理论力学04弯曲内力

1、1任课教师：黄梦溪241 弯曲的概念及梁的计算简图弯曲的概念及梁的计算简图42 剪力和弯矩剪力和弯矩43 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图44 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用45 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图46 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图 弯曲内力习题课弯曲内力习题课第四章第四章 弯曲内力弯曲内力 341 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图一、弯曲的概念一、弯曲的概念1. 弯曲弯曲: : 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。

2、2. 梁：梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。43. 3. 工程实例工程实例5674. 4. 平面弯曲：平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一 平面内。 对称弯曲（如下图） 平面弯曲的特例。纵向对称面纵向对称面MP1P2q8非对称弯曲 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种 弯曲则统称为非对称弯曲。下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。9二、梁的计算简图二、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1. 构件本身的简化构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。2. 载荷简

3、化载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。3. 支座简化支座简化10 固定铰支座 2个约束，1个自由度。如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。 可动铰支座 1个约束，2个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。11 固定端 3个约束，0个自由度。如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。XAYAMA4. 梁的三种基本形式梁的三种基本形式 简支梁M 集中力偶集中力偶q(x) 分布力分布力 悬臂梁12 外伸梁 集中力集中力Pq 均布力均布力5. 静定梁与超静定梁静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。超静定梁

4、：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。13 例例1 贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t =10mm，钢的密度为：7.8g/cm，液体的密度为：1g/cm ,液面高为：0.8m，外伸端长为： 1m，试求贮液罐的计算简图。解：q 均布力均布力14LgLAgLALVgLmgq2211rad855131060.gRRgDt2221)sin(21gAgA22119(kN/m)9.81000)sin106.3(1.8550.521 0.53.148 . 9780001. 0114. 322q 均布力均布力1542 剪力和弯矩剪力和弯矩 一、弯曲内力：一、弯曲内力：举例举例 已

5、知：如图，P，a，l。求：距A端x处截面上内力。PaPlYAXARBAABB解解：求外力lalPYYlPaRmXXABAA)( , 0 , 00 , 016ABPYAXARBmmx求内力截面法xYMmlalPYQYACA , 0)( , 0AYAQMRBPMQ 弯曲构件内力剪力弯矩1. 弯矩：弯矩：M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。CC172. 剪力：剪力：Q 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。3. .内力的正负规定内力的正负规定: :剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。Q(+)Q()Q()Q(

6、+)M(+)M(+)M()M()18 例例2：求图（a）所示梁1-1、2-2截面处的内力。xyqLQQqLY11 0解：解：截面法求内力。 1-1截面处截取的分离体 如图（b）示。图（a）1111 0)(qLxMMqLxFmiA二、例题二、例题qqLab1122qLQ1AM1图（b）x119L)axq Q22( axqMqLxFmiB0)(21, 0)(22222-2截面处截取的分离体如图(c), )ax( qQqLY0222222)(21qLxaxqMxy图（a）qqLab1122qLQ2BM2x2图（c）201. 1. 内力方程：内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。2. 2.

7、 剪力图和弯矩图：剪力图和弯矩图：)(xQQ 剪力方程)(xMM 弯矩方程)(xQQ 剪力图的图线表示)(xMM 弯矩图的图线表示43 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图21 例例3 3 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。PY)x(QO解：求支反力)()(LxPMxYxMOO 写出内力方程PL MPYOO ; PYOL根据方程画内力图。Q(x)xPMOM(x)xQ(x)MOYO22解：写出内力方程根据方程画内力图qx)x(Q221qx)x(MLqM(x)xQ(x)Q(x)x qL23)3(6220 xLLq)x(Q解：求支反力内力方程3 ; 600Lq RL

8、qRBAq0RA根据方程画内力图。RBL)xL(LxqxM2206)(xL33Q(x)x620Lq320LqRAMxQ24一、一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系对dx 段进行平衡分析，有：0dd0)x(Q)x(Qx)x( q)x(QY)x(Qx)x( qdd 44 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用dxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxAy xqxxQdd剪力图上某点处的切线斜率剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。等于该点处荷载集度的大小。 25q(x)M(x)+

9、d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxAy0)(d)()()(d(21)d(, 0)(2xMxMxMxxqxxQFmiA)(d)(dxQxxM弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。)(d)(d22xqxxM弯矩与荷载集度的关系是：弯矩与荷载集度的关系是：26二、剪力、弯矩与外力间的关系二、剪力、弯矩与外力间的关系外力外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0QQ0 x斜直线增函数xQxQ降函数xQCQ1Q2Q1Q2=P自左向右突变xQC无变化斜直线曲线自左向右折角 自左向右突变与m反27简易作图法简易作图法: : 利

10、用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。 例例44 用简易作图法画图示梁的内力图。解解: : 利用内力和外力的关系及 特殊点的内力值来作图。特殊点特殊点: :端点、分区点（外力变化点）和驻点等。aaqaqA282230qaM;Q0 ; MqaQ2 ;qaMqaQ223; 0qaMQaaqaqA左端点：左端点：线形：线形：根据)(d)(dxQxxM)(d)(d22xqxxM； xqxxQdd；及集中载荷点的规律确定。分区点分区点A：M 的驻点：的驻点：右端点：右端点：Qxqa29 例例55 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解：求支反力2 ; 2qaRqaRDA0;2MqaQ左端点A

11、：221;2qaMqaQB点左：221;2qaMqaQB点右：221;2qaMqaQC点左：M 的驻点：283; 0qaMQ221;2qaMqaQC点右：0 ; 21MqaQ右端点D：qqa2qaRARDQxqa/2qa/2qa/2+ABCD3045 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图一、叠加原理一、叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。)()()()(221121nnnPQPQPQPPPQ )()()()(221121nnnPMPMPMPPPM 适用条件适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性关系。即在弹性限度内满足

12、虎克定律。31二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 叠加方法叠加方法 步骤：步骤： 分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 将其相应的纵坐标叠加即可(注意：不是图形的简单拼凑)。32 例例66按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。qqPP=+AAABBB33 三、对称性与反对称性的应用：三、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。34 例例7 作下列图示梁的内力图。PPLPPLLLLLLL0.5P0.5P0.5P0.5PP0QxQ1x

13、Q2x0.5P0.5P0.5P+P35PPLPPLLLLLLL0.5P0.5P0.5P0.5PP036 例例8 改内力图之错。a2aaqqa2ABQx+qa/4qa/43qa/47qa/447;4qaRqaRBA37 例例9 已知Q图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。Q(kN)x1m1m2m2315kN1kNq=2kN/m+3846 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图一、平面刚架一、平面刚架1. 平面刚架：平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相 互刚性连接而组成的结构。 特点：特点：刚架各杆的内力有：Q、M、N。2. 内力图规定：内力图规定： 弯矩图：弯矩图：画在各杆的受压

14、一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图：剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。39 例例10 试作图示刚架的内力图。P1P2alABCN 图P2+Q 图P1+P1P1aM 图P1aP1a+ P2 l40 二、平面曲杆：二、平面曲杆： 轴线为一平面曲线的杆件。内力情况及绘制方法与平面刚架相同。例例11 已知：如图所示，P及R 。试绘制Q、M、N 图。OPRmmx解：解：建立极坐标，O为极点，OB 极轴，表示截面mm的位置。)(0 )cos1 ()cos()(PRRRPPxM)(0 cos)(2PPN)(0 sin)(1PPQAB41OPRmmx)(0

15、 )cos1 ()cos()(PRRRPPxM)(0 cos)(2PPN)(0 sin)(1PPQABABOM-diagramOO+Q -diagramN-diagram2PRPP+42例例1 绘制下列图示梁的弯矩图。2PaaP=2PP+xMxM1xM2=+2Pa2PaPa(1)第四章习题课第四章习题课43(2)aaqqqq=+xM1=xM+xM23qa2/2qa2/2qa244(3)PL/2L/2PL/2=+PxM2xM=+PL/2PL/4PL/2xM1+PL/245(4)50kNaa20kNm=+xM2xM=+20kNm50kNmxM120kNm50kN20kNm20kNm+20kNm30

16、kNm20kNm46 例例2 试根据自己的实践经验，列举一些弯曲变形的构件，并将它们简化为各种类型的梁。 例例3 试用叠加法作梁的弯矩图。 222222247 例例4 作图示具有中间铰的组合梁的Q、M图。 qa2qa2 /248 例例5 图示外伸梁AD，受力作用。试画出该轴的剪力图和弯矩图，并求Qmax和Mmax。 解解：1外力分析：求支座约束反力。研究梁AD，受力分析如图，列平衡方程： mkN6kN2kN/m4mPq，05 . 2132)(01qmPNFmqPNNFBABAykN1kN3BANN，49 2内力分析：首先列出各段的剪力方程和弯矩方程， AC： m)(kN3(kN)30011111111xxNMNQxNMmQNYAAAACB： m)(kN636(kN)30022222222xxNMNQxNmMmQNYAAAABD： )3(2)3(22)3(40)3(2)3(0)3(3233332333333xxMxQxqMxPmxqQPY50 然后根据上面剪力方程和弯矩方程分区段绘制剪力图和弯矩图，如(a