2011江苏高考数学卷18题的多种证法及其推广探讨

1、1 / 52011 江苏咼考数学卷第 18 题的多种证法及其推广探讨 -中学数学论文2011 江苏高考数学卷第 18 题的多种证法及其推广探讨文王金玲【摘要】近年来江苏几乎每年都会出关于圆锥曲线的定点及其定值的考题，因为其涉及到了众多的数学知识点，可以用多种思路、方法进行解答。本文针对 2011江苏高考数学卷第 18 题的证法及其数学价值进行分析。关键词 江苏高考；数学；证法虽然 2011 年的高考已经过去了三年，但是也为今后的数学教案指明了方向。圆锥曲线的定点、定值的问题涉及了几何、代数、向量以及三角等多个方面的知 识，因此有多种求解的思路与方法，能够对答题者的素质、能力进行较好的检测， 因

2、此这也是历年考题都会出现的类型，在日常数学教案过程中应当注重此类题目 的教案。现笔者针对 2011 江苏高考数学卷第 18 题的证法进行分析， 尽可能的 挖掘其数学价值。一、一道试卷的多种证法2011 江苏高考数学卷第 18 题的题干如下：如图 1 所示，在平面直角坐标系叩7耳.1 v 1z：1 xOy 中，M、N 分别是椭圆 -的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 P，A 两点，其中 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C，连接 AC,并延长交椭圆于点 B，设直线 PA 的斜率为 k0( 1)(2)略；(3)对任意 k0，求证 PA 丄 PB证法一：设点法由题意设点 P 的坐标为(

3、x0，y0)，A 的坐标为(-x0，-y0 )，B 的坐标为(x1，2 / 5y1 ）,则点 C 的坐标为（x0 , 0 ）。通过“ A, C, B 三点是共线”、“点 P,点 B 两点均在椭圆上”，加以分析得出“PA 丄 PB”。证法二：直线法将 P、A、C 以及直线 AC 采用代数式表示，通过带入法得出 kPA kPB=k-1/k ）=-1，因此 PA 丄 PB。证法三：几何转化法点 A 的坐标为（x1 , y1 ）, B 的坐标为（x2 , y2）,则中点 N 的坐标为（x0 , y0） ,由此可得 P 的坐标为 （-x1 , -y1 ） , C 点的坐标为 （-x1 , 0 ） 。 由

4、“ AC 三 点共线”“点A，点 B 均在椭圆上”、“ ON/ PB”，可録 PB。本题考查的主要知识点为定值的问题，同时对学生解方程组的能力，运算求解以及共线问题的解答都有所涉及，是对学生数学综合性能力的考查。二、同一试卷的不同变法根据本文所述试卷，可以将条件和结论进行变更，从而得到新的命题。命题一，假设 PA 丄 PB,将 AB 连接，交 x 轴于点 C,则求证 PC 丄 AB。命题二，求证 kPB kAB=/2。三、同一试卷的多种推广1.命题二推广的不同方法斗+耳推论 A :椭圆（a、b 均0 且 bva）,穿过（0, 0）点的直线与椭圆相交，交点为 A、P。点 B 为椭圆上不同于 A、

5、P 两点的任意点，求证： kBA kPB=2/a2。3 / 5推论双曲线斗-脊=1 ( a.b均0)*穿过(0,0)?.JA的白a-b2线与双曲线相交交点为A R点B为双曲线上不同于A f两点的任意点求证:k岸kbi,a-F文为推论A的证明过程,推论B可仿照此解题过程 完成。证明:设P的坐标为(x, ,yj),A的坐标为(-小-yJB的坠H斤以&FiA*kpfl二-一可r四、解题思路的推广根据上述分析不难发现，在同一题型、题目中，学生可以从多方面展开思考， 通过不同的思维切入点找到解题关键。事实上，数学这门学科本就是辩证思维的 过程，同一题目，学生所用的方式、思维习惯不同，表现出的解题

6、思路便会有所 差异。一道好的数学题本应如此，让学生可从多角度着手，在无限与有限、退与 进、整体与局部中逐步探索，发现试卷以及解题思路中的变化。由此，作为一名高中数学教师，在日常教案中也应注重学生解题思维的培养，一道题目不再单纯采用同一方式讲解， 而应激发学生思维，对学生展开引导性教 育。目前教案上存在一个弊端，即在讲解某一知识点时，会用当下的新知识点解 题，没有重视解题对以往知识的综合性运用。 根据本次研究不难发现，一道题目 在解题思路上可呈多样化，教师在教案中也应借鉴这一高考题，引导学生在不同 思路下解题，达到发散学生思维、综合运用知识的效果。五、结论本文主要针对江苏省 2011 年高考数学试卷中的某一典型题展开研究，通过分 析其a2b:x2vf标为(烁y因为4 / 5多种解题方法、不同解题思路，为今后教案以及对学生数学思维的培养提供帮助。根据资料以及笔者自身的经验可知，同一试卷的证法可以是多种的，因此要求学生必须具备扎实的基本功，能够灵活的运用所学知识进行解答。与此同时， 改变题目中的条件和结论就能够得到一个新命题，教师应当培养学生举一反三的能力。同一试卷的讲解应当将其相关的推论，知识点等进行系统的讲解，使学