,/)时,/,(x)<0,

27、/(x)单调递减，乂/(xj=X,则可画出/(x)的大致图象如下：如图所示，满足/(x)=%或/(x)=/有3个交点，即关于x的方程3(/(x)2+24。)+8=。的不同实根有3个.故选：B.【点睛】大他点睛：解决本题的关键是画出函数图象，判断出方程的根的个数是满足6=玉或/(x)=w的图象交点个数.21 .已知函数/(力=«2,若关于x的方程/(同一日+1=0有四个不同的实根，则实数上IX+XSU的取值范围是()A.(2,2)B.(0,2)C.(1,2)D.(l,+oo)【答案】A【分析】利用导数和二次函数分别研究各段上单调性和极值，画出图象，利用数形结合思想结合导数的几何意义即可

28、求得.【详解】当x>0时，/,(x)=lnx-2,当xe(0,e)时，/'(x)<0：当xe(e2,+oo)时，/'(x)>0,所以/(X)在(0工2)上单调递减，在卜2,+8)上单调递增，当xWO时，/(x)=(x+2)2-4,故在(yo,-2)上单调递减，在(一2,0上单调递增，其大致图象如图所示，由/(X)一履+1=0,得/(x)=Ax-l,令g(x)=fccT,关于X的方程/(X)丘+1=0有四个不同的实根等价于函数/(x),g(x)的图象有四个不同的交点.当x>0时，/（X）=xlnx-3x的图象在点（毛,/（毛）处切线斜率为lnx0-2,该切

29、线过点（0,-1）时，x。满足了（“°）+1=lnx0-2,工0即”与+1=ln毛一2，解得.=1,所以/（x）=xlnX-3x的图象过点（0,-1）的切线斜率为-2：/（x）=f+4x的图象在点（r,/（/）处的切线斜率为2r+4,该切线过点（0,-1）时，-+4f-=2r+4.因为/<0,解得，=1,所以x）=犬+4x的图象过点（0,-1）的切线斜率为2.结合函数图象可知，当女的取值范围是（一2,2）时/（x）,g（x）的图象有四个不同的公共点.故选:A.【点睛】本题考查利用数膨结合思想求方程有特定个数的实数根的条件,主要是要利用导数研究函数的单调性并注意利用导数研究切线的

30、斜率.22 .已知函数=2ex+e+（尤>e,e为自然对数的底数）,g（x）="">”若/（X）-g（x）=。有解，则。的取值范围为（）A.（0,4-00）B.e,+oo）C.2,4-00|D.j-oo,2-【答案】C【分析】求出/(X)的最小值，求出g(x)的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值,得到关于。的不等式，求出。的取值范围即可.【详解】因为x-e>0，所以/(x)=(x-e)+-22,x-e当且仅当x-e=一，即x=e+l时，等号成立，此时/(x)有最小值2,x-e,、In(x-l)，,、l-ln(x-l)g(x)=

31、'3+a,则g(x)=-s,x-1(x-1)令g，(x)=O,X=e+l,当l<x<e+l时，g'(x)>0,则g(x)是增函数，当x>e+l时，g'(x)<0,则g(x)是减函数,所以当x=e+l时，g(x)有极大值也是最大值，g(x)a=g(e+D=a+1，e要满足了(X)-g(x)=O有解，只需要a+L.2,e所以a.2-1,e故选；c.【点睛】关键点睛：本题的关键是基本不等式的运用、利用导数研究函数的最值，并运用数形结合的思想处理问题.上"-,x<223 .已知函数/(x)=、21，若方程力=日有且仅有3个不等实根，

32、则实数&的取值范围是()A.0<<1B.2e2IC.一1(人<0或1<女<D.-l<k<02【答案】B【分析】先画出函数的图象，再根据数形结合就可以得到答案.【详解】已知/(x)=«e2(作出函数图象,通过函数图象可以看出，当直线丫=丘q/(x)=e*-l相切时，设切点为(拓,/-1),所以有,，解得我=1,e'-l=kx02i当直线y=履过点(211)时女=三二所以/(司=丘仃”仅仃3个不等实根，可以得到,由上图可知，当上<0时，/(x)=h最多只有2个不等实根.e2-所以1<A<2故选：B.【点睛】关键点

33、睛：解决本题的关键一是准确地画出函数的图象，二是求出直线与曲线相切时的斜率，三是要有数形结合的思想.24 .若方程2/一6/+6+帆=0有三个不同的实数根，则加的取值范围()A.(6,0)B.(6,2)C.(2,0)D.(0,6)【答案】B【分析】设/(x)=2V-6x2+6,xeR,由导数求函数的极值，即可得当一2(一6时，2/61+6=/有三个不同的实数根，从而可选出正确答案.【详解】解：设x)=2x3-6x2+6,xgR,令/*'(x)=6/-12x=(),解得x=0或2，则/"(x)J(x)随x的变化如下表X(-00,0)0(0,2)2(2,-Ko)广+0-0+“X)

34、第.产则当x=0时，函数有极大值"0)=6；当x=2时，函数有极小值/(2)=2,又当Xf-00时，/(X)>Y0,当Xf+oo时，/(x)f+oo,所以当一2<一/"<6时，2d-6/+6=有：.个不同的实数根，此时-6<nz<2.故选:B.【点睛】关键点睛：本题的关键是由方程的根和函数零点的关系，将已知条件转化为/(x)=2V-6x2+6,xeRJg(x)=-m图象有三个交点，结合导数确定力=2/-6/+6/6/?的图象趋势，从而可得一2<-机<6.25 .已知加、为函数/(x)=上电竺-好的两个零点，若存在唯一的整数(见成则实

35、数。的取值范围是()【答案】D【分析】可知满足不等式a<g(x)的x)=L詈一奴=0可得詈，作出函数g(x)=W±的图象,整数解有且只有一个，从而可得出关于实数。的不等式，由此可解得实数a的取值范围.【详解】.z./1+lnx但I+lnx由/(x)=ar=0可得a=_.一人 / X 1 + lnx 一， 八 1T1-x2令g(x) = 1L,其中x>0,则X-2x(l + lnx) _21nx_LX4X'且当x>/时，g(x)1+lnx当0<x</时，g'(x)>。，此时函数g(x)单调递增,当x>>时，g'(x

36、)<°，此时函数g(x)单调递减.1+lnx。，作出函数g(x)的图象如下图所示:由图可知，满足不等式a<g(x)的整数解行II只有一个，所以，1«加,)，22(根,)，一I小、/<aiI1+In2In21所以，g(2)<a<g(l),即-=-<a<.因此，实数。的取值范围是F，l故选；D.【点睛】关犍点点睛：本题考杳利用函数不等式的整数解的个数求参数，解题的关键在于利用图象确定整数有哪些，进而可得出关于参数不等式(组)来进行求解.26.已知函数，(用=+|2九一。|,若存在相异的实数%,%6(-8,0),使得/(内)=/(%)成立

37、，则实数X。的取值范围为()A.-00,2 ,C.V2),4-00,27D. (2, +oo)【答案】B【分析】去绝对值，可得/(x)的分段函数形式，分别讨论a = 0, a>(),a<0,结合函数的导数和单调性，以及存在性问题解法，即可得到结论.【详解】解：函数/(x) = ： + |2x-a|当a = 0, x<0时，/(x) = -2x, fx)=2<0, x)在(8,0)递减，不成立，舍去;当a>0，x<0时，则/(幻=2x + a , fx) = 一一r-2<0, f(x)在(一8,0)递减，不成立，舍去;1_a,八F 2x a, W x &

38、lt; 0 x9当avO, x<0时，/(x) =1 ,a2x + a, x < 一lx2，当<四时，f'(x) = 2<0, /(x)在(f,0) 2r递减;当尹<0时，r(gf,由ra)=o,可得今当d，即乌2-注时,22*0,则/'(x)40恒成立,则f(x)在泰-单调递增，在2-4,o单调递减.2)(羡)，则满足题意.存在相异的实数(-8,0)，使得/(3)=/(£)成立,此时a<->/2-故选【点睛】【分析】/(x) = (x-l)e*令/'(x) = 0.当x>0时当x<()时单调递增区间为(0

39、,+<»)如图所示则函数y = /(x)在x = 0处取得极小值，且极小值为/(0)的个数得出关于实数。的不等式组，即可求得实数a的取值范围关键点点睛：本题考查分段函数的单调性，以及存在性问题解法，注意合理分类讨论及等价转化所以，函数y = /(x)的单调递减区间为(当a > ()时，若关于x的不等式/(x) <分一 1有且仅有两个整数解设函数/(x) = (x-l)e' ,若关于x的不等式/(x)< ar -1有且仅有两个整数解，则实数的取值范围利用导数分析函数> = /(x)的单调性与极值，作出函数y = /(x)与y = ar7的图象，根据

40、图象和整数解当a<0时，由于直线y=6-1与X轴的负半轴交于点当x<L时，关于x的不等式/()<依一1有无数个整数解，不满足题意.a当a=0时不满足题意(1+e22e3+f综上所述，实数a的取值范围是-.故选：D.【点睛】关键点点睛：利用函数不等式整数解的个数问题求参数，需要根据导数工具研究函数的单调性、极值、最值及变化趋势，结合数形结合思想的应用，属于中档题.28.已知函数/。)=/?111+5犬2一必有两个极值点X,x2,且xe(0,l)范围为()A.朋B.朋C.(翡)D.3【答案】A【分析】由题意可知，导函数/'(x)=x-一+"行两个变号的零点七,x

41、2,ILx,eX可以转化为二次方程根的分布问题，列出不等式组，最后根据线性规划求解【详解】1,因为函数/(x)=blnx+一r-ar有两个极值点X,x2,且xe(0,l),x2所以f'(x)=x-一以+”,则为,是方程f-ar+b=0的两根，X令g(x)=/"+6,由%(0,1),x2e(l,2),>(0)>0b>0则<g<0=<。1>0,g>02a-b-4<0x2e(l,2),则妇0的取值a+oo)(0,1),x2e(l,2),从而问题b+5的取值范围即可.a(1,2).根据约束条件画图得:则由图可知.故选：A【点睛】(

42、1)可导函数y=4r)在点何处取得极值的充要条件是八刈)=0,且在xo左侧与右侧TV)的符号不同.(2)若<x)在(a,%)内有极值，那么,/(x)在(a,份内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值.29 .已知曲线x)=lnx+2x与曲线g(x)=a(£+x)有且只有两个公共点，则实数a的取值范围为()A.(0,1)B.(0,1C.(f,0)D.(0,4-oo)【答案】A【分析】Inv/y将问题转化为y=a与h(x)=有且仅有两个交点，利用导数可求得(x)的单调性和最值，由此可确定力(x)图象，利用数形结合的方式可求得。的范围.【详解】/(x)与g(x)有且仅有

43、两个公共点等价于方程lnx+2x=a(f+x)在(0,+。)上有且仅有两个不等实根，八，)lnx+2x0时，犷+x>0，。=T，X+X令(x)=,可知y=a与/i(x)有且仅有两个交点，(2x+l)(lnx+x-l)x24-X11,V令夕(x)=lnx+x-l,则+1=->0,xx.0(x)在(),+8)上单调递增，又°(l)=lnl+l-1=0,二当X£（0,l）时，0（X）<O；当X£（1,4"OO）时，0（X）>O：二当X£（0,l）时，'（X）>O；当X£（l,+oo）时，/?"

44、（%）<0；在（0,1）上单调递增，在（1,+°0）上单调递减，.（x）max=1；又无->0时，（x）f-o。；xf+8时，可得力（X）图象如下图所示:y则当O£（0,l）时，y=与/2（x）有且仅有两个交点，即/（力与g（x）有且仅有两个公共点.故选：A.【点睛】方法点睛：已知两函数交点个数，可将问题转化为根据函数零点（方程根）的个数求参数值（取值范围）的问题，常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然

45、后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.30 .若指数函数y=，（a>l）与函数y=*4的图象恰有三个不同的交点，则实数。的取值范围是（）A.l,eeB.l,e4C.（l,e4）D.1,-【答案】A【分析】Injr由图象易知在第二象限有一个交点，第一象限有两个交点，构造函数g(x)=,研究两个曲线的交点个X数即可.【详解】由图象易知，当x<()时，函数y=优(。>1)与函数y=X，的图象有一个交点，故当x>0时，函数y=ax(a>1)与函数y=x4的图象有两个交点，-2-1012 x-1 -由 a' =/,(x>0)可得 xl

46、na = 41nx ,urt In a In x即=，4 x.H / Inx，/、1-lnx设 g(x)=, g(x)=,XX易知g(x) =皿在(O,e)上单调递增,X且x = e时，g(x) =叱的最大值为1 xe/. 0 < < -,即 ajl,一4 eI J故选：A在(e,+oo)上单调递减,【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(I)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围:(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形

47、结合求解.ex - In x/2, x<0,x>0，若方程/3)-gx-b = 0有两个不相等的实根，则实数b的取值范围A.O.)1 2 In2、B(5-)s 2-ln2、C. 0,)2z2-ln2D. (-,+oo)2【答案】C【分析】转化为 g(x) = /(X)-% = «的图象与y = b有两个不同的交点，利用导数研究函数e'xIny/2Vx-x,x>02g(x)的性质，作出函数g(x)的图象,根据图象可得结果.【详解】令g(x)=/(x)-gx=<1I当x<0时，g(x)=ex-x-lnV2,g'(x)=ex由g'(x)

48、<0,得尤<ln-=-ln2,由g'(x)>0,得一In2cx<0,2L11J当XNO时，g(X)=yJXX,g'(X)=j=-,22vx2由g'(x)<0,得X>1,由g'(x)>0,得0<x<l,所以g(x)在(-8,一如2)上递减,在(一ln2,0)上递增,在(0,1)上递增，在(1,+。)上递减,又g(ln2)=e2_Lx(_ln2)ln&=L,g(D=；，作出函数g(x)的图象如图:因为方程/(x)gx8=0有两个不相等的实根，所以y=g(x)的图象与y=b有两个不同的交点,.2In2由图可

49、知，04b<1-In0=-.故选：C.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(I)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.32.已知函数/(x)=，?,则以下结论不正确个数的是()/(x)在R上单调递增/(log52)</e2<加万)方程=有实数解存在实数女，使得方程/(*)=近有4个实数解A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【分析

50、】对“X)求导，由导函数的符号可判断“X)的单调性，即可判断选项：111由0<logs2<2<1,历万>1,以及/(x)的单调性即可判断选项；令g(X)=/(x)+1=e'/+1,由零点存在定理可判断选项；=h等价于，"=去，仃个根为x=0,所以原方程仃4个根等价于方程，./=r仃3个实数解，令Zz(x)=eJx2,对(x)求导判断单调性，作出函数图象，数形结合即可判断选项.【详解】由/(X)=e*X3可得(x)=e*丁+ex-3x2=ex-x2(x+3),山/'(x)>。可得：x>-3.由/''(x)<0可得

51、:x<-3.所以/(x)在(Y),-3)单调递减，在(-3,转)单调递增，故选项不正确；11_1对于选项：0<log52<L<e2<l,ln乃>1，根据/(力在(-3,讨)单调递增，所以/(log52)vfe2</(lnr),故选项正确：I)对于选项：令g(x)="x)+l=L.d+l,因为g(3)=e-3.(一3)3+1=1-1<0,g(0)=e°0+i=i>o,g(_3>g(O)<O,根据零点存在定理可知存在天«-3,0)使得g()=/(毛)+1=°，所以方程/(丈)=-1有实数解，故

52、选项正确；对于选项：方程)=&即/.丁=依，行一根为x=0,所以原方程行4个根等价于力程=上有3个实数解，令/?(x)=exx2,贝ijA'(x)=exx2+ev.2x=e，x(x+2),令'(x)=e“-x(x+2)>0可得1>0或xv-2,令'(x)=e'x(x+2)v0可得一2vxv0,所以/2(同=",/在(-8,-2)和(0,+8)单调递增，在(一2,。)单调递减，/?(一2)=6一2(一2)=二,(0)=e°02=0作出Mx)=e'W的图形如图所示：y=k4/、所以存在0左7时，方程靖了2=左仃3个实数

53、解，此时方程/（%）=丘有4个实数解，故选项正确.故选：A【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数"X）的定义域；求导函数/'（X）,由r（x）0（或/'（x）0）解出相应的X的范围，对应的区间为/（x）的增区间（或减区间）;（2）确定函数f（x）的定义域；求导函数f（x）,解方程r（x）=o,利用r（x）=o的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论/'（X）的正负，由符号确定x）在子区间上的单调性.33.已知函数g（x）=:（x#O）,则关于*的方程Ji而+67-2女=O（keR）不可能有（）个exyj8x）相异实根.A.

54、2B.3C.4D.5【答案】D【分析】求导函数g'（x）,确定g（x）的单调性与极值，确定函数的变化趋势，得出/=疯5的解的情况.然后讨2论方程£+-2%=0的解的情况，从而确定原方程解的个数同正确选项.t【详解】gx）=2r-X=X2-A）,x0或x2时，g'（x）o,0x2时，g'（x）o,exex4所以g(x)在(f,0)和(2,内)上递增,在(。,2)上递减，极大值为g(2)=r，xf-8时，g(x)->+OO,工_>0时，g(x)->0,Xf+oo时，g(x)->0,且g(x)>0恒成立，设，=Jg(x)(xw0)，则当

55、fV0,t=Jg(x)无解，当°vfv2时，t=Jg(x)有三解=时，/=yg(x)有：解，时，t=Jg(x)有一解./222Jg(x)+/-2%=。为r+一一2k=0,2k=t+->2y/2,=应时等号成立.>/g(x)ttr-2,2k<2无,方程/+7-2女=0无解，2L2k=2日即女=0时，方程r+2k=0有两个相等实根人=芍=4，原方程有I个解，L2k>>/2»方程"2攵=0有两个不等实根，方程，+?2攵=0为/-2Z/+2=0，%+L=2，乙弓=2则中'个不大于加，一个不小于V2.不妨设0<4<，2,在。

56、一“坐标系中，作函数)，=1+1的图象，作直线y=左，它们的交点的横坐标分别为4,f,(有两个交2t点时)，由图可知，若4=一，"e，此时k=g+1，Jg(x)=%有2个根,Jg(x)=，2有1个根，共有3个根，左>+一时，0<a<一,t2>e,yjg(x)=%有3个根,Jg(x)=有个根，共彳f4个根，、历<k<|+'时，A>2,t2>,Jg(x)=%有1个根,Jg(x)=,有1个根,共有2个根，因此不可能有5个根.故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查方程根的个数问题，解题方法是利用导数研究g（x）的性质，得出，=J而的解的情2况，再讨论换元后方程，+-2攵=0的方程根的情况，两者结合可得结论.t34.已知函数=与函数8（兀）=£+公（一64%4-1）的图像上存在关于直线丁=一刀对称的点,则实数。的取值范围是（）1111r,11r,rA.e,eB.e,e+-C.D.l,e+一_eJl_eee|_e【答案】D【分析】根据对称性可知（一/一