焦点弦的性质

1、专题突破四焦点弦的性质一、焦点弦性质的推导例1抛物线y22px(p0)，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，A，B在准线上的射影为A1，B1.证明：(1)x1x2，y1y2p2；(2)若直线AB的倾斜角为，则|AF|，|BF|；(3)|AB|x1x2p(其中为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；(4)为定值；(5)SOAB(为直线AB的倾斜角)；(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；(7)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线二、焦点弦性质的应用例2(1)设F为抛物线C：y23x的

2、焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.答案D(2)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16 B14 C12 D10答案A跟踪训练过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|，|AF|0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是()Ay212x By28xCy26x Dy24x答案B4过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1

3、，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_答案5过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则A1FB1为_答案90一、选择题1已知AB是过抛物线y2x2的焦点的弦，若|AB|4，则AB的中点的纵坐标是()A1 B2 C. D.答案D2若抛物线y22px(p0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是()A成等差数列B既成等差数列又成等比数列C成等比数列D既不成等比数列也不成等差数列答案A3抛物线x24y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过

4、点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则AHF的面积是()A4 B3 C4 D8答案C4过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为60的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|BF|，则的值为()A3 B2 C. D.答案A5已知抛物线y24x的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yy的最小值为()A4 B6 C8 D10答案C6过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在答案B7.如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其

5、准线于点C，若|BC|3|BF|，且|AF|4，则p的值为()A. B2C. D.答案C8设抛物线C：y24x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点若|AF|3|BF|，则l的方程为()Ayx1或yx1By(x1)或y(x1)Cy(x1)或y(x1)Dy(x1)或y(x1)答案C9已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为()A2 B3 C4 D6答案A10.如图，过抛物线x24y焦点的直线依次交抛物线和圆x2(y1)21于点A，B，C，D，则|AB|CD|的值是()A8 B4C2 D1答案D二、填空题1

6、1一条直线过点，且与抛物线y2x交于A，B两点若|AB|4，则弦AB的中点到直线x0的距离等于_答案12过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为_答案13设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|_.答案6三、解答题14.如图，抛物线的顶点在坐标原点，圆x2y24x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点且斜率为2，直线l交抛物线和圆依次于A，B，C，D四点(1)求抛物线的方程；(2)求|AB|CD|的值15.已知M为抛物线y22px(p0)上一动点，A(a,0)(a0)为其对称轴上一点，直线MA与抛物线的另一个交点为N.当