2014届高考数学(理)一轮复习教案第八章立体几何第5讲空间向量及其运算(苏教版)解析

1、第 5 讲 空间向量及其运算01j抓住3个考点对应学生用书 P125考点梳理1.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1) 共线向量定量对空间任意两个向量 a，b(bM0), b 与 a 共线的充要条件是存在实数入使得 b=怯.其中 a 叫直线 I 的方向向量，t R，在 I 上取 a,则可化为OP= OA+tAB或 OP= (1 t)OA+tOB.(2) 共面向量定理的向量表达式：p= xa + yb,其中 x, y R, a, b 为不共线向 量，推论的表达式为 MlP = xMlA+ yMfB 或对空间任意一点 0,有OP= OM + xMlA + yMfe或 OP = xOM +

2、yOA+ zOB,其中 x+y+ z= 1.(3) 空间向量基本定理如果三个向量 ei, e2, e3不共面，那么对空间任一向量 p,存在惟一的有序实 数组(x,y, z)，使得 p= xei+ ye2+ ze3.2.空间向量的数量积及运算律(1) 数量积及相关概念1两向量的夹角已知两个非零向量 a, b,在空间任取一点 O,作 OA= a, OB= b,则/AOB 叫 做向量必署必a 与 b 的夹角，记作a, b,其范围是 0W a, bWn,若a, bn=2，则称 a 与 b 互相垂直，记作 a 丄 b.2两向量的数量积已知空间两个非零向量 a, b 则|a|bCosa, b叫做向量 a,

3、 b 的数量积，记 作 ab 即 a b= |a|bCosa，b.（2）空间向量数量积的运算律结合律：(X) b= Xa b)；交换律： a b=b a；分配律： a (b+c)=a b+a c.3.空间向量的坐标表示及应用（1）数量积的坐标运算设 a= （ai，a2，a3），b= （bi，b2，b3），则 a b= aibi土 a2b2+ a3b3.（2）共线与垂直的坐标表示设 a= （ai，a2，a3），b= （bi，b2，b3），则 a/b? a= 2b? ai=入b，a2=入b，a3= X3bR），a 丄 b? a b= 0? a 也土 ab 土 ab=0（a，b 均为非零向量）（3）

4、模、夹角和距离公式设 a= （ai，a2，a3），b= （bi，b2，S），则|a|= a a= . a2+ a2+ a3，a baibi+ a2b2+ a3b3|a|b|, a2+ a2+ a3 , b2+ b2+ bi设 A（ai，bi，ci），B（a2，b2，C2），则 dAB= |AB| =1； ：a2 ai+ b2 bi+c ci.【助学微博】一个学法指导 利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向 量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题，在这里，恰当地选 取基底可使向量运算简捷， 或者是建立空间直角坐标系， 使立体几何问题成为 代数问题，在这里

5、，熟练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础 三个考查角度cosa，(1) 判断空间向量共线与共面； 运用空间向量的数量积的性质求角； 证明线线 (面)垂直；求线段的长；(2) 将空间任一向量线性表示；求待定系数；(3) 运用两点距离公式、夹角公式解决简单的平行、垂直、长度、角、距离等问 题考点自测1下列命题：1若 A、B、C、D 是空间任意四点，则有 AB+ BC+CD+ DA= 0;2|a|b 匸|a+ b 是 a b 共线的充要条件；3若 a、b 共线，则 a 与 b 所在直线平行；4对空间任意一点 0 与不共线的三点 A、B、C,若 OP = xOA+yOB+ zOC(其中 x、

6、y、z R),则 P、A、B、C 四点共面.其中不正确命题的序号是 _ .解析 中四点恰好围成一封闭图形，正确；2中当 a、b 同向时，应有|a|+ |b|= |a+ b|；3中 a、 b 所在直线可能重合；4中需满足 x+ y+ z= 1,才有 P、A、B、C 四点共面.答案 2 在平行六面体 ABCD AiBiCiDi中，向量 ABAD、AAI两两的夹角均为 60 且|AB|= 1, |AD 匸 2，AAi匸 3,则|ASi|等于_ .解析 设 AB= a, AD= b, AAi= c,则 ACi= a+ b+ c,ACi2= a2+ b2+ c2+ 2a b+ 2b c+ 2c = 25

7、,因此|A3I匸 5.答案 53.在四面体 O ABC 中，OA= a, OB= b, OC= c, D 为 BC 的中点，E 为 ADAA解析如图OE=gOA* 2OD =1O)A+ 沁 +4(5C= *a+ *b+ c.1 1 1 答案 2a + 4b+4已知 A(1,0,1), B(4,4,6), C(2,2,3), D(10,14,17),这四个点或不共面).解析A 电=(3,4,5),A(C=(1,2,2),Al) =(9,14,16),设 A 疗=xAB +yAc!.即(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y),x= 2,爸从而 A、B、C、D 四点共面.ly=3,答

8、案共面5. (2010 广东卷)若向量 a= (1,1, x), b= (1,2,1), c= (1,1,1),满足条件(c a) (2b)=2,贝 U x=_ .解析-.a=(1,1, x), b= (1,2,1), c= (1,1,1),c a= (0,0,1 x), 2b= (2,4,2).(c a) (2b) = 2(1 x) = 2,/x=2.答案 2的中点，则OE=（填“共02冷突破3个考向研析秦刚考向突破【例 1】 如图所示，在平行六面体 ABCD AiBiCiDi中,AD= c, M, N, P 分别是 AAi, BC, C1D1的中点，试用向量：(i)AP; (2)AiN;M

9、P + NKi. 解(i)vP 是 CiD 的中点， AP=AAi+ AiDi+ DiPia+AD + qDiCiiKia+ c+ 2AB a+ c+ qb.(2)vN 是 BC 的中点，-AiNAiA+AB+ BN a + b+qBCa+ b+ qAD a+ b+ 2 c.(3)vM 是 AAi的中点，i MP MA + AP qAiA+APii i iqa+ a+ c+ qb qa+qb+ c,iii又 NCi NC+ CCi qBC+ AAi qAD + AAi qc+ a,_K竹 i 、fi、MP + NCi iqa + qb+ c + a + qC3 i 3qa+ qb+ qc.对应

10、学生考向一空间向量的线性运算设 AAi a, AB b,a, b, c 表示以下各B方法总结用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若 干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量， 我们可把这 个法则称为向量加法的多边形法则. 在立体几何中要灵活应用三角形法则， 向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.【训练 11 如图所示，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB、AC，M、N分别为 OA、BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且 MG = 2GN,若OG= xOA+ yOB+ zOC,贝

11、U x, y, z 的值分别为_.解析.OG=OM+MG=1(OA+3MN=莎+3（ON-OM）=并+joN -3OMI=6 弘+ OB+3Cx, y, z 的值分别为 6, 3，耳1 13，3考向二 共线、共面向量定理的应用【例 21(2012 上饶调研)如图，已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边AB、BC、CD、DA 的中点，(1)求证：E、F、G、H 四点共面；2-3oxt)一o+ofeTATo1- 2X2-31答案 1,(2)求证：BD /平面 EFGH ;证明连结 BG,则 EG= EB+ BG= EB+ 1(BC+ BD)=EB+BF+ EH = EF + EH,

12、由共面向量定理的推论知：E、F、G、H 四点共面.因为 EH = AH AE=AD 2AB = (AD AB) = 2BD,所以 EH / BD.又 EH?平面 EFGH , BD?平面 EFGH ,所以 BD/平面 EFGH.方法总结在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形 法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向 量靠近，进行求解，若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线 性 a= ?b 关系，即可判定两直线平行.【训练 2】 如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，D 为 BC 边上的中点，试证 AiB /平面 ACiD.证明取 a

13、， BBi = c，BC= b,则 BAi= BA+AAI=BA+B1B1= a+c，AD= AB+ BD= AB+ BC a+ *b，ACi= AC + cCi= BC BA+ BBi= b a+ c,BAi= ACi 2AD，又因为 AB?平面 ACiD 因此 AiB/平面 ACiD.考向三空间向量性质的应用【例 3】 已知空间中三点 A( 2,0,2), B( i,i,2), C( 3,0,4),设 a = AB, b=AC,(1) 若 |c| = 3,且 c/B3，求向量 c；(2) 求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值；若 ka+ b 与 ka 2b 互相垂直，求实数 k 的值；(

14、4) 若 2(a+ b) +(j(a b)与 z 轴垂直，求入应满足的关系.解(i)vc/ BC , BC = ( 3,0,4) ( i,i,2)= ( 2, i,2),二 c=mBcC=m(2,i,2)=(2m,m,2m),所以 |c|= p( 2mf+( mf+( 2mf = 3|m| = 3, m=. c= ( 2, i,2)或(2,i, 2).(2)va=(i,i,0),b=(i,0,2), ab= (i,i,0) (i,0,2)= i,又|a| =寸 i2+ i2+ 02=頁,|b|= p(- i f + 02+ 22=,a b _ i _ ViQ|a|b| i0_i0(3)vka+

15、b_(ki,k,2),ka2b_(k+2,k,4),且 ka+ b 与 ka 2b 互相垂直， (k i, k,2) (k+ 2, k, 4)_ (k i)(k+ 2) +5k2 8_0,. k_ 2 或 k_ 2，二当 ka+ b 与 ka 2b 互相垂直时，实数 k 的值5为 2 或(4)va+b_(0,i,2),ab_(2,i,2), ?(a+b)+ Jab)_(2j, 2+ j2 入一 2 J, cos a,即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为一.1010 . Xa+ b)+Ka b)与 z 轴垂直， (2K入+K222 K (0,0,1)2 入一 2K=0,即当入卩满足关系2尸

16、0 时，可使2a+ b) +Ka b)与 z 轴垂直.方法总结(1)判断线线平行或诸点共线，可以转化为证 a/b(bM0)? a ?b；证明线线垂直，转化为证 alb? a b 0,若 a (xi, yi, zi), b (x?, y2, Z2),则转化为计算 xix2+ yiy2+ ziz2 0;在立体几何中求线段的长度问题时，转化为 a a |af,或利用空间两点间的距离公式；在计算异面直线所成的角(或登 录钏 ww-zxgtkw 上 omI 免费聆听名师蹈讲悄题關丿【训练 3】 如图所示，平行六面体 ABCD AiBiCiDi中，以顶点 A 为端点的三条棱长都为 i,且两两夹角为 60(

17、i)求 ACi的长；求 BDi与 AC 夹角的余弦值.解记 AB a, AD b, AAi c,则 |a| |b| |c| i, a, b一 b, c一 c, a一 60, a b b c c aACi|2 (a+ b+ c)2 a2+ b2+ c2+ 2( a b+ b c+ c a)i i)1+1+1+2x +2+26,ASi| ,6,即 ACi的长为 6.(2)BDib+ca,ACa+b,：|BlDi|2,AC|3,线面角、二面角)时，转化为求向量的夹角，即利用公式cos0即BDiAC= (b+ c a) (a+ b) = b2 a2+ a c + bc= 1. cosBD1, AC=_

18、BDC =.|BDi|AC| AC 与 BD1夹角的余弦值为03二限时规范训练对应学生用书 P325阶梯训分层训练 A 级基础达标演练（时间：30 分钟 满分：60 分）、填空题（每小题 5 分，共 30 分）1.给出下列四个命题：1若 p= xa+ yb,贝 U p 与 a, b 共面;2若 p 与 a, b 共面，则 p= xa+ yb.3若 MlP = xMIA+ yMlB,贝 U P, M , A、B 共面;4若 P, M , A, B 共面，则 MP =xMA+ yMB.其中真命题的序号是_ .解析其中为正确命题.答案2.如图所示，在平行六面体 ABCD AiBiCiDi中，M 为A

19、iCi与 BiDi的交点若 AB = a, AD = b, ATAi= c,则 BM 用 a, b, c 表示为_ .解析BMI=B1BI+BI= AXi+ *AD AB)= c+如a)=- ia+ 2b+ c.i i答案2a + 2b+ c3. (20ii 苏州期末)已知 a= ( + i,0,2), b= (6,2 厂 i,2 2),若 a/ b, J 则入与卩的值是_.也 2解析由题意知：62入,2 卩一 i = 0,ii答案 2, 3 或3, 34._已知 a=(i t,i t, t), b= (2, t, t)，则 |b a| 的最小值为_.社2,尸 2后一 3,解析 b a= (i

20、+ t,2t1,0),二当 t =1时，lb a|取得最小值为355.5.如图，已知空间四边形 OABC, 0B= 0C,且/ AOB=n由已知条件a, b= a, c= 3,且 15= |c|,OA BC=a(cb)=ac a b1 1_乡_乡=2|a|c| 2|a|b|= 0,.cosOA, BC= 0.答案 06.已知 a+ 3b 与 7a 5b 垂直，且 a 4b 与 7a 2b 垂直，则a, b=_ .解析 由条件知（a+ 3b） （7a 5b）2 2=7|a| + 16a b 15|b| = 0,及(a 4b) (7a 2b) = 7|af+ 8|b|2 30a b= 0. 两式相

21、减，得 46a b=23b|2,a b=bf.代入上面两个式子中任意一个，即可得到|a|= |b|.g潜菩=2.Jba|= ：+12+2t2=1295/+5AOC=n，则 cosOA, BC的值为解析设 0A= a, 0B= b, 0C = c a,b0180 ,Ja,b=60答案 60、解答题（每小题 15 分，共 30 分）7若 a= (1,5, 1), b= (-2,3,5).若(ka+ b) / (a 3b),求 k；(2)若(ka+ b)丄(a 3b), 求 k.解ka+ b= (k 2,5k+ 3, k+ 5),a3b(1+3x2,53x3, 13x5) 二(7, 4, 16).(

22、1)T(ka+ b) / (a 3b),k2 5k+ 3 k+ 5T 4 16 ,(2)T(ka+ b)丄(a 3b),(k2)x7+(5k+3)x(4)+(k+5)x(16)0.解得 k坪.8.如图，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都 等于 a,点 M、N 分别是 AB、CD 的中点.(1)求证：MN 丄 AB, MN 丄 CD;求 MN 的长.解(1)设 AB p, A 芒q, AD r.由题意可知：|p| |q|r| a,且 p、q、r 三向量两两夹角均为 60MBB AB AB1(ABB+ABB)舟人它+ r p), MBABB 2(q+ r p) p-22(q p+ r

23、p p)?(a2cos 60 + a2cos 60 a2) 0. MN 丄 AB,同理可证 MN 丄 CD.1由(1)可知，MN 2(q+ r p).1解得 k-. |MTt2|=MN2=1( q+rp)2二 1|a2+ a2+ a2+ 24 a2a2a2222- |Mf?|22a,AMN 的长为a.分层训练 B 级创新能力提升1. （2011 常州月考）正方体 ABCD AiBiCiDi的棱长为2MC1, N 为 BiB 的中点，贝 U |MN|为_.a,点 M 在 ACi上且 AMl =解析 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系( aD xyz，则 A(a,0,0), Ci(0, a

24、, a), N a, a,.设 M(x, y, z).点 M 在 ACi上且AM=2MCI,i(x a, y, z) = 2( x, a y,2 aa2a a a x= 3a, y= 3,z=3.得M3 , 3, 3 ,答案-a2 在下列 OM = 20AOBOC； OM =OA+1oB+2QC； MA +MB+MC = 0； OM + 0A+ 0B+ 0C = 0；解析 -.MA+MB + MC = 0, /MA = MB MC,则 MA、MB、MC 为共面向量,即 M、A、B、C 四点共面.12 2 24【q + r + p + 2(q p q r p)答案3已知 a= (2, 1,2),

25、 b= (2,2,1),则以 a, b 为邻边的平行四边形的面积为解析|a|=“ .22+ 12+ 22= 3, |b 匸“：22+ 22+ 12= 3,S 平行四边形=|a|bSina, b=65.答案，654.已知 ABCD A1B1C1D1为正方体，给出下列四个命题：(A1A+A7D1+A1B1)2=3A1B12；Aib(A?B1A1A)= 0；向量品1与向量 A1B的夹角是 60正方体 ABCD A1B1C1D1的体积为 A AA1A 万|.其中正确命题的序号是_ .解析 设正方体的棱长为 1,中(A1A+ A1D1+ A1B1)2=3A1B12=3,故正确；中 A1B1A1A=AB1,