第04章聚合物熔体流动4

1、4.4 流变基本方程流变基本方程 研究有关流动问题是以研究有关流动问题是以连续性方程连续性方程、动量方程动量方程（运动方（运动方程）和程）和能量方程能量方程为基础的。这三个方程描述了流动过程的质为基础的。这三个方程描述了流动过程的质量、动量和能量量、动量和能量守恒守恒的规律。的规律。 连续性方程是考察流动过程中连续性方程是考察流动过程中速度与密度速度与密度的分布。的分布。质量守恒定律的数学表达式。它在直角坐标系（质量守恒定律的数学表达式。它在直角坐标系（X X、Y Y、Z Z）中为：）中为：（4.4-14.4-1） 式中：式中：一、连续性方程（一、连续性方程（continuity equati

2、on）本节从物理意义上说明三个基本的传递方程。本节从物理意义上说明三个基本的传递方程。 0XYZVVVtxyzt t为时间为时间; ; VxVx、VyVy、VzVz为流体的流动速度在为流体的流动速度在x x、y y、z z方向的分量方向的分量为流体密度为流体密度; ; 单位时间内质量累积率单位时间内质量累积率= =流入量流入量- -流出量流出量推导：推导：fxyzt， ， ，4.4-1连续性方程连续性方程物理意义物理意义：（4.4-24.4-2）（4.4-34.4-3）连续性方程还可以用算符（微分算符和全导算符）来表示连续性方程还可以用算符（微分算符和全导算符）来表示 0VtDVDt 式中，式

3、中，DDt 密度的全导数，密度的全导数，xyzDVVVDttxyz封闭系统内的质量是一定的。或者说是封闭系统内的质量是一定的。或者说是 微元体积在微元体积在单位时间内单位时间内的的质量增量质量增量等于单位时间内沿等于单位时间内沿x x、y y、z z方向方向净流入净流入（或（或流出流出）的）的质量之和质量之和。f xyzt， ， ，它定义为它定义为4.4-2“随体导数随体导数”是由是由两部分两部分组成的：组成的： 等式右边等式右边第一项第一项表示在空间一表示在空间一固定点固定点上上密度随时间密度随时间的的变化变化，称，称为为局部导数局部导数，它是由，它是由流动场流动场的的不稳定性不稳定性引起的

4、。引起的。rz， ，连续性方程在柱坐标系连续性方程在柱坐标系110rzrVVVtrrrz 也称为也称为密度的随体导数密度的随体导数，其意思是指，其意思是指密度随密度随着流体着流体质点质点一起一起运动运动所产生的所产生的变化率变化率。中的表达式为：中的表达式为：（4.4-44.4-4）等式右边等式右边其它三项其它三项表示在表示在同一时刻同一时刻密度密度随空间位置随空间位置的的变化变化，称，称为为迁移导数迁移导数，它是由，它是由流动场流动场的的不均匀性不均匀性引起的引起的。xyzDVVVDttxyz（4.4-34.4-3）DDt4.4-30yxzVVVxyz110rzrVVVrrrz（4.4-5）

5、（4.4-6）对于对于不可压缩流体流动不可压缩流体流动, ,因为因为是常数是常数, ,故连续性方程可简化为故连续性方程可简化为 ：4.4-4二、二、 动量方程（动量方程（momentum equationmomentum equation） 动量方程可由牛顿第二定律推导出来动量方程可由牛顿第二定律推导出来.m=dxdydz.m=dxdydz因为动量是因为动量是向量，所以它在直角坐标系向量，所以它在直角坐标系(x,y,z)(x,y,z)中的三个分量表达式：中的三个分量表达式： x x方向的分量方向的分量: :yxxxxxxxzxxyzxVVVVpVVVgtxyzxxyz y y方向的分量方向的分

6、量: : yyyyxyyyzyxyzyVVVVpVVVgtxyzyxyz z z方向的分量方向的分量: : yzxzzzzzzzxyzzVVVVpVVVgtxyzzxyz 惯性力分量惯性力分量静压力静压力粘性力分量粘性力分量重力重力（4.4-7a4.4-7a）（4.4-7b4.4-7b）（4.4-7c4.4-7c）局部动量局部动量变化率变化率 体积动量体积动量变化率变化率 动量守恒原理要求系统的动量守恒原理要求系统的动量变化率动量变化率等于该系统上的等于该系统上的全部作用力全部作用力。id mvFdt“- -”表示表示静压力方向静压力方向与与外法线方向外法线方向相反相反4.4-5动量方程还可以

7、用算符来表示：动量方程还可以用算符来表示： D VpgD t 式中式中 DtVD速度的全导数速度的全导数( (向量向量) )；微分算符微分算符( (向量向量) )； p流体压力（标量）；流体压力（标量）；应力张量；应力张量；g重力加速度（向量）；重力加速度（向量）； p压力梯度（向量）；压力梯度（向量）； 向量与张量的单点积（向量）。向量与张量的单点积（向量）。（4.4-84.4-8） 左边左边第一项第一项称为惯性力项，称为惯性力项， 它反映单位时间、单位体积流体的它反映单位时间、单位体积流体的动量的增量动量的增量； 右边右边第一项第一项是静压项，是静压项， 反映反映压力梯度压力梯度对动量的影

8、响；对动量的影响； 右边右边第二项第二项是粘性力项是粘性力项, ,反映反映应力变化应力变化对动量的影响；对动量的影响； 右边右边第三项第三项是重力项（或重力分量）反映是重力项（或重力分量）反映重力重力对动量的影响。对动量的影响。 4.4-6r r向：向： 21rrrrrzrrzrrgVVVVVVpVVtrrrzrrrrrrz 向：向：22111rrzzrgVVVVV VVpVVtrrrzrrrrrrz z z向：向：11zzzzrzzzzrzgVVVVVpVVtrrzrrzrrrz 在柱坐标系中的表达式为：（在柱坐标系中的表达式为：（r r，z z）中，动量方程的分）中，动量方程的分量表达式为

9、量表达式为（4.4-9a4.4-9a）（4.4-9b4.4-9b）（4.4-9c4.4-9c）4.4-7三、能量方程（三、能量方程（energy equationenergy equation） 能量方程可以根据热力学第一定律推导得到，它在直角坐标系能量方程可以根据热力学第一定律推导得到，它在直角坐标系（x x、y y、z z）中的具体表达式为）中的具体表达式为: :热传导热传导热流量热流量压缩或膨胀压缩或膨胀作功作功应力应力作功作功yxzqqqxyzyxzVVVpTTxyzyyyxxxzzzxxyyzzxyxzyzVVVVVVVVVxyzyxzxzy （4.4-104.4-10）内能内能变化

10、率变化率vxyzTTTTCVVVtxyz局部局部内能内能变化率变化率体积内能体积内能变化率变化率4.4-8VpDTpCqTVVDtT ：式中，式中，CvCv：定容比热，：定容比热，V：体积变化率。：体积变化率。 热传导热流量，可以根据傅立叶热传导方程写出：热传导热流量，可以根据傅立叶热传导方程写出： qT ：温度梯度：温度梯度T：热传导热流量，：热传导热流量，：应力张量，：应力张量，T T：温度，：温度，q：导热系数；：导热系数；（4.4-114.4-11）（4.4-124.4-12）能量方程张量表达式：能量方程张量表达式： （向量）（向量）4.4-9 VpDTpCqTVVDtT ：能量方程各

11、项的物理意义：能量方程各项的物理意义： 等式左边等式左边第一项第一项是是内能项内能项，它表示单位时间内它表示单位时间内某点某点的的温度变化温度变化，右边第右边第一一项为项为热传导热流量热传导热流量、负号表示负号表示热通量热通量与与外法线方向相反外法线方向相反。表示传入或传出单位体积热流率，反映热传导引起的表示传入或传出单位体积热流率，反映热传导引起的空间温度空间温度变化。变化。右边第右边第二二项为由于温度变化引起的项为由于温度变化引起的压缩压缩或或膨胀膨胀作功，负号表示作功，负号表示外力外力作功作功使使能量流入能量流入。表示单位体积流体膨胀或压缩速率，不可压缩流。表示单位体积流体膨胀或压缩速率

12、，不可压缩流体，此项为零。体，此项为零。右边第右边第三三项为项为粘性耗散粘性耗散，表示粘性流体表示粘性流体发热发热。表示单位体积流体内。表示单位体积流体内摩擦力所作的机械功转化为热；它通过影响内能变化速率的大小，摩擦力所作的机械功转化为热；它通过影响内能变化速率的大小，来反映它对流体内某点温度变化影响。来反映它对流体内某点温度变化影响。其中温度的局部导数其中温度的局部导数反映温度场的反映温度场的不稳定不稳定性；性；Tt 温度的迁移导数温度的迁移导数jiTVx反映温度场的反映温度场的不均匀不均匀性性；4.4-10在柱坐标（在柱坐标（r、z）中，能量方程的表达式为：）中，能量方程的表达式为：111

13、111zVrzrrrrzrrrzzrzrrrzVqqTTTTCVVqtrzrzVVpTVTrzVVVVrzVVVVrrzrrrrrrrrrrr 1zzVVzr 能量方程的能量方程的未知量是温度未知量是温度T。对于等温过程，能量方程恒。对于等温过程，能量方程恒为零，这就是说研究等温流动问题时，不用能量方程。为零，这就是说研究等温流动问题时，不用能量方程。 等式右边分别表示由热传导、压缩或膨胀作功和粘滞耗损生热等式右边分别表示由热传导、压缩或膨胀作功和粘滞耗损生热所引起的所引起的温度变化温度变化。 4.4-11四、流变四、流变 状态方程状态方程（constitutive equation）1 1 牛顿流体牛顿流体剪切应力与剪切速率的关系可以用线性的牛顿粘性定律来表示：剪切应力与剪切速率的关系可以用线性的牛顿粘性定律来表示：zyzyzdVdy（4.4-13） 式中式中 流体的粘度，与流体的粘度，与流体的性质和温度流体的性质和温度有关；有关；zyzdVdy， 是剪切速率（也是速度梯度）是剪切速率（也是速度梯度） 对于不可压缩流体，在一般流动中的流变状态方程是对于不可压缩流体，在一般流动中的流变状态方程是ijij 是应力张量的分量；是应力张量的分量；是应变速率张量的分量是应变速率张量的分量. ijij4.4-122非牛顿流体非牛顿流体 非牛顿流体非牛顿流体 单