2022年新高考数学难点解题方法突破《专题02 圆锥曲线中的面积问题》(解析版)

1、专题02圆锥曲线中的面积问题一、单选题1.直线/经过抛物线y2=4x的焦点F且与抛物线交于A、B两点，过4、8两点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则PQE的面积的最小值是()A.2/3B.4C.4及D.6【答案】B【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，设H线/：x=)+l,与抛物线方程联立求出A8两点纵坐标之差的绝对值的最小值，再利用三角形面积公式可求得面枳的最小位.【详解】由抛物线y2=4x可知，=2,所以/(1,0),准线为x=l,依题意设立线/：x=ty+,代入y2=4x得y24”4=0,设A(X，y),B(x2,y2),则X+%=4f,所以IK-必1=M一4凶%=Jl6产+16

2、24,当且仅当，=0时，等号成立.所以SmF=；x2x|PQ|=|y一%巨4.故选：B【点睛】关键点点造：利用AB两点的纵坐标之差的绝对值表小|PQ|是本题解题关键.222 .已知K，尸2为椭圆三+2-=1的两个焦点，P是椭圆上任意一点，若NPK=,则的10064-3面积为（）a64R64百128128后3 333【答案】B【分析】利用椭圆焦点三角形面积公式S.*=b1tan-,即可求解.【详解】由题意知：F,乙为椭圆的两个焦点，户是版圆上任意一点,rr所以是焦点三角形，且=64，e=,r-r-pic.2e乙64G所以Sfpfhtan=64x=“叫233故选：B3.已知双曲线/一旦=1的左右焦

3、点分别为6，A,若双曲线上一点P使得NKPK=60，求的97面积（）A.2B.C.7GD.147333【答案】C【分析】先根据双曲线方程得到a=3,b=J7，c=4,设|尸制=归居卜，可得，|=勿=2.由4FPFz=60。，在耳P6根据余弦定理可得：忸段2=归制2+归用2_21PMp用COS60。，即可求得答案.【详解】22,*=1所以。=3,b=/7，c=4,97,P在双曲线上,设归”|=6，|列4二，I/?/nl=2=6(T)山NPK=60。，在耳P鸟根据余弦定理可得：|4周2=|p/7|2+|p/7|2_2|Pf；|Pf；|cos6()0故64=+2-2由可得mn=28，直角耳P玛的面积

4、产,=gIP6Hp周sin/耳PK=g加sin60=773故选：C.【点睛】思路点睛：在解决椭圆或双曲线上的点与两焦点组成的三角形问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行处理，结合双曲线的定义、余弦定理和三角形的面积公式进行求解，要注意整体思想的应用.22.4.己知椭圆三+2=1两焦点耳，鸟，尸为椭圆上一点，若/耳鸟=三，则4PK的的内切圆半径为()25163A.2B.汉IC.6D.25/333【答案】B【分析】用+|P用一2闺P|.|P闾一闺用2由余弦定理得COS/6PR！24_I2|I2|）2|大叩尸用得到旧斗归周，可求得面积，再由Sjfm=3（|尸制+归用+忸引）r可得答案.【详解】由题意

5、得忻P|+|尸同=2=10,|6闾=2=6,由余弦定理得cos/EPFPKf+|P-2-恒用2（|用+/用）2一2内斗忸用一忻用2122|/7讣尸6|2|耳P|P6|得山斗I明=与,S.B=g|Pf；H%king=；xxsin6（r=设内切圆的半径为r,则5必八=；（归耳|+归段+内用）r=；*16、=卷3,所以厂=3叵.3故选：B.【点睛】椭圆的焦点三角形常常考查椭圆定义，三角形中的正余弦定理，内角和定理，面积公式等等，覆盖面广，综合性较强，因此受到了命题者的青睐，特别是面积和张角题型灵活多样，是历年高考的热点.5.过抛物线y2=8的焦点尸的直线/与抛物线交于A8两点，线段A5的中点M在直线

6、y=2上，0为坐标原点，则aAOB的面积为（A.B.475C.D.922【答案】B【分析】首先设AR,y）,8（孙），利用点差法得到L=2,从而得到直线l:y=2（x-2）.联立直线与抛物线,利用根系关系得到对=4石，再求d08的面枳即可.【详解】由抛物线V=8x,得尸（2,0）,设A（Aj,y）8（9,必），y,2=8%由题知：,%=8天即（X+%）（y）=8（玉-芍）由题意知：乂+、2=4，故直线:y=2(x2).y=2(x-2,联立，/得：y2-4y-16=0.y=8x所以y+必=4,yy2=-16.故Iy-%I=/(必+%)2-4%旷2=716-4x(-16)=4石1所以5。8=万|0

7、/卜也一%|=5、2、4石=4际.则aAOB的面积为4行.故选：B.【点睛】方法点睛：利用点差法求焦点三角形的面积问题.点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差.求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好.二、多选题226.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：f一斗=1（。0力0）的焦点在圆。：/+丫2=20上，圆。与双曲线。的渐近线在第一、二象限分别交于M、N两点，若点（0,3）满足_LON（。为坐标原点），下列说法正

8、确的有（）A.双曲线。的虚轴长为4B.双曲线的离心率为石3C.双曲线C的一条渐近线方程为y=XD.三角形QMN的面积为8【答案】BD【分析】依据题中条件，得到双曲线的半焦距为c=26，由双曲线方程可得，其渐近线方程为丁=土，设aM（%，），则可（一七,%）,根据M_LON,以及点在圆/+尸=20上，求出M的坐标,得出2=2,求出双曲线方程，再逐项判断，即可得出结果.a【详解】22因为双曲线C：鼻一/=1（。0,方0）的焦点在圆O:尤2+丁=20上，所以双曲线的半焦距为c=26，2Z1山C:0j=l（aO,方0）可得其渐近线方程为y=-x,因为圆。与双曲线C的渐近线在第、二象限分别交于M、N两点

9、，不妨设”（工,%）（%第二0），则N（%），3乂E（0,3）,MELON.所以攵近衣加=一1，即2二佟=-1,X。一工0整理得%2-3%=/2,又点河（天,%）在圆。上，所以/2+为2=20,%2-3%=$2由，+%2=20解得%。，%又点（2,4）在渐近线y = 2x匕所以2 = 2,a由b 2a22,2 ”解得c =。- +/r =20a2 =4从=1622,因此双曲线C的方程为匕-上=14 16所以其虚轴长为2b=8,故A错;离心率为6=2叵=行，故b正确:a2其渐近线方程为=2犬，故C错：:角形OMN的面积为S.omn=|MA|y0|=不%=8,故D正确.故选：BD.【点睛】关键点点

10、睛：解决本题的关键在通过题中条件，求出双曲线的方程；根据渐近线与圆的交点，以及MELON.求出交点坐标，得出。涉之间关系，进而可求出双曲线方程，从而可得出结果.27.已知曲线C的方程为1?+匕=1（）41）,A（O,-3）,B（O,3）,E（-1,O）,点P是C上的动点，直线9AP与直线x=5交于点M,直线3P与直线x=5交于点N,则aOMN的面积可能为（）A.73B.76C.68D.72【答案】ABD【分析】设尸（%,），求W附,=9,求出的坐标和|MN|的最小值，得到a）MN的面积的最小侑，即得解.【详解】k卜=-9=_9设P（%），则刖一一芯一9设A“=MA。），则=苫，直线AP的方程为

11、、=收一3,则点”的坐标为（5,5k一3）,9直线BP的方程为y=：x+3,k5k 3 1 + 3)= 5k + 6 212,54, 6 - 24 ,则点N的坐标为（5,+3）.所以|MN|=45当且仅当52=汇，即=3时等号成立.k从而aDMN面积的最小值为工x24x6=72.2故选：ABD.【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为个函数、个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.（3）利用代数基

12、本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思：（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性、直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.（5）利用数形结合分析解答.8.双曲线C：工-匕=1的右焦点为凡点尸在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正42确的是（）A.双曲线C的离心率为直2B.若PO_LPF,则PFO的面积为近；C. IPFI的最小值为2；D.双曲线工土=1与C的渐近线相同.48【答案】ABD【分析】由题知，双曲线方程。=2,/?=血，/2=5/2,故B正确：2选项C,1尸尸1的最小值就是点F到渐近线的距离=正，故C错误；选项D,它们的渐

13、近线都是y=也x，渐近线相同，故D正确.2故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的几何性质，解题的关键是要熟记渐近线方程和离心率公式，考查学牛.的分析问题能力和运算求解能力，属于中档题.9.已知6、居是双曲线。：2二一/=1的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以2线段耳K为直径的圆经过点M，则下列说法正确的有（）A.双曲线。的渐近线方程为y=0xB.以耳鸟为直径的圆方程为f+y2=2C.点M的横坐标为J5D. 的而积为石【答案】AD【分析】由双曲线的标准方程可求得渐近线方程，可判断A选项的正误：求得C的值，可求得以6K为直径的圆的方程，可判断B选项的正误；将圆的方程与

14、双曲线的渐近线方程联立，求得点M的坐标，可判断C选项的正误；利用三角形的面积公式可判断D选项的正误.【详解】2由双曲线方程匕一2=1知。=万，匕=1,焦点在y轴，渐近线方程为y=fx=士缶，A正确:2bc=Ja2+b2=a/3-以耳后为直径的圆的方程是Y+y2=3,B错误;x2 + y2 =3 x = 1 x = -l得厂或广，y = /2x y = y/2 y = -y/2f + V =3，fx = 1 fx = -l y = -yf2x 得= 或=所以，M点横坐标是1，C错误：1111S&w?耳巴=6,D正确.故选：AD.【点睛】X2 双曲线二ay2hJ= l(a0,Z? 0)的渐近线方程

15、为y = -x，而双曲线与X2一至=l(a 0,/? 0)的渐近线方程为y=，尤(即x=2y),应注意其区别与联系.ba三、解答题10.己知圆C:x2-6x+y2-6y+3=0,直线/：x+y-2=0是圆E与圆。的公共弦A3所在直线方程，且圆E的圆心在宜线y=2x上.(1)求圆E的方程：(2)过点。(-2,0)分别作直线MN、RS,交圆E于M、N、R、S四点，且,求四边形MRNS面积的取值范围.【答案】x2+y2=9(2)6,14【分析】(1)设出经过圆。和直线/的圆系方程，利用圆心在直线y=2x上可求得结果；(2)当直线MN的斜率不存在时，可求出四边形的M/WS面积为6石，当直线MN的斜率存

16、在时，设直线MN:y=-x+2),则直线RS:x+仙+2=0,利用几何方法求出IMN|和|RS|,求出四边形而积，再换元求出最值可得取值范围.【详解】(1)依题意可设圆E的方程为x2-6x+y2-6y+3+A(x+y-2)=0,整理得f+y2+(/-6)x+(4-6)y+3-24=0,所以圆心E(一A-6 6、 亍一亍)2-62,解得；I = 6,2-6因为圆心E在直线y=2xk,所以一一=2x所以圆E的方程为f+y2=9.(2)线M/V的斜率不存在:时，|MN|=26，|RS|=6,四边形M&VS面积为:x2石x6=61,当直线MN的斜率存在时，设直线MN:y=Z(x+2),即区y+2A=0

17、,则直线RS:x+b，+2=0,圆心E到曲线MN的距离4|2&|+ i圆心E到立线RS的距离d2 =2y/1+k，所以|MN|=27=2,9磊=2j5+&,g=2收至=2卜一事144所以四边形MRNS面积为一|MN|x|RS|=21(5+一一)(9一一).2V公+jt945当，=一，即人=1时，-16(rT-)取得最大值49,此时四边形的M/WS面积的最大值为14,16当f = l,即 =0时，- 16(一r一7)取得最小值45,此时四边形MWS面积的最小值为6石，综上所述：四边形M/WS面积的取值范围为66,14 【点睛】 结论点睛：经过直线Ax+为+ C = 0与圆x? + y2 +外+4

18、+尸=0的交点的圆系方程为 x2 + y2 + Dx + y + F + 2( Ar + Bv + C) = 0.+i令F-=t,则0，Wl,k+144.45所以(5+)(9一一7)=(5+4/)(9-4/)=-16/2+16/+45=-16(-t),K+1攵+11611 .已知椭圆M:=+2-=l（aO）的一个焦点为尸（T,0）,左、右顶点分别为A，B.经过点E的直线a3/与椭圆交于C，。两点.（1）当直线/的倾斜角为45。时，求线段CO的长；（2）记AABZ）与AABC的面积分别为A和S?,求IR-S?|的最大值.【答案】（1）；（2）622x . y i一+ = 1联立J 43y = x

19、+得7/+8X一8 = 0，由此利【分析】（1）同椭圆方程为二+乙=1，直线方程为y=x+l43用根的判别式，韦达定理、弦长公式能求出CO的长.（2）当直线/无斜率时，直线方程为x=l，1，一号|=0,当直线/斜率存在时，设直线方程为（22xyy=Z（x+l）（ZH0）,联立+，得（3+4/）X2+8代工+4/-12=0,由此利用根的判别式，By=2（尤+1）达定理、弦长公式，结合已知条件能求出I-Szl的最大值.【详解】解：（I）因为b（一1,0）为椭圆的焦点，所以C=l.乂。2=3，所以/=4,所以椭圆方程为土+匕=1，43因为直线的倾斜角为45。，所以直线的斜率为1,所以直线方程为y=x

20、+l,和椭圆方程联立得到22% J 1+ - 14 3，消掉丁，得到7丁+8*-8 = 0,y = x+88所以 = 288 , X1 + x2 = X| x7 = 所以线段 CD 的长 I CD= J1 + &2 I -W 卜 y/2xxi+x2)2-4xix2 =y（2）当直线/无斜率时，直线方程为x = l，此时。（一 1,；）,MSD. A4BC面积相等，IRS2l=0,当直线/斜率存在（由题意知人工0）时，设直线方程为y = L（x+l）（AHO）,设（7（占，yj, D（x2 , 力），和椭圆方程联立得到22土+工=143y = A(x + l)消掉 y 得(3 + 4公)/ +

21、8&2_x + 4公一 12 = 0 , 0方程有根，且为+/=一4k2-12x.x2 =-1 23+4公此时 1 S21= 21| | | y21|= 21 x + 必 1= 21 k(x2 +1) + k(x1 +1) |=21 k(x2 + %) + 2L |二2k3+ 4&212+ 4|Jl| MlJ2 =4=拒伏=土显2宿嬴2至2时等号成立）所以|凡-邑|的最大值为百.【点睛】求解时注意根的判别式，书达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用.12 .已知直线/：y=H+0S0）与抛物线C:y2=4x交于A、8两点，P是抛物线C上异于A、8的一点,若PAB重心的纵坐标为;，且直线P4、P8

22、的倾斜角互补.（I）求&的值.（II）求面积的取值范围.【答案】（1）2；（11）【分析】0=/?-,所以08.f,b令/S) = (l 2Z0, + g则 rS) = -2, + g) +(1 2少2,+|) = (68 + 1), + 90恒成立,故/S）在（0,g）上单调递减，所以/（b）w（O,；）,极 S.pab e ，1） 【点睛】结论点睛：本题中用到的结论：三角形的重心的坐标公式，若三角形的三个顶点的坐标为A（xt, ）, B（x2, y2）,C（x3, y3）,则三角形的市:心的坐标为:“ + 1 + /，儿+ /.，&+4）2_4%工2=不.（1一份2_：2=亚.41一2b，

23、|2x- + l+/?|d= 若所以Sapab=|AB|d =b + |卜仁 = H(1 2小+ |又由（I）知，%=T，所以/=；，所以P（；,一1）,?（；,一1）到直线/：2%一丁+6=0的距离为弦长公式：|AB|=JiWf，本题考查了运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题.13.已知椭圆C:+产=1的右焦点为F，直线/:x=2被称作为椭圆。的一条准线，点P在椭圆。上（异于椭圆左、右顶点），过点P作直线加：y=与椭圆C相切，且与直线/相交于点Q.（1）求证：PFVQF.（2）若点P在x轴的上方，当PQE的面积最小时，求直线加的斜率k的平方.【答案】（1）证明见解析：（2）避土1.2【分析

24、】（1）联立直线机的方程和椭圆C的方程，利用判别式列方程，求得尸点的坐标，求得。点的坐标，通过计算得到FPFQ=O,由此证得PFVQF.（2）求得|方由此求得:角形PQ尸面积的表达式,根据函数的单调性求得：.角形PQf面枳的最小值，进而得出直线，”的斜率上的平方.【详解】（I）证明：由题意得，点E的坐标为（1,0）,设尸（事,%）.V2=由万+.，=,得（2公+1b2+43+2/一2=。y=kx-t2kt_2kt_2k2k2tt1,。=一药=丁7%=-药+=7（2k即点P坐标为|.当x=2时，可求得点Q的坐标为（2,2k+ty丽+9匝=(1,2左+)_,2k+12k+1八/.FPFQ=+=0故

25、PF：LQF.（2）解：,点P在x轴上方,产=2公+1，.之1由知网=2k + f) +1;阿=J(2k + f)|2+1 SPOF = /怛4(2 攵+ /P+1 3尸+4h一1 3/ j 1= + 2k ItIt2t当上2 0时，由（1）知（=不，1，54他=5 +42（厂1）函数/（，）= ； +J22_i）_3（f 21）单调递增:apof 之/=Lr+1乂/一4/一1）（产+1）厂（2+右）r（26）二%/J2+6时，g(r)0,此函数g(r)单调递增：当1W1J2+逐时，g(，)0,此函数g(。单调递减.函数g(f)即S4PQF的最小值g(j2+6)g=1,此时，/=2+逐=2二+

26、1，解得公=叵*综上，当PQR的面积最小时，出线加的斜率的平方为1.2【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量数量积的坐标表示垂直关系，考查椭圆中-:角形面积的最值有关的计算，解决本题的关键点是表示出Sawf，按和女0)的左、右焦点，且椭圆的离心率为变，过尸2的直线4与a2b22椭圆交于4、B两点，且的周长为8起，(1)求椭圆C的方程；(2)过下2点且垂直于4的直线4与椭圆交于C、。两点，求四边形4C5O面积的最小值.v2v264【答案】（1）F-=1：（2）【分析】（l）由aA8片的周长为8夜，可得。=2及，又椭圆的离心率为手，即可得出结果；（2）分类讨论：当A5所

27、在的门线斜率不存在时，此时四边形ABC。的面积为：S=2b2当A8所在的直线斜率存在且不为。时，不妨设直线AB的方程为：y=k（x-2）,A（xyl）,B（x2,y2）,直线CD的方程为：y=-1（x-2）,分别与椭网的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得|4耳|卬,利用四边形ABC。的面积5=|4邳|8|，可得关于斜率攵的式子，再利用基本不等式求最值即可得出结果.【详解】（1）由的周长为80，可得4a=80=“=2&，又椭圆的离心率为注，2r4llCCy2c可得e=-=c=2a2a2所以力2=a2c2=84=4*22所以椭圆c的方程为：+=1；84（2）又椭圆二+21=1可得：84a

28、-2j2,b-2,c=2,F（2,0）,当AB所在的直线斜率不存在时，CO所在的也线斜率为0，此时四边形ABCD的面积为：S=xABxCD=x2ax=2h2=8：当AB所在的直线斜率存在时，由题意知AB所在的直线斜率不为0,不妨设直线A8的方程为：y=kx-2),4(石,乂),3(,%)，则直线CO的方程为：y=-(x-2),Kfy=(x-2)联立2,化为：|+=1I84(1+2%2卜2-8左4+822-8=0,由韦达定理得:X,+x2%/=弘2T+2k8r_81+2公所以|A8|=Jl+代J(X+*21-4%2=把人换成-L可得CD=4夜()，k11r+2所以四边形A8CD的面积为:S=-x

29、|AB|x|CD|=4夜仰+)4及(1+巧-xX2l+2k2k2+216(r+l、口2S+4&2+2；sJ炉)(1+2公卜(二+2)2k4+5k2+22公+5公+2,=8x12kHy+5Ik2J由2父+1+522当且仅当公=1时取等号:此时S=8x18xfl-lL,2/+彳+5I力，Ik-)64综上：四边形AC8D面积的最小值为9【点睛】思路点睛：两条宜线相互垂宜，先考虑有一条直线的斜率不存在，再分析直线的斜率存在的情况，利用斜率之间的关系转化，直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系，再利用弦长公式，四边形面积计算公式以及基本不等式求最值.215.已知抛物线,2=2阳20)的焦点厂

30、恰为椭圆当+/=(。1)的一个顶点，且抛物线的通径(过抛物线的焦点F且与其对称轴垂直的弦)的长等于椭圆的两准线间的距离.(1)求抛物线及椭圆的标准方程；(2)过点F作两条直线小4，且4，4的斜率之积为一设直线4交抛物线于A,B两点，6交抛物线于C,。两点，求设直线4，与椭圆的另一个交点分别为M，M求aEMN面积的最大值.【答案】y2=4x；二+ /=1(2);学249【分析】(1)由抛物线的焦点为椭圆的右焦点可得P，求出抛物线方程，根据通径与准线间的距离可求a,c,即可求出椭圆方程；(2)设出直线方程，联立抛物线方程，由根与系数关系及弦长公式可求出弦长，代入即可计算求解设出直线方程，联立椭圆方

31、程，由根与系数关系，得出弦长，同理可得另外一条弦长，根据一角形面积公式表示出面积，换元后求最值即可.【详解】a右顶点为(1,0),即抛物线/=2px(p0)的焦点尸(1,0),.p2*故抛物线方程为V=4x,因为抛物线的通径的长等于椭圆的两准线间的距离，所以2P=4=二，/.a1=2c=b2+c2=c2+1，c=1,a=.椭圆的标准方程为：2+/=i2(2)设4:y=A(x-l),代入y2=4x消元得：k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设Aa，x),B(x2,y2),2r+4-4.2+%=2+FXjX2=1|=VF+l-|x,-x2|=lk2+-J(2+3)24=4(；DyK,k4(尸+1

32、)同理可得ICD|=Y-=4(二+1)k2k2+=+ABCD4(A:2+1)4优2+1)仍设4:y=A(x-l),代入椭圆方程2-+X2=1消元得:2jt2(x-l)2+2x2-2=0,k2-2k2+2fmi=/F+T-|xf-xmi=K十/同理得vk2+-2jk2=2(当且仅当左=1时，等号成立),k2Vk2令f=Qk?+22J2+2=2则k+=厂-2,8，_8/_8 fmn=2(*2)+5=于W=力，t1对于y=2，+1=2(r+N)在+8)上是增函数,tt9 当，=2时，即力=土1时，y1nbi=晨 s-,aFMN-12，t:./FMN面积的最大值为印【点睛】关键点点睛：本题求解过程中，

33、需要熟练运用弦长公式，以及类比的思想的运用，在得到三角形面积I8s父+2+2,772一,利用换兀法，化简式了，求最值是难点，也是关键用，题II较难.AvH2kHZ-+3(1)求椭圆。的标准方程;(2)若直线/与椭圆。交于P,Q两点，且OP_LO。，求OPQ面积的取值范围.【答案】+/=1；(2)-,1.45【分析】(I)利用已知条件求出a,b,然后求解椭圆方程:(2)当OP，。斜率一个为0,个不存在时，SOPQ=1;(n)OP.。斜率都存在且不为0时,y=kx设 /尸：y =依，P(X|, y),。(毛，为)，由 ,xy = xk zm 24k2124，得 必 =7Tx2 =737x2 2 ,

34、/4 + 22 k1 +4+ y = 114 ,求出P的坐标，然后推出。坐标，求解IOPI,|OQI，+y=14求出三角形的面积的表达式，利用基本不等式求解最值.【详解】13(1)由题意知，+-7=12b=2解得a=2,b=l,2故椭圆方程为：+/=14.(2)当OP，。斜率一个为0,一个不存在时，SAOPQ=1,()OP,Q2斜率都存在且不为0时，设G：y=Ax，P(xlty),Q(x2,y2),y=kx,OP = x； +y：=,仇| =五+必=4+4公A:2+4X+y2=l消得=高，城=心”系4号。4国:人止4 +止49k2，k4+2kr+l09k2_9_/4又k4+2k2+l左2+2+

35、_L14,所以w”S&OPQ1,k4综上，OP。面积的取值范围为【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：(1)几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.(2)函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.(3)利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思.(4)结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.(5)利用数形结合分析解答.17.在平面直角坐标系xOy中

36、，动点p到直线y=2的距离与到点F(0,-l)的距离之差为1.(1)求动点尸的轨迹。的方程：(2)过点“(0,-2)的直线/与。交于A、8两点，若的面积为46，求直线/的方程.【答案】(1)x2=-4y；(2)y=x-2y=-x2.【分析】1)本题百先可以没动点P(x,y).然后根据题意得11；(2y)+(y+1)2=1,通过化筒即“/得出结果;(2)本题首先可排除直线/斜率不存在时的情况，然后设直线方程为丫=米-2,通过联立方程并化简得出X24-4Ax8=0则%+工2=后，七2=-8,再然后根据SaAOb=S&AOM+Sa80M得出Smob=Jl6+32，最后根据aAOB的面积为4后即可得出

37、结果.【详解】(1)设动点尸(x,y),因为动点尸到直线y=2的距离与到点尸(0,-1)的距离之差为1,所以(2-y)_Jx?+(y+l)2=1,化简可得2=一4户故轨迹。的方程为Y=-4y.(2)当直线/斜率不存在时，其方程为x=()，此时，/与C只有个交点，不符合题意，当直线/斜率存在时，设其方程为丁=履-2,y=kx-2联立方程0，卜=-4y令A(无”乂)、B(x2,y2),则X+w=-4左，xxx2=-8,因为Saob=SaAo”+SaBOM0）于8,C两点，。是A8的中点.（1）求证:点。的纵坐标是定值；（2）过点。作与直线/倾斜角互补的直线/交椭圆于M,N两点.问：为何值时，的面积

38、最大？并求面积的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）当”=二时，面积最大值为述.144【分析】（1）市题意可得：A（O,-1）,不妨设B，则代入抛物线方程，整理福/=4，计算可得点C的纵坐标值为!，从而得证：23（2）由题位可得：S.bmn=S.amn，求得匕线/的斜率，可求得宜/的斜率和方程，不妨记m=一一，则y=胆+2,代入椭圆方程并整理得（2/+l）f+8，nr+6=0,3设M（N，yJ,NG2,%），求得的值和点A到直线/的距离1=下=进而根据：:角形的面积yjtn+1公式和基本不等式可求加的的面积的最大值，即可求解.【详解】易知A（O,1）,不妨设电去则呜.匚富;代入抛物线方程得

39、（：J=2p匚3，得“=4p,.、，_4p-2p_1先一3一T，42故点。的纵坐标为定值.（2）.点。是A8的中点，q-q&BMNJMN-13设直线/的斜率为后，则上=、=一，tt23所以直线r的斜率为二一一,t13（t3直线的方程为y_-=_,即,=x+2,3不妨记m=一一,则/:y=+2,代入椭圆方程并整理得（2.+l）x2+8mx+6=0,设N（x2,y2）,则8m6X+X,=,xx,=-2m2+1E2m2+1|MN|=J+m2|x-x,=20-gm2.竺一,2w+13点A到直线l的距离d=下=Jm2+l所以队尸躯年片.缥三3y/2v3夜42病一3+j4.4d2m一3当且仅当，2加23=

40、4时取等号,V2/n2-37Q1RrQ解得m2=，所以*=I_=一,从而p=一2ftr74149故当p=一时，8MN的面积最大.14【点睛】关键点点睛：设出B”,、一结合A（O,-1）,可得,匚存利用点C在抛物线上可求出r=4p,利用其计算二言的值：笫二问关键是根据倾斜角互补可得立线/与直线/的斜率互为相反数，直线/的方程43为y=-?x+2,利用弦长公式和点到直线距离公式，二角形面积公式将ABM/V的面枳表示出来，最关键的是利用基本不等式求最值，这是难点也是易考点.已知椭圆c求椭圆C的方程【分析】由椭圆性质结合通径运算即可得解再由三角形的面积公式即可得解设椭圆右焦点尸(c,o),所以直线交椭

41、圆。于两点，且|。后|=1与PM8的面积之比为；I,求实数九的取值范围因为|A8|=4,所以2。= 4即a = 2.= l(a80)的左、右顶点分别为A,8, | AB|=4.过右焦点尸且垂直于x轴的设直线/的方程为x = wy-4,m0, My ),N(&,y2),联立方程组结合韦达定理得(2)斜率大于。的直线/经过点P(T,O),且交椭圆C于不同的两点M, N ( M在点P，N之间).记*NA则Mi2 % X X%_8m_ m2 +412nr + 42=6 疗 2-3(m2+4)1631+之c 2 10-2g 2,I 3所以椭圆C的方程j+y2=1；4(2)设直线/的方程为x=my-4,m

42、0,M(玉，y，则。,%，x=my4由X22,整理可得(+4)y2-8叩+12=0,.4+y=1A=64w2-48(zn2+4)=16w2-1920,解得12,12SinS；1时火所以义=2但=1,pmb-PByt【点睛】y,关键点点睛：解决本题的关键是将三角形的面积比转化为六，结合韦达定理即可得解.3%20 .已知双曲线。的标准方程为三-2-=1,耳，工分别为双曲线C的左、右焦点.36(1)若点。在双曲线的右支上，且AEP入的面积为3,求点尸的坐标;(2)若斜率为1且经过右焦点后的直线/与双曲线交于M,N两点，求线段MN的长度.【分析】(1)由双曲线方程“得|KK|=6,进而可得点P的纵电标

43、，代入即可得解;(2)联立方程组，由韦达定理、弦长公式运算即可得解.【详解】(I)由题意，双曲线的焦距忻用=2向石=6,设点尸(叫”),m0，则5的.=3|耳巴|加=3同=3,解得=1，代入双曲线方程可得用=上上，2(2)由题意，6(3,0),则直线MN:y=x-3,设”（王，弘）,小,必），f22_2L=i由0）的左、右焦点分别为片，鸟，离心率为g,直线y=l与C的两个交点间的距离为生色.3（I）求椭圆C的方程；（II）分别过打，工作4、“满足”2,设4、4与。的上半部分分别交于A8两点，求四边形48死片面积的最大值.22【答案】（I）+-=1；（11）3.43【分析】（D利用离心率及宜线产

44、1与C的两个交点间的距离，求出“，b,即可求椭圆C的方程；（II）直线与椭圆方程联立，利用基本不等式，求四边形人台工片面积的最大值.【详解】0.设交点4（不，凶）,。（七,月）6m9则=薪中一藐不1肛=标，旧q+素h12,1 +二3m2 +4,2又F2到4的距离为d=I/1+2S-12令则叽%一1JIH所以=1时，最大值为3.乂如边阂8g=g(|B6|+|A”|)M=$|A耳1+1。用)M=g|AO=S所所以四边形A8入大面积的最大值为3.【点睛】关锹点后造：设H线4：x=myT,联;，方程，消兀后利用弦长公式、点到直线的距离公式，表示三角形的面积，换元后由均值不等式可求出最值，找到四边形与三

45、角形的关系即可解决，属于中档题.22.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：4+t=1（。%0）的离心率为e=，且点P（2,l）在椭圆CcTb2上.（1）求椭圆。的方程；（2）若点A8都在椭圆。上，且A8的中点M在线段。尸（不包括端点）上.求直线AB的斜率；求aAOB面积的最大值.【答案】(1)+-=1；(2)一1；述.632【分析】（1）利用离心率.，点代入椭圆方程，及片一=2,解方程即得参数小尻即得方程：（2）先利用两点坐标代入椭圆方程，再作差即求得直线的斜率：设H线AB的方程，联立椭圆的方程，利用弦长公式计算AB的长度，再利用点到巴线的距离公式计算aAC的高，即得到面积,最后利用基本不等式求

46、其最大值即可.【详解】解：（1）离心率e=#，2（2,1）代入椭圆。方程得，+染=1,乂_=02,解得a=c=，故椭圆C的方程是土+2-=1；632222（2）点AB都在椭圆。上，设4a,y）,8（七,%），则工+里=1,%-+*_=1,作差得6363-必），即黯黯原b=T，即直线A3的斜率是一 1：因为二2二&,自=自”=江&=；，X_X?X+&2设直线AB的方程是y=-X+,联立椭圆土+匕=1得3/一4/X+2尸一6=0，63由=16/一12（2/一6）0解得一3x3,且+赴=电，须七=江广故|人却=&J(X|+WI4XX)=/2-4x36=gj9一J，又。到直线A8的距离为方=J1V2故“神面积5号|阴/彳疹而1=旧而“曰=，当且仅193J2当产=9一时，即尸=乙时等号成立，故aAOB面积的最大值为土.22【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；