15定积分的概念

1、1.51.5定积分的概念定积分的概念连加符号连加符号1niia12.naaaOx y a b y=f (x)求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积x=ax=b曲边梯形：曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线直线x=a、x=b及及x轴所围成的图形叫做轴所围成的图形叫做曲边梯形曲边梯形. . 因此，我们可以用这条直线因此，我们可以用这条直线L来代替点来代替点P附近附近的曲线，也就是说：在点的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看作直附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内线（即在很小范围内以直代曲以直代曲）P放大放大再放大再放大PP y = f(x)ba A1A

2、A1. 用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形近似代替曲边梯形的面积的面积A，得，得x yOA A1+ A2 用两个矩形的面积近似代替曲边梯形用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积的面积A，得，得A1A2 y = f(x)bax yOA A1+ A2+ A3+ A4 用四个矩形的面积近似代替曲边梯形用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积的面积A，得，得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯

3、阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积形的面积A近似为近似为A1AiAn以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 例例1 1、求抛物线求抛物线y= =x2 2、直线、直线x=1=1和和x轴所围成的曲边梯形的面积轴所围成的曲边梯形的面积. . n1n2nknn21112222223311 1()()11121110 1(12(1) )1 (1) (21)611112.6nnnniiiiiiSSfxnnnnnnnnnnnnnnn nnnn xOy解解：把底边：把底边0,10,1分成分成n等份等份, ,然后在每个分点作底边的垂线然后在每个分点作底边的垂线, ,这样曲边三角形被分成这样曲边三

4、角形被分成n个窄条个窄条, , 用矩形来近似代替用矩形来近似代替, ,然后把然后把这些小矩形的面积加起来这些小矩形的面积加起来, ,得到一个近似值得到一个近似值: :2xy 因此因此, , 我们有理由相信我们有理由相信, , 这个曲边三角形的面积这个曲边三角形的面积为为: :lim111lim1261.3nnnSSnn小结小结: :求由连续曲线求由连续曲线y= =f( (x) )对应的曲边梯形面积的方法对应的曲边梯形面积的方法 有理由相信，分有理由相信，分点越来越密时，即分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形割越来越细时，矩形面积和的面积和的极限极限即为曲即为曲边形的面积。边形的面积。分割分割

5、 近似代替近似代替 把这些矩形面积相加把这些矩形面积相加 作为整个曲边形面积作为整个曲边形面积S S的的近似值近似值。 取极限取极限 oxy求和求和求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2)(2)取近似求和取近似求和: :任取任取x xi xi 1, xi，第第i个小曲边梯形的面积个小曲边梯形的面积用用高为高为f(x xi)而宽为而宽为 x的小矩形面积的小矩形面积f(x xi) x近似之。近似之。 (3)(3)取极限取极限: :，所求曲边所求曲边梯形的梯形的面面积积S为为 取取n个小矩形面积的和作为曲边梯个小矩形面积的和作为曲边梯形面积形面积S

6、的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1xix1lim( )niniSfxx1( )niiSfxx (1)(1)分割分割: :在区间在区间0,10,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点, ,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间: : 每个小区间宽度每个小区间宽度xban 11211,iina xx xxxxb定积分的定义：定积分的定义：1( )lim( )ninibaf x dxfnxba即Oabxy)(xfy 定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做叫做积分号积分号， f( (x) ) 叫做叫做被积函数被积函数， f( (x) )dx 叫做叫做被积表达式被积表达式

7、， x 叫做叫做积分变量积分变量， a 叫做叫做积分下限积分下限， b 叫做叫做积分上限积分上限， a, , b 叫做叫做积分区间积分区间. . baIdxxf)(iinixf )(lim10 x x 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限112001( )3Sf x dxx dx根据定积分的定义下边图形的面积为1x yOf(x)=x213S baf(x)dx f (t)dt f(u)du。 说说明：明：(1)(1)定定积分是一个数值积分是一个数值, , 它只与被积函数及积分区间有关，而与积它只与被积函数及积分区间有关，而与积分分变量的记法无关，即

8、变量的记法无关，即(2)(2)定义中区的分法和定义中区的分法和x xi的取法是任意的的取法是任意的. .定定积分的几何意义：积分的几何意义：ab y f (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积. 当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f (x)、 特别地，当 ab 时，有baf (x)dx0。 Ox y 当当f(x) 0时时，由，由y f (x)、x a、x b 与与 x 轴所围成的轴所围成的曲曲边梯形位于边梯形位于 x 轴的下方，轴的下方，x yOdxxfSba)( ，dxxfba)(ab y f (x) y

9、f (x)dxxfSba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S上述曲边梯形面积的上述曲边梯形面积的负值负值. . 积分 b ba af f ( (x x) )dxdx 在几何上表在几何上表示示 b ba af f ( (x x) )d dx x f f ( (x x) )d dx x f f ( (x x) )d dx x。 S探究探究: :根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义, ,如何用定积分表示如何用定积分表示图中蓝色部图中蓝色部分的面积分的面积? ?b yf (x)Ox y()ygxab yf (x)Ox y1()baSfx dx( )yg x12( )( )bbaaS SSf xdxg xdx2( )baSg x dx定定积分的基本性质积分的基本性质 性质性质1. 1. dxxgxfba)()(babadxxgdxxf)()(badxxkf)( badxxfk)(性质性质2. 2. 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性bccabadxxfdxxfdxxf)()()( 性质性质3.3. ab y=f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxbcf (x)dx