2018版高中数学苏教版必修一学案：2.2.1第1课时函数的单调性

1、2. 2 函数的简单性质2. 2.1 函数的单调性第 1 课时函数的单调性学习目标1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法(重点);2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点(难点).I课丽預习H i |；.|L百主銮SH积建基魏预习教材 P37 38,完成下面问题：知识点一单调增函数与单调减函数的定义一般地， 设函数 y= f(x)的定义域为 A,区间 I? A,如果对于区间 I 内的任意两个 值 xi, X2,当 xif(x2)，那么就说 y=f(x)在区间 I 上是单调增(减)函数，I 称为 y= f(x)的单调增(减)区间

2、.【预习评价】 如果函数 f(x)在a, b上是增函数，对于任意的 xi, x2 0；xi X22(xi X2)f(Xi) f(X2) 0；3f(a) f(xi) f(x2) 0. f Xi f X2解析由函数单调性的定义可知，若函数y= f(x)在给定的区间上是增函数，则Xi X2与 f(xi) f(X2)同号，由此可知，、正确;对于，当 xi3,(2)先画出 f(x)二2的图象，如下图则函数单调减厂(x 2x 3)， 1 x 3区间是(8, 1, 1,3，单调增区间是(一 1,1), (3,+).题型二函数单调性的判定与证明1【例 2】 求证：函数 f(x) = x+寸在(0,1)上是减函

3、数.入证明 设任意的 X1, X20,1),且 X1VX2,亠 1 1由 f(x2) f(X1)= (x2+ x2)(X1+x；)X1 X21二X2X1+詣二(X2X1)(1 XX2)X2 X1X1X2 1=所以 X1X2 10, X2 X10,(X2 X1(X1X2 1 )所以X0,所以 f(X2)f(X1).1所以函数 f(x)二 x+在(0,1)上是减函数.入规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设 X1, X2是该区间 内的任意两个值，且 X1VX2； (2)作差变形：作差 f(X1) f(X2)，并通过因式分解、 通分、配X1X2方、有理化等手段，转化为易判断正负的

4、式子；(3)定号：确定 f(X1) f(X2) 的符号；(4)结论：根据 f(X1) f(X2)的符号及定义判断单调性.2 X【训练 2】已知函数 f(x)二，证明：函数 f(x)在(一 1,+)上为减函数.ZVII证明任取 X1,X2q 1,+x)，且 X1 X1 1 ,X2 X1 0, (X1+ 1)(X2+ 1) 0,f(X1) f(X2) 0, 即卩 f(X1)f(X2),函数 f(x)在(一 1,+x)上为减函数.考查方向题型三函数单调性的综合应用方向 1:已知单调性，求参数范围2【例 3 11函数 f(x) = x 2mx 3 在区间1,2上具有单调性，则 m 的取值范围是_ .解

5、析 二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f(x)二 x2 2mx3 的对称轴为 x= m,函数在区间1,2上单调，则 mW1 或 m2.答案( , 1U2, +)方向 2:与不等式相结合【例 3 21已知 f(x)是定义在 1,1上的单调递增函数，若 f(a)f(2 3a),则a 的取值范围是_.K a 1,解析由题意得1W2 3aW1,a 2 3a,1 1r 1WaW1,1得aW1，I 1即 3 a 0，.y=f(x)在0,+x)上是单调减函数，f(a-a+1)0 时，Ovf(x)v1.求证：f(x)在 R 上是单调减函数.证明对于任意实数 m，n，恒有 f(m+ n) = f

6、(m) f(n)，令 m= 1，n = 0，可得 f(1)=f(1) f(0)，当 x0 时，Ovf(x)v1，/f(1)工 0，/f(0)=1.令 m=xv0，n= x0，贝 U f(m+n)=f(0)=f(x) f(x)=1，f(x)f( x)= 1，又-x 0 时，Ovf( x)v1，1f(x)= 1.f( x)f对任意实数 x，f(x)恒大于 0,设任意 X1Vx2,则 x2 X1 0, 0Vf(x2X1)v1,.f(x2)f(X1)=f(X2X1)+X1f(X1)=f(x2X1)f(X1)f(X1)=f(X1)f(X2X1)1V0,即 f(xi) f(X2), f(x)在 R 上单调

7、递减.规律方法(1)运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取 X1，X2且 X1VX2的条件下，转化为确定 f(xi)与 f(X2)的大小，要牢 记五大步骤：取值一作差一变形一定号一结论.对单调增函数的判断，当 XlVX2时，都有 f(Xl)Vf(X2)，也可以用一个不等式来 替代：f(X1 )f(X2)(X1 X2)f(xi) f(X2) 0 或 0.Xi X2对单调减函数的判断，当 X1VX2时，都有 f(X1) f(X2)，相应地也可用一个不等式f(X1 f(X2 ) 来替代：(X1 X2)f(X1) f(X2)V0 或V0.X1 X2(3) 要熟练掌握常见

8、的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等.若f(x)，g(x)都是单调增函数，h(x)是单调减函数，贝在定义域的交集(非空)上, f(x) + g(x)单调递增，f(x) h(x)单调递增，f(x)单调递减，减(f(x)丰0).(5)对于函数值恒正(或恒负)的函数 f(x)，证明单调性时，也可以作商I课堂反馈IIL I3IHIMil|IJIIIH IN:|泊生蜃M龍检测咸救H课堂达标1._ 已知函数 f(x)= kx+ b 为 R 上的减函数，且 f(0)0,则点 P(k, b)在第_1奁单调递象限.解析 由函数 f(x)= kx+ b 为 R 上的减函数可知 kv0,对 f(0

9、)0 知 b0.答案二2._ 函数 y= |x|(1 - x)的单调增区间是.2x + x, x0,解析y= |x|(1 x)=t2xx,xv0.画出函数的草图，如图.1由图易知原函数在0, 2】上单调递增.1答案0, 2】3.函数 f(x)二x2+2ax+1 在(X,2)上是增函数，贝 U 实数 a 的取值范围是2 2 2解析 f(x)= x + 2ax+ 1 = (x a) + 1 + a ,抛物线开口向下，对称轴 x= a2 时，f(x)在(X,2)上是增函数，所以实数 a 的取值范围是 a2.答案 2, +)4.函数 y=f(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)f( m+ 9),则实

10、数 m 的取值范围是解析 因为函数 y= f(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)f( m+ 9)，所以 2m m+ 9, 即m3.答案(3,+x)5. 求函数 y= x|x1|的单调递增区间.x2x, x 1 ,解 画出函数 y=x|x 1|=2的图象，如图，可得函数的单调递增x2+x,XV11区间为(一X,2, 1 , + 3 )课堂小结1.对函数单调性的理解(1) 单调性是与“区间”紧密相关的概念， 一个函数在定义域的不同的区间上可 以有不同的单调性.(2) 单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的X1、X2有以下几个特征：一是任意性，即任意取 X1, X2, “任意”二字绝不能丢掉，证明单调性 时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定X1VX2；三是属于同一个单调区间.单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且 f(X1)Vf(X2)? X1X2).(4) 并不是所有函数都具有单调性若一个函数在